，可以推出������0 =
2������ ������������ 1−������
2
= ，是阻尼振动振幅衰减到原来 ������−1 需要
，是系统共振锐度或频率选择性的量度。
������������ ������
6. 对数缩减率Λ =
=
2������������ 1−������ 2
，定义为衰减阻尼振动中相邻两
������ ������ 0 ������ 、 ������
=
������ 2 ������������ 2������
2 ������2 0 −������
3. 阻尼振动周期������������ = 4. 时间常数������ = 的时间。 5. 品质因素������ ≡
1 2������ 2������ ������ 1 ������
2 小阻尼(������ 2 − ������0 < 0)时，阻尼振动运动方程的解为 2
������ ������ = ������������ exp −������������ cos
2 ������0 − ������ 2 ������ + ������������ 2
由 上 式 可 知 ， 阻 尼 振 动 角 频 率 ������������ = ������2 0 − ������ ， 而 周 期 为 ������������ =
[2]
即 ������ 2 ������ ������������ ������ 2 + ������ + ������������ = ������������������ cos ������������ ������������ ������������ 它和弹簧支座固定、摆轮受周期外力矩������������������ cos ������������作用时运动 方程在形式上完全一致，等效外激励力矩的振幅为������������������ ，则对 应的稳态解振幅和相位差分别为 ������������ = ������������ ������2 0
2 ������0 − ������ 2 ������ + ������������ + ������������ cos ������������ − ������
由微分方程理论可知， 此通解是一个阻尼振动与一个频率和激 励源相同的简谐振动的合成。当������ ≫ ������之后（������定义为阻尼振动 振幅衰减到������−1 所需的时间）就有稳态解 ������ ������ = ������������ cos ������������ − ������ 稳态解的振幅和相位差分别为 ������������ = ������/������
2 + 4������ ������2 ������2 0 − ������ 2 2
������ = arctan
2������������ 2 ������0 − ������ 2
2 ������0 − 2������2 时，������������ 取得极大
则可求得������������ 在外激励角频率������ = 值
2.11 阻尼振动与受迫振动
一、 实验目的： (1) 观测阻尼振动，学习测量振动系统基本参数的方法； (2) 研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观测共振现象； (3) 观测不同阻尼对受迫振动的影响。
二、 实验原理 (1) 有粘滞阻尼的阻尼振动 弹簧摆轮振动系统中，摆轮转动惯量为������，粘滞阻尼的阻尼力 矩大小定义为������
可知，经过一个周期，振幅 ������������ 衰减为 ������������−1 的 ������−������������������ 倍，而 ������������ =
2������
2 ������2 0 −������
，可得−������������������ = −2������ ������ −2 − 1
−0.5
，如果测量一组
������������ 的值，则它们的自然对数 ln ������������ 是等差级数，级差正是 ������ = −������������������ ，此时������ 的表达式为 ������ = 而������ = −
������ ������������
2������ −������
[6]
六、 数据处理 (1) 最小阻尼时的阻尼比������ 和固有角频率������0 1 ������ −������ ������ = 2 ln ������+25 = − 6.87 × ������������ 25 ������=1 ������������ 1 −3 4 ∆������= ������25������ =1.26 × 10− ������25������ = 3.159 × 10 , 25 由实验原理可知 ������ = ∆������ =
(3) 测量阻尼状态“3”和“4”的振幅，仿照(2)的方法求������ ，周 期的不确定度取其10 倍加上其显示值末位变化“1”所对 应的量值。
−5
实验中需测量每次振动的周期，周期选择臵于“1”的
[5]
位臵，只需要记录10组������������ 的值，取自然对数后用逐差法算出 ������， 进而算出������ 和它的不确定度， ������ = 测量10组������������值，由������ = −������������������ 得������ =
2 2 2 ������ + 4������ ������ 0 2
������ ������0 ������ = arctan ������ 1− ������0 2������
2
它们随频率比变化的曲线称为幅频、相频特性曲线。
[3]
(5) 描述阻尼振动的常用参量 转动惯量������、 劲度系数������、 阻尼力矩系数������、 固有角频率������0 = 外激励角频率������。 常用的还有： 1. 阻尼系数������ = ������/2������ 2. 阻尼比������ =
������������ ������������
，������ 为阻尼力矩系数。弹簧的劲度系数为������ ，
忽略弹簧的等效转动惯量，得摆轮转角������的运动方程为 ������ 2 ������ ������������ ������ 2 + ������ + ������������ = 0 ������������ ������������ 记������0 = ������/������为无阻尼时自由振动的固有角频率，定义阻尼系 数������ = ������/(2������)，则运动方程化为 ������ ������ ������������ + 2������ + ������2 0 ������ = 0 2 ������������ ������������
循环振幅比的自然对数。
三、 实验任务和步骤 (1) 调整波耳共振仪处于工作状态： 打开电源开关， 关断电机和 闪光灯开关，阻尼开关臵于0档，微调光电门使之不与摆轮 和相位差测量盘接触。 手动调整电机偏心轮使有机玻璃转盘 上的0位标志线指示0度，即通过连杆和摇杆使摆轮处于平 衡位臵。波动摆轮使之偏离平衡位臵150° ~200° ，释放后检 查摆轮的自由摆动情况，振动衰减应该很慢。
2 ������
1. 用此法测定的������0与已有结果的比较 2. 逐点求实测相位差������与理论计算值的相对偏差。
四、 注意事项 (1) 为避免剩磁影响， 不要随便拨动阻尼开关， 并且在同一阻尼 状态需测量完阻尼振动和受迫振动再拨动到另一个阻尼状 态。 (2) 相频特性和幅频特性要在振动稳定后测量 (3) 共振点附近随时调节������，避免振幅过大损坏仪器
2 + 4������ ������2 ������2 0 − ������ 2 2
������ = arctan
2 ������0
2������������ − ������ 2
可见摆轮受迫振动总是滞后于激励源支座的振动。 (3) 波耳共振仪的受迫振动运动方程和解 波耳共振仪中，偏心轮的偏心半径为������，偏心轮的电机角速度 为������，则弹簧支座的偏转角一阶近似为 ������ ������ ������ = ������������ cos ������������ = cos ������������ ������ 可见支座是弹簧运动的激励源。则弹簧形变的总转角为 ������ − ������������ cos ������������。而������ 正是摆轮相对于固定坐标系的转角。则对 于摆轮，它的运动方程为 ������ 2 ������ ������������ ������ 2 + ������ + ������ ������ − ������������ cos ������������ = 0 ������������ ������������
2������ ������2 0 −������
2
。
[1]
(2) 周期外力矩作用下的受迫振动 在周期外力矩������ cos ������������激励下的运动方程和方程的通解为 ������ 2 ������ ������������ ������ 2 + ������ + ������������ = ������ cos ������������ ������������ ������������ ������ ������ = ������������ exp −������������ cos
(2) 测量最小阻尼时的阻尼比������ 和固有角频率������0，阻尼系数������。