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例 1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土 面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为 x 轴，由南向北方向为 y 轴，选择方便的原点，并将 从最西边界点到最东边界点在 x 轴上的区间适当的 分为若干段，在每个分点的 y 方向测出南边界点和北 边界点的 y 坐标 y1 和 y2，这样就得到下表的数据（单 位：mm）。
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凸轮高度的数据（单位：mm）
i 0 和 18
yi 502.8
i
6
yi 92.2
i
12
yi 236.0
1 525.0
7 59.6 13 280.5
2 514.3
8 62.2 14 324.9
可以证明当 m n 且 x0 x1 xn 时，这样的多项式 存在且唯一。若要求得到函数表达式，可直接解上 面方程组。
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若只要求得函数在插值点处数值，可用下列
Lagrange 插值公式
Pn (x)
n i0
n
yi (
j0, ji
x xj ) xi x j
多项式插值光滑但不具有收敛性，一般不宜采用高
146.0 150.0 157.0 158.0];
y1=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32
65 55 54 52 50 66 66 68];
y2=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121
次多项式（如 m>7）插值。
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例 2、在万能拉拨机中有一个园柱形凸轮，其底园半 径 R=300mm，凸轮的上端面不在同一平面上，而要 根据动杆位移变化的需要进行设计制造。按设计要 求，将底园周 18 等分，旋转一周。第 i 个分点对应柱 高 yi (i 0,1,2, ,18) ，数据见下表。为了数控加工，需要 计算出园周上任一点的柱高。
124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68];
newx=7:0.1:158;
newy1=interp1(x,y1,newx,’linear’);
newy2=interp1(x,y2,newx,’linear’);
Area=sum((newy2- newy1)*0.1/18^2*1600)
最后计算的面积约为 42414 平方公里。
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2、多项式插值
设有 m 次多项式
P(x) a0 x m a1x m1 am1x am
通过所有 n 1个点 (x0 , y0 ), (x1, y1), , (xn , yn ) ，那么就有
a0 xi m a1xi m1 am1xi am yi , i 0,1, , n
第十章 插值与拟合 方法建模
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在生产实际中，常常要处理由实验或 测量所得到的一批离散数据，插值与拟合 方法就是要通过这些数据去确定某一类已 经函数的参数，或寻求某个近似函数使之 与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟 合的方法很多，这里主要介绍线性插值方 法、多项式插值方法和样条插值方法，以 及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。 相应的理论和算法是数值分析的内容，这 里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。
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x 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34 y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28 y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121 x 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0 y1 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68
1、分段线性插值
这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据
点用折线连接起来。如果
a x0 x1 xn b
那么分段线性插值公式为
P(x)
x xi xi1 xi
yi1
x xi1பைடு நூலகம்xi xi1
yi
, xi1
x
xi
, i 1,2,
,n
可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛
的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。
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§1 数据插值方法及应用
在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题： 由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此 建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与 此有关的一类问题是当原始数据 (x0 , y0 ), (x1, y1), , (xn , yn ) 精度较高，要求确定一个初等函数 y P(x) （一般用多 项式或分段多项式函数）通过已知各数据点（节点）， 即 yi P(xi ) , i 0,1, , n ，或要求得函数在另外一些点 （插202值0/5/1点0 ）处的数值，这便- 是插值问题。
n
S
lim
n
[
i 1
f 2 (i )
f1 (i )]xi
式中，i [xi1, xi ] 。
这里2020/线5/10性插值和面积计算源- 程序如下：
clear all
x=[7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5
80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0
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根据地图的比例，18 mm 相当于 40 km。
根据测量数据，利用 MATLAB 软件对上下边界
进行线性多项式插值，分别求出上边界函数 f2 (x) ，
下边界函数 f1(x) ，利用求平面图形面积的数值积分 方法—将该面积近似分成若干个小长方形，分别求
出这些长方形的面积后相加即为该面积的近似解。