实验八离散LTI系统§8.1 MATLAB函数conv目的：学习利用conv函数计算离散卷积。
相关知识：MATLAB函数conv计算下面卷积和：。
这里假设和都是有限长序列。
如果仅在区间内为非零，而仅在区间内为非零，那么就仅在内为非零值。
这表明conv只需要在上述区间内计算的个样本值。
然而，conv并不产生的样本序号，应负责保持序号之间的联系。
基本题1．已知如下有限长序列，用解析法计算。
Clear all;close all;n=0:10;xn=zeros(1,length(n));xn(1:6)=ones(1,6);yn=zeros(1,2*length(n)-1);2．利用conv计算的非零样本值，并将这些样本存入向量y中。
第一步应定义包含在区间内的样本的向量x，同时应构造向量ny，ny(i)包含存在向量y中的的n个元素样本的序号，也即。
例如ny(1)应包含。
利用stem(ny,y) 画出所得结果。
x=xn(1:6);y=conv(x,x);ny=[1:11];stem(ny,y,'fill','--');grid on;title('x*x的结果');3．已知如下有限长序列先用解析法计算。
然后用conv计算y，用stem画出这一结果。
如果将看作一个LTI系统的单位冲激响应，是该系统的输入，是该系统的输出。
hn=zeros(1,length(n));hn(1:6)=[0 1 2 3 4 5];y=conv(xn,hn);figure;n1=0:20;stem(n1,y,'fill','--');grid on;title('y的结果');4．将与在3中导出的信号比较，结果怎样？5．利用conv计算，利用stem画出。
hn2=zeros(1,20);hn2=(5:10);y2=conv(xn,hn2);figure;n3=1:length(y2);stem(n3,y2,'fill','--');grid on;§8.2 MATLAB函数filter目的：学习利用filter函数计算离散因果LTI系统在某一给定输入时的输出。
相关知识：f ilter函数计算由线性常系数差分方程表征的离散因果LTI系统在某一给定输入时的输出。
具体的说，考虑一个满足下列差分方程的LTI系统：式中是系统的输入，是系统的输出。
若x是包含在区间内的的一个MATLAB向量，而向量a和b包含系数和，那么y=filter(b,a,x)就会得到满足下面差分方程的因果LTI系统的输出：（8.2）其中，。
由filter产生的输出向量y包含了在与x中所在样本同一区间上的样本，即，以使得向量x和y中都包含了个样本。
然而值得注意的是filter 需要的是在，是在，以便计算出第一个输出值。
函数filter假设这些样本全等于零。
函数filter也能用于计算离散卷积。
考虑当时满足的一类系统，即变为，信号可看成LTI系统的单位冲激响应，因为是有限长的，因此称这样的系统维有限长冲激响应FIR系统。
基本题1．求解由差分方程表征的系统，当输入信号时，在区间内的响应。
b=2;a=[1 -0.8];n=1:4;un=ones(1,length(n));xn=n.*un;yn=filter(b,a,xn);2．已知和，利用filter求。
并与conv计算结果相比较。
n=0:10;xn=zeros(1,length(n));xn(1:6)=ones(1,6);hn=zeros(1,length(n));hn(1:6)=[0 1 2 3 4 5];a1=ones(1,13);yn1=filter(xn,a1,hn)yn2=conv(hn,xn)3．考虑冲激响应，利用filter计算，并用stem画出所得结果。
§8.3 离散时间LTI系统的性质目的：在这个练习中，将对一组特定的信号检验卷积的交换律、结合律和分配律性质。
另外还要考查这些性质对于LTI系统的级联和并联意味着什么。
基本题：1．已知信号定义代表区间内的的MATLAB向量x1，以及代表在区间内的和的MATLAB向量h1和h2。
同时，定义nx1和nx2为这些信号合适的标号向量。
利用stem画出这些信号并作适当标注。
clear all;close all;nx1=0:9;x1n=zeros(1,length(nx1));x1n(1:5)=ones(1,5);x1=x1n;nx2=0:4;h1=[1 -1 3 0 4];h2=[2 5 4 -1 0];subplot(1,3,1);stem(nx1,x1,'fill','--');grid on;subplot(1,3,2);stem(nx2,h1,'fill','--');grid on;subplot(1,3,3);stem(nx2,h2,'fill','--');grid on;2．交换律意味着具有单位冲激响应的LTI系统，在输入为时所得到输出与单位冲激响应为，在输入为时所得的输出是一样的，利用conv以及x1和h1验证这一性质。
