2R(R r0 )
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S 2R R(1 cos),(2)
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cos R2 (R r0 )2 rk2 , (3)
2R(R r0 )
(2)、(3)两式分别微 分，并化简可得
dS 2RdrN , (4)
rN
R r0
由于rN远大于，故drN≈/2， dS看作是半波带的面积，则有
照射到衍射屏上的光波和离开衍射孔到达观察屏上的 波面都不能当作平面来处理。
直接运用菲涅耳-基尔霍夫公式定量分析菲涅耳衍射，
数学处理非常复杂；- -可用计算机进行数值运算
半定量法分析菲涅耳衍射 代数加法- -波带法(半波带法) 振幅矢量加法- -图解法
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1.菲涅耳波带法
3.3 菲涅耳衍射
3.3.1 菲涅耳圆孔衍射- -菲涅耳波带法
1.菲涅耳波带法 2.菲涅耳圆孔衍射 3.菲涅耳圆屏衍射
3.3.2 菲涅耳直边衍射- -振幅矢量加法
1.振幅矢量加法 2.*菲涅耳直边衍射 3.*菲涅耳单缝衍射
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菲涅耳衍射
菲涅耳衍射是在菲涅耳近似条件成立的距离范围内所 观察到的衍射现象；
N
N m ax

2 N
R
称为菲涅耳数，它是一个描述圆孔 衍射效应的很重要的参量。
此后，随着r0的增大，P点光强不再出现明暗交替 的变化，逐渐进入夫朗和费衍射区。
而当r0很小时，N很大，衍射效应不明显。当r0小 到一定程度时，可视光为直线传播。- -几何区
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(2)ρN对衍射现象的影响
露出一小部分对P1有作用， 以M1’O表示.
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露出的波面对P1点产生的光场 复振幅，在科纽螺线中以OZ和 M1 O’的矢量和，即M1’Z表示.
②讨论图中P1点光强
M1’在科纽螺线中的位置取 决于P1点到P0点的距离;
P1点离P0愈远，M1’点沿螺线 愈接近Z’;
随着P1点位置的改变，P1点的 振幅或光强是改变的;
r2=r1+λ/2 r1=r0+λ/2
B0P r0 B1P B0P B2 P B1P
B2
B1
B3P B2P …
O
R
B0 r0
●
P

BN P BN 1P 2
这样分成的环形波带
称为菲涅耳半波带。
任意相邻波带所发的次波到达P点时的光程差为/2;亦即它们同时到 达P点时的相位差为。
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3. 圆屏衍射
S
r0
P
P点的振幅
设圆屏遮蔽了开始N个波带，从第N+1个波带起，其 余所有波带发出的光（次波）均能到达P点。故P点 的合振幅为
Ak
ak 1 ak 2
ak 3
... 0
1 2
ak
1
可见，不管圆屏的大小、位置如何。圆屏几何影子的 中心都有光到达，即P是始终是亮点。
播到任一点P时的振幅，只要把球面波相对于P分成半
波带，将第一个和最后一个（第N个）带所发出的次
波的振幅相加或相减即可。
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(3) N与ρN间的关系
D
图示O为点光源，DD’ 为光阑，其上有一半径 为ρN的圆孔，S为通过
圆孔的波面－球冠(球 冠的高为h)，P为圆孔
对称由上任意一点。
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P点的合振幅
所有次波在P点的合振幅为
AP

1 2
[a1
(1) N 1 aN ]
1 2
(a1
＋ ：N奇 数 aN ), － ：N隅 数
a1
a3
a5
a1
a3
a5
aN AP
结 论
a2
a4
aN AP
a2
a4
a6
N是偶数
N是奇数
应用惠更斯－菲涅耳原理来计算从点光源发出的光传
S N rN
R , (5)
R r0
由此可见，SN/rN与N无关，则各个半波带对AN的 影响仅与倾斜因子K(N)有关；
K(N)随N的增大(增大)而缓慢减小，故aN将随N的 增大而缓慢减小。
结论：各个波带所发次波，传到P点时
振幅aN，随N的增大而缓慢减小； 相位逐个相差。
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2 N

