S(x,y,z) 是光程函数，代入亥姆赫兹方程得：
根据光线理论的几何光学近似条件，有
，则
——光程函数方程
若已知折射率分布，可由上述方程求出光程函数S，则可确定 光线的轨迹。
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射线方程的推导
n（2）射线方程（光线方程）
由光程函数方程可推得光线方程：
物理意义： • 将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来; • 由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式; • dr/dS=cosθ,对于均匀波导，n为常数,光线以直线形式传播 ; 对于渐变波导,n是r的函数,则dr/dS为一变量,这表明光线将 发生弯曲。 • 可以证明,光线总是向折射率高的区域弯曲。
e＝e0n2
为梯度算符，在直角坐标系与圆柱坐标系中分别为：
边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续： E1t＝E2t; H1t＝H2t; B1n＝B2n; D1n＝D2n
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分离变量：电矢量与磁矢量分离
n
得到只与电场强度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与 磁场强度H(x,y,z,t)有关的方程式：波动方程
光线总是向折射率高的区域弯曲
n由光线方程可以证明下列关系式成立：
课后作业题：证明上式。 提示：
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典型光线传播轨迹
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§2.4 波导场方程
分离变量：空间坐标纵横分离：
n
前提条件：光纤中传播的电磁波是“行波”，场分布 沿轴向只有相位变化，没有幅度变化；
纵模
n n
相长干涉 条件：2 nL＝Kλ 纵模是与激光腔长度相关的，所以叫做“纵 模”，纵模是指频率而言的。
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模式的场分量
n
n
模式场分布由六个场分量唯一决定： Ex Ey Ez Hx Hy Hz Er Ef Ez Hr Hf Hz Ez 和 Hz 总是独立满足波导场方程
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群延时与色散
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模式的其它特性
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课堂测验(1)
1. 设计一种光波导结构，其传光波导层为平板形 状，标出折射率结构。 2. 从数学上证明，在均匀折射率介质中，光纤轨 迹为直线传播。 3. 如果已经知道光纤中只允许1个模式存在，能否 通过外界激励获得2个模式传播？ 4. “纵横关系式”有何作用？ 5. 光场分量的哪一个分量总是独立满足波导场方 程？写出该波导场方程式。
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分离变量: 时空坐标分离
前提：光纤传播单色光波，时间函数为简谐函数 令场分量为：
得到关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式，即 亥姆霍兹方程：
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§2.3 程函方程与射线方程
n（1）光程函数方程
设上述的标量场方程的解有如下形式：
n如何推得射线方程？
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射线方程的推导
设S(x,y,z) 是光程函数，取线段元dS, dr为dS的切线， dr的单位矢量为：τ= dr/ dS S的梯度为：g = τ// g
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n
归一化频率V: 给定光纤中,允许存在的导模由其结构参数所 限定。光纤的结构参数可由其归一化频率V表征: V值越大, 允许存在的导模数就越多。
n
n
导模的“截止”: 除了基模之外,其它导模都可能在某一个V值 以下不允许存在, 这时导模转化为辐射模。使某一导模截止 的Vc值称为导模的"截止条件"。 导模的“远离截止“: 当导模的本征值β→n1k0时,导模场紧紧 束缚于纤芯中传输,称之为导模的“远离截止”。同样,每一个 导模都对应于一合适的V值使其远离截止,称之为导模的“远 离截止条件"。
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n
n
横模
光纤中的模式-横模
光波在传输过程中，在光束横截面上将形 成具有各种不同形式的稳定分布，这种具 有稳定光强分布的电磁波，称为横模。横 模（表现在光斑形状）的分布是和光波传 输区域的横向（xy面）结构相关的；
n
光纤中的模式：
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n
得到关于E(x,y)和H(x,y)的方程式：波导场方程
c2＝w2em-b2＝n2 k02-b2 b=n(r)k0cosqz
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波导场方程的数学物理意义
波导场方程：是波动光学方法的最基本方 程。它是一个典型的本征方程,其本征值为 c或β。当给定波导的边界条件时,求解波 导场方程可得本征解及相应的本征值。通 常将本征解定义为“模式”.
第二章 光纤光学的基本方程
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§2.1 引言
光纤光学的研究方法
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分析方法比较
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分析思路
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§2.2 麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
D＝εE B＝μH
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模式场分布与传播常数
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传播常数
传播常数b ：z方向单位长度位相变化率 波矢量k的z-分量
c
k=n(r)k0 qz b z
芯区：c为实数 包层：c为纯虚数
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模式的重要性质
n
场的横向分量可由纵向分量来表示
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直角坐标系纵横关系式
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圆柱坐标系纵横关系式
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横纵关系式
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模式命名
n
n
根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否,可 将模式命名为: (1)横电磁模(TEM): Ez＝Hz＝0; (2)横电模(TE): Ez＝0, Hz≠0; (3)横磁模(TM): Ez≠0,Hz＝0; (4)混杂模(HE或EH):Ez≠0, Hz≠0。 光纤中存在的模式多数为HE(EH)模,有 时也出现TE(TM)模。
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横向传播常数
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相速度与群速度
在光纤中,Vp大于光速c/n1而Vg小于光速c/n1,并有如下关系式: Vp＝ c/(n1cosθz )≥ c /n1 Vg＝(c/ n1)cosθz ≤ c /n1 其中θz是波矢K与z轴夹角。仅当θz＝0时才有Vp＝Vg＝c/n1。 不同的θz角相应于不同的导模,对应于不同的相速Vp和群速Vg。
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§2.5 模式及其基本性质
----每一个模式对应于沿光波导轴向传播 的一种电磁波; ----每一个模式对应于某一本征值并满足 全部边界条件; ----模式具有确定的相速群速和横场分布. ----模式是波导结构的固有电磁共振属性 的表征。给定的波导中能够存在的模式 及其性质是已确定了的,外界激励源只能 激励起光波导中允许存在的模式而不会 改变模式的固有性质。