积分常数c1和c2由边界条件确定，
c1
tw1
ln
r2
tw2
r1
c2tw1tw1tw2lnlnr2r1r1
圆筒壁的温度分布为：
ttw1tw1tw2llnnrr2 rr11
ttw1tw1tw2llnnrr2 rr11
与平壁内的线性温度分布不同，圆筒壁内的温度沿 径向按对数规律变化 利用傅立叶定律可以求得通过圆筒壁的热流量：
t
tf1
tf2 tf1
1 1
h11
x
h1 h2
尽管温度分布表达式较为繁琐，但平壁内的温度
分布仍为线性的
利用傅立叶定律得到通过平壁的热流密度为：
qdt
dx
tf1 tf2
1 1
h1 h2
❖ 实际上，当无内热源的平壁两侧均为第三类边界条件 时，整体而言是典型的传热过程
❖ 包括三个热量传递环节：两侧的对流传热过程和平壁 的导热过程
1d r dr
r
dt dr
v
0
常物性、无内热源圆筒壁的导热微分方程可简化为：
d dr
r
dt dr
0
若圆筒壁内、外壁面分别维持均匀的温度tw1和tw2，且
tw1>tw2，则其边界条件为
r r1
t tw1
r r2 t t w 2
d dr
r
dt dr
0
对方程积分两次，可得通解为：
tc1lnrc2
❖ 3.2.1 圆筒壁一维稳态导热的数学模型 ❖ （1）工程背景 ❖ 由于制造和加工上的便利，圆形通道在工程中的应用
更为广泛，如发电厂中的蒸汽管道、化工厂的各种液 、气输送管道、供暖热水管道 ❖ 石油工程中的输油管道、注水管道、输气管线、油管 、套管等 ❖ 当圆形通道内、外存在温差时，热量以导热的方式通 过管壁
通过圆筒壁的热流量：
2l tw1 tw2
lnr2 r1
可以发现：在稳态无源的条件下，通过圆筒壁的热流量 是常数，但因圆筒壁内任意位置的导热面积A为不同， 热流密度却不再是常数，而是随着半径的增加而减小
❖ 工程上为了计算方便，通常按单位管长来计算通过圆筒 壁的热流量，记作ql，单位是W/m
ql l
tw1 tw2 1 ln r2
2 r1
r
1
2
ln
r2 r1
为单位管长圆筒壁的导热热阻
❖ 和分析平壁稳态导热一样，在无内热源的条件下，通过 对傅立叶定律分离变量积分，也能够得到和前面完全相 同的结果
❖ 通过圆筒壁一维稳态的导热过程类似于渗流力学中单相 流体平面径向稳定渗流过程
❖ 3.2.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的 圆筒壁
❖ （3）数学模型 ❖ 采用柱坐标系分析圆筒壁内的导热
问题更方便。对内、外半径为r1、 r2、长为l的长圆筒壁
τρc 1 r t r λ r r t r 1 2 λ t z λ z t Φ
1d r dr
r
dt dr
v
0
❖ 需要在圆筒壁的内、外两个壁面 处给出边界条件，可以分别是第 一类、第二类或第三类边界条件
q
tf1 tf2
1 n i 1
h1 i1 i h2
❖ 常物性、无内热源的多层平壁 的稳态导热
❖ ——温度分布曲线为折线 ❖ ——各层内直线斜率取决于材
料的导热系数值 ❖ ——每层温降与该层的热阻有
关，热阻越大，温降也就越大
例题3-4
3.2 通过圆筒壁和球壁的导热
❖ 通过各环节的热流量或热流密度完全相等，三个过程 的热阻显然是串联关系，利用热阻串联原理可以直接 写出热流密度的表达式
❖ 由热流密度相等可求出两侧壁温 tw1和tw2：
tw1
tf1
q h1
tw2
tf 2
q h2
3.1.5 常物性、无内热源的多层平壁
❖ 工程中经常会遇到由不 同材料构成的多层平壁
❖ 设两侧的表面传热系数分别维持为h1和h2，且 沿各自壁面保持不变
❖ 第三类边界条件下平壁稳态导热的数学模型为：
d 2t 0 dx 2
边界条件分别为：
d dxt|x0h1tf1t|x0
dt
dx|xh2t|xtf2
对微分方程积分两次，并利用边界条件确定积分常 数，可以得到此时平壁内的温度分布为
b
为平壁平均温度下的导热系数
0 t b 2 t2 m tw 2 tw 1x0 tw 1 b 2 t2 w 1
这表明，当材料的导热系数随温度呈线性规律变化 时，平壁内的温度分布是二次曲线方程，该二次曲线的 凹凸性主要由温度系数b的正负决定。
利用傅里叶定律分析表明： ——b>0时，温度分布曲 线的开口向下； ——b<0时曲线开口向上
q
tw1 tw4
1 2 3
1 2 3
❖ 由热流密度相等的原则可依 次求出各层间分界面上的温 度，即
qtw1tw2 tw3tw4