Nr0 2r0h
又

2 N
R2
(R h)2

h


2 N
2R
由以上两式可得
N


2 N
(1

1)
讨论：
r0 R
▲ 对 P 点若S 恰好分成 N 个半波带时：
AP

1 2
(a1
aN )
N为奇数
AP

1 2 (a1
aN )
N为偶数
AP

1 2 (a1
- - 泊松斑
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讨论
圆屏的面积↓→N↓→ak↑→Ap↑：P点变亮； 圆屏与光源间或圆屏与光屏间距离变化时，N随
之改变，P点的光强也将改变；
若圆屏足够小，仅遮蔽中心半波带的一部分， 则光可完全绕过它，除在圆屏“影子”的中心 有亮点外，光屏上没有任何影子；
光屏中心亮斑－泊松斑
波带特点 P点的振幅
条状波带面积随波带 序数N的增大而快速 减小。
各波带在P点的光场复振幅， 当波带序数N的增大时，迅速 下降；
波带面积减小、到P点的距 离增大、倾角加大。
不能应用环形波带的有关公式 进行讨论。如何做？
微积分思想：
将每个直条波带按相邻波带 间相位差相等的原则，再分 成若干个波带元。
圆屏衍射图样：以P为中心，在其周围有一组明 暗交替的衍射环。
互补屏菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射有何区别？
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菲涅耳直边衍射图样
一个平面光波或柱面光 波通过与其传播方向垂 直的不透明直边(刀片的 直边)后，将在观察屏幕 上呈现出左图所示的衍 射图样；
在几何阴影区的一定范 围内，光强度不为零， 而在阴影区外的明亮区 内, 光强度出现有规律 的不均匀分布。
an
0, A

a1 2
若圆孔具有一定大小，对观察点P，仅有一个半波带露 出，则有Ap=a1，
与不用光阑相比，此时P点的光强是不用光阑时的4倍。
亦即有光阑比没光阑时还要亮,小光阑具有聚光本领。
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(3)光源对衍射的影响
波长对衍射的影响
N


2 N
(1

1)
r0 R
2.菲涅耳直边衍射
根据振幅矢量法，可 以很方便地讨论菲涅 耳直边衍射图样。
① 讨论右图中P0点 光源与直边边缘连 线上的观察点，
直边屏把下半部分波面全部遮住，只有上半部分波面 对P0点产生作用；
P小0Z点’Z的的光一场半振，幅而大光小强O为Z为其波1/面4。无任何遮挡时的振幅大
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②讨论图中P1点 光强
由P1向光源S作的直线 与波面交于C1，并由C1 开始，重新对波面分成
许多半波带；
与P0点情况相比较，相 当于M0点移到了C1,
C1以上的半个波面完全不 受遮挡，它在P1点产生的 光场振幅由科纽螺线上的
OZ表示；
C1以下的半个波面，有一 部分被直边屏遮挡， 只
这些波带在Q点引起振动的振幅大小，不仅取决于波带的数目， 还取决于每个波带露出部分的大小。
精确计算Q点的合成振动振幅是很复杂的，但可以预计，当Q点 逐渐偏离P点时，有的地方衍射光会强些， 有些地方会弱些。
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T 3-27 328
图3-27 轴外点波带的分法
图3-28 轴外点带的分布
S
λ
A
· ρN
O R B B0
D’
N个完整菲涅 耳半波带数
rN r0
·P
BB0 h h r0
首先考虑通过圆孔N个完整菲涅耳半波带。图中
rN r0 N 2
由几何知识可得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

2 N
rN2
(h r0 )2
(r0
N 2)2
(r0
h)2
Nr0 2r0h, (略去二阶小量h2 , N 22 )
“－”：相邻两个半波带所发次波到达P点相位差为
讨论aN的大小 按惠更斯－菲涅耳原理 aN为
aN

K ( N )S N
rN
, (1)
球冠的面积为 S 2R R(1 cos ),(2)
由余弦定理可得 cos R 2 (R r0 ) 2 rN2 , (3)
(1)菲涅耳波带 - -菲涅耳半波带 (2)合振幅的计算 (3)波带数N与圆孔半径ρN间的关系
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(1) 菲涅耳半波带
点光源O发出球面波，经DD’调制后为一球冠S，OP与 S交于B0点－－P对波面S的极点
将波面S分成许多以B0 为圆心的环形波带，并使：
S
r3=r2+λ/2
B3
的一半。
500nm, R r 1mm
由于半波带的面积非常小， 时1 0.5mm 所以没有遮蔽的整个波面的光能传播，几乎可以看
作是沿直线OP进行的－－光在没有遇到障碍物时 是沿直线传播的。
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