conv的输出是与卷积次序无关吗？无关。
y1=conv(x1,h1);y2=conv(h1,x1);3．卷积具有分配律性质，这意味着，两个并联系统的输出与单位冲激响应是该并联系统单位冲激响应之和的系统的输出是相同的。
利用x1，h1和h2验证分配率性质。
当输入为时，用单位冲激响应为和计算LTI系统的输出的和。
将结果与输入为，单位冲激响应为的LTI系统的输出进行比较。
两个系统的输出结果是一样的y11=conv(x1,h1);y12=conv(x1,h2);y21=y11+y12;y22=conv(x1,h1+h2);4．卷积具有结合律性质，这意味着用LTI系统的级联处理一个信号所得的结果等效于一个系统来处理，该系统的单位冲激响应应是全部级联系统中单个冲激响应的卷积。
用x1，h1和h2验证结合律性质。
满足结合律y31=conv(x1,h1);y32=conv(y31,h2);y41=conv(h1,h2);y42=conv(x1,y41);中等题5．假定系统有单位冲激响应为和，这里是一个整数，令和是这两个系统当输入为时的输出。
利用交换律性质证明：如果每个系统的输入与单位冲激响应互换的话，输出是相同的。
并基于时不变性质证明。
利用MATLAB确认当，输入为。
he1=h1;ye1=conv(x1,he1);n0=2;he2=[0 0 1 -1 3 0 4];ye2=conv(x1,he2);6．考虑以级联联接的两个系统，分别称系统1和系统2。
假设系统1是无记忆的，且其输入/输出关系为；系统2是LTI系统，其单位冲激响应为，当输入为时研究这两个系统的级联是否满足结合律性质。
不满足结合律y1=(nx1+1).*x1;y5=conv(y1,h1);y2=conv(x1,h1);y6=y2.*(1+0:length(y2))7．考虑系统1和系统2的并联性质。
系统1是一个无记忆系统，其输入/输出关系为表征；系统2是LTI系统，其单位冲激响应为，当输入为时研究这两个系统的并联是否满足分配律性质。
deltan=[1 0 0 0 0 0 0 0 0];x=2*deltan;y71=x.^2;y72=conv(x,h2);y77=y71+y72;y88=conv(x,h3)§8.4线性和时不变性目的：在本练习中将更加熟悉系统的线性和时不变的性质。
基本题：考虑如下3个系统：系统1：系统2：系统3：，其中是每个系统的输入，，和是相应的输出。
1．考虑3个输入，和。
对系统1，将对这3个输入的响应存入w1,w2和w3中，向量w1,w2和w3仅需包含在区间内的值。
利用subplot和stem在一张图上画出w1,w2，w3和w1＋2×w2代表的4种函数的图。
对系统2和3也作出类似的图。
Clear all;close all;n=0:5;x1=zeros(1,length(n));x1(1)=1;x2=zeros(1,length(n));x2(2)=1;x3=x1+2*x2;x4=zeros(1,length(n));x4(3)=1;x5=zeros(1,length(n));x5(4)=1;w1=x1-x2-x4;w2=x2-x4-x5;w3=(x1+2*x2)-(x2+2*x4)-(x4+2*x5);n1=0:5;subplot(1,4,1);stem(n1,w1,'fill','--');grid on;subplot(1,4,2);stem(n1,w2,'fill','--');grid on;subplot(1,4,3);stem(n1,w3,'fill','--');grid on;subplot(1,4,4);stem(n1,w1+2*w2,'fill','--'); grid on;y1=cos(x1);y2=cos(x2);y3=cos(x3);figure;subplot(1,4,1);stem(n1,y1,'fill','--');grid on;subplot(1,4,2);stem(n1,y2,'fill','--');grid on;subplot(1,4,3);stem(n1,y3,'fill','--');grid on;subplot(1,4,4);stem(n1,y1+2*y2,'fill','--'); grid on;z1=n.*x1;z2=n.*x2;z3=n.*x3;figure;subplot(1,4,1);stem(n1,z1,'fill','--');grid on;subplot(1,4,2);stem(n1,z2,'fill','--');grid on;subplot(1,4,3);stem(n1,z3,'fill','--');grid on;subplot(1,4,4);stem(n1,z1+2*z2,'fill','--'); grid on;基本题1．求输入输出满足(8.3)式的LTI系统的单位冲激响应。