1 1 3 3
❖ 对由n层平壁组成的多层平 壁，热流密度的计算公式为
q t w1 t w n1
n i
i 1 i
❖ 对两侧处于第三类边界条件 下的多层平壁，利用热阻分 析法可以得到热流密度的计 算公式为：
❖ ——采用耐火砖、保温 层和普通砖层叠而成的 锅炉炉墙
❖ 为方便起见，以由三层 平壁为例进行分析
❖ 对多层平壁，更关心的是 通过平壁的热流密度
❖ 三层平壁的稳态导热： ❖ ——热量由高温侧向低温
侧依次以导热方式通过各 平壁，共有三个导热环节 ，且各环节之间属于串联 关系
❖ 根据等效热阻网络图，利用 串联热阻叠加原则直接写出 此时的热流密度：
根据热阻串联的原理很容易得到：
ql 211lnrr1 22t1 w 12ltnw4rr2 3213lnrr3 4
第3章 稳态导热的计算与
分析
❖ 作业：3-3，3-8，3-11，3-14，3-18 ，3-22
❖ 导热的理论基础： ❖ ——导热的基本定律 ❖ ——导热微分方程 ❖ 工程中的许多问题，直接利用三维、非稳态
的导热微分方程进行求解是没有必要的 ❖ 可根据具体问题的特点进行简化
❖ 分析工程问题时，需要作出适当的简化和假设 ❖ 稳态导热是其中最重要也是最常用的简化之一 ❖ ——处于正常运行工况时的物体，可以看作处
0 t b 2 t2 m tw 2 tw 1x0 tw 1 b 2 t2 w 1
❖ 根据傅立叶定律，通过平壁的热流密度为
q d d x t 0 1 b d d x t tm tw 1 tw 2m t
❖ 无源时，即使导热系数随温度变化，通过平壁的热流 密度仍然为常数
❖ 导热问题的数学描述为
d 2t dx 2
0
边界条件为：
t x0 tw1
t x tw2
积分两次，得到通解为：
t c1xc2
t c1xc2
得到平壁内的温度分布为：
t tw2tw1xtw1
根据傅立叶定律，可求得通过平壁的 热流量和热流密度
Φ Ad dx tAtw 1 tw 2A t qd dx ttw 1tw2t
❖ 分析方法：理论分析方法
3.1.1 平壁一维稳态导热的数学模型
❖ （1） 工程背景 ❖ ——建筑物房间的采暖设计：墙壁、玻璃 ❖ ——冷库的保冷设计：墙壁 ❖ ——油罐的保温设计：罐壁
❖ （2） 物理模型 ❖ 墙壁、玻璃、罐壁等物体具有相似
的几何特征 ❖ ——某一方向的尺寸远远小于其他
两个方向的尺寸
❖ ——采油或输油管线会沿管壁形成蜡沉积层等 ❖ 这时的圆筒壁称为多层圆筒壁
❖ 以三层圆筒壁为例
❖ 从内向外各层的半径分别为r1 、r2、r3和r4
❖ 导热系数λ1、λ2和λ3为常数 ❖ 最内层和最外层表面维持均匀
温度tw1和tw4（tw1>tw4），各交 界面温度分别为tw2和tw3（通 常未知）
❖ （2）物理模型 ❖ 实际上：管壁内的导热是三维的，
温度将沿径向、轴向和周向变化 ❖ 物理上：热量传递一般是在管内、
外流体之间管内进行的，热量传递 沿半径方向
❖ （2）物理模型 ❖ 可将发生在圆形通道管壁内的导热
简化成一维，温度变化仅发生在半 径方向上 ❖ 这样的圆形通道称为长圆筒壁，简 称圆筒壁 ❖ 只要管长超过圆筒壁外径的5倍， 就可认为是长圆筒壁
将高度和宽度远远大于厚度(8～10倍)的物体称为大平 壁，简称平壁。基本尺寸有平壁厚度δ和面积A
❖ 平壁一维稳态导热简化的基础： ❖ ——平壁的几何特征 ❖ ——平壁的传热特点： ❖ （1）平壁两侧换热均匀（沿高度
、宽度方向），忽略边缘效应 ❖ （2）温度变化发生在平壁的厚度
方向上
❖ （3）数学模型 ❖ 平壁一维稳态导热的控制方程可由导热微分方程简化
而来，即
τρc t x λ x t y λ y t z λ z t Φ
d dt Φ 0
dx dx
这是平壁一维稳态导热最一般的方程，可以根据具 体问题的物理条件做进一步的简化
d dt Φ 0
dx dx
❖ 二阶常微分方程，有两个积分常数，需要两个边界条 件
❖ 边界条件分别在平壁的两侧给出，两侧的边界条件可 以分别是第一类、第二类或第三类边界条件中的任一 个
常物性、无内热源平壁稳态导热的计算公式：
ΦAtw1 tw2
q tw1 tw2
稳态法测定物质导热系数的基本依据
常物性、无内热源的条件下，平壁一维稳态导热的 热流量或热流密度为常数
由此可以采用另一种方法得到平壁内的温度分布
q dt dx
对傅里叶定律分离变量积分：
qdxdt
从0~δ积分，可以得到热流密度表达式
从0~x积分，可以得到温度分布的表达式