t
临界阻尼
2
02
称之为临界阻尼情况。它是振动系统 刚刚不能作准周期振动，而很快回到
平衡位置的情况，应用在天平调衡中。
是从有周期性因子
2 0
2
到无周期性的临界点。
二、受迫振动
设强迫力 F cos pt
阻尼力： Cv
m
d2x dt 2
Cv
kx＋F
cos
pt
令
02
k ;
m
2m；f
F m
A
f
(02
2 p
)2
4
2 2 p
tg 0
2 p
02
2 p
三、共振
1、共振的概念
当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的位移振幅
出现最大值的现象，叫做位移共振，简称共振。
2、共振角频率和共振振幅
求振幅对频率的极值
A
p
＝
共振角频率
共振振幅
02
f
2 p
2
4
2
2 p
＝0
r 02 2 2
Ar 2
点看在共振时，这能量转变为共振质点的能量，也叫共 振吸收。
3、共振的危害及其应用 •危害
•应用
•钢琴、小提琴等乐器利用共振来提高音响效果； •收音机利用电磁共振进行选台；
•核内的核磁共振被用来进行物质结构的研究和 医疗诊断等。
•防止
•改变系统的固有频率或外力的频率； •破坏外力的周期性； •增大系统的阻尼； •对精密仪器使用减振台。
d2x dt 2
2
dx dt
02x
f
c o s pt
当 2 02 时，其解为：
x(t) A0et cos( 02 2t ) Acos(pt )
经过足够长的时间，称为定态解：
x(t ) Acos( pt )
该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；
稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：
3、讨论
x(t)
•情况1：欠阻尼 2 02
t
x(t) Aet co s(t )
02 2
欠阻尼
阻力使周期增大 这种情况称为欠阻尼
由初始条件决定A和初相位 0 ,设
t 0, x (0) x0 , v t0 v0
即有： x0 Acos v0 A sin A cos
A
x02
(v0
f
02 2
当阻尼无限小时
0
共振发生在固有频率处，称为尖锐共振。
r 0,
Ar
受迫振动相位落后于强迫力相位 2，即振动速度 与强迫力同相位，即外力始终对系统作正功，对 速度的增大有最大的效率。这正是振动振幅急剧 增大的原因。
但是，随着振幅的增大，阻力的功率也不断增大，最后 与强迫力的功率相抵，从而使振幅保持恒定。从能量观
2
x0 )2
tg0
v0 x0(
C e 2 02 )t
(
2
2 02 )t
x(t)
积分常数由初始条件来
决定，这种情况称为过 阻尼。
t
无振动发生
过阻尼
情况3：临界阻尼
2 02
x(t)
x(t) (C1 C2t)e t
积分常数由初始条件 决定的