第一章轴对称图形轴对称与轴对称图形轴对称的性质线段轴对称图角轴对称图形等腰三角形等腰梯形第一节一、1.轴对称定义：把一个图形沿一条直线这段，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形轴对称。

这条直线称为对称轴（对称轴是一条直线，不是射线或线段），两个图形的对应点（即沿对称轴对折后，能够重合的点）叫做对称点。

2. 轴对称图形定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形3. 轴对称与轴对称图形的区别：（1）轴对称是两个图形的位置关系，轴对称图形是一个具有特殊形状的图形（2）轴对称涉及两个图形，轴对称是一个图形轴对称与轴对称图形的联系:（1）定义中都有一条直线，沿这条直线折叠重合。

（2）轴对称图形一定成轴对称，成轴对称的不一定是轴对称图形。

注意：轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的存在多条例1.下列图形中对称轴最多的是（）A. 丁香花形B. 带饰上的花纹C. 古币D. 雪花例2、如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例3.剪纸是中国的民间艺术．剪纸方法很多，下面是一种剪纸方法的图示(先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案)：下面四个图案中，不能用上述方法剪出的是( )二、轴对称的性质：1.（1）线段垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线（线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合，即①经过线段的中点②垂直于线段，两者缺一不可。

）（2）作线段AB的垂直平分线：①分别以A、B为圆心，大于AB21的长为半径画弧，两弧相交于点C、D②过C、D两点作直线③直线CD就是线段AB的垂直平分线2.性质：①成中轴对称的两个图形全等；②如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

3. 画轴对称图形：先确定对称轴，然后找出对称点（画线段、三角形的轴对称图形关键在于找到对称点，再把这些对称点顺次连接）例如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。

BAClBACBAC三、线段轴对称性：1. 线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的点距离相等线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端的点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上例1： 已知L 是AB 的垂直平分线 求证：PA=PB解：例2： 如图，AD ⊥BC ，垂足为D,BD=CD,AB=5，BD=3,求ΔABC 的周长；四、角轴对称性：1. 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线2. 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等3. 角平分线的性质逆定理：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 例： 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠BAC 的角平分线交于点O ， OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，垂足分别为D 、E 、F ． (1) OD 与OF 相等吗？为什么？ (2) OE 与OF 相等吗？为什么？ (3) OD 与OE 相等吗？为什么？90(____)_______(_____)_______(_____)________(_____)______(_____)L AB AO BOAOP BOP PO PO ∴=∠=∠=∆∆=⎧⎪⎨⎪⎩∴∴=是的垂直平分线（理由：____________)在AOP 和BOP 中,___5553316ABC AD BC BD CD AD BC AC C AB AC BCAB AC BD CD ⊥=∴∴==∴=++=+++=+++=解：是的______;练习在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的实际时间应该是__________.分析：我们从镜子里看到的物体，其左右方向和我们直接看到的物体的左右方向恰好是相反的.解：21∶05 一、 判断题：① 角是轴对称图形，对称轴是角的平分线； （ ） ③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形； （ ） ④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。

（ ） 二、作图题：1. 已知△ABC ，求作一点P ，使PB ＝PC ，且使点P 到AB 、AC 的距离相等.AB C2. 如图，已知∠AOB 及点C 、D ，求作一点P ，使PC=PD ，并且使点P 到OA 、OB 的距离相等。

3.如图，直线a 、b 、c 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？如何选？4.如图，在网格中有两个全等的图形（阴影部分），用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图（1）、（2）中画出两种不同的拼法.· C O A · Dcba图（1）图（2）三、选择题:1、下列轴对称图形中，对称轴最多的是（）.A、等腰直角三角形B、有一角为60的等腰三角形C、正方形D、圆2.如果△ABC≌△A’B’C’，能否说△ABC与△A’B’C’一定是轴对称图形，理由是.1.如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，且CD = 5，则点D到AB的距离为.到一条线段两端距离相等的点有个。

3、如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E。

试说明BD 垂直平分AE2. 在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，下列说法不正确的是（）A、BD平分ACB、AD⊥BDC、AD垂直平分BC，D、BD垂直平分AC、已知：在ΔABC中，D是BC上一点，DE⊥BA于E，DF⊥AC于F，且DE=DF.。

试判断线段AD与EF有何关系?并说明理由。

CBADEDC3. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，且BD = DC EB = FC 吗？说明理由4．已知:如图,在ΔABC 中.O 是∠B 、∠C 外角的平分线的交点，那么点O 在∠A 的平分线上吗？为什么？3. 如图所示，点P 在∠AOB 内，点M 、N 分别是点P 关于OA 、OB 的对称点，连接M 、N ，分别交OA 、OB 于点E 、F ，若MN ＝20cm ，求△PEF 的周长.AOBM NEFP第二节五、等腰三角形的轴对称性：1. 等腰三角形的概念:（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）相等的两边叫腰，另一条边叫底边．如AB 、AC 叫腰，BC 叫底边．（3）两腰所夹的角，如∠BAC 叫做顶角，底边与腰的夹角∠ABC 和∠ACB 叫底角． （4）顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．ABC腰顶角底角底边底角腰2. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角的平分线所在直线。

3. 性质：（1）三线合一：它的顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合。

（2）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。

（3）等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例1：任意剪一张直角三角形纸片，如图1。

（2）剪得的纸片是否能折成图2和图3的形状？ （3）把纸片展开，连接CD ，你有什么发现？ 由于经过折叠，①和②，③和④是重合的，所以 ∠A=∠ACD ，∠B=∠BCD 即：AD=CD ，BD=CD 所以 CD=12AB例2. 已知，如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，并且BD 、CE 相交于点O ，那么OB ＝OC 吗？（1） （2） （3） （4）CBDC BAABCOD E分析：OB 和OC 都是△OBC 的边，要得出OB ＝OC ，考虑运用等腰三角形的判定定理：“等角对等边”，即要证得∠OBC ＝∠OCB.解：OB ＝OC. 因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB （等边对等角）.又因为∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ，所以∠OBC ＝∠OCB ，所以OB ＝OC （等角对等边）.评析：本题考查等腰三角形的判定和性质，先用性质，再用判定，注意二者的区别.例 5. 在一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写下了四个等式：①AB ＝DC ，②BE ＝CE ，③∠B ＝∠C ，④∠BAE ＝∠CDE. 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED 是等腰三角形. 请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由. （写出一种即可）ABC DE已知：__________.结论：△AED 是等腰三角形. 理由：分析：从四个等式中选出两个，有6种选法：①②，①③，①④，②③，②④，③④. 验证这6种组合是不是能推出△AED 是等腰三角形就可以了. 另外，要注意本题有一个隐含相等关系，对顶角∠AEB ＝∠DEC.解：已知：①③或①④或②③或②④，证明：△ABE ≌△DCE. 以①③为例：在△ABE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠DEC∠B ＝∠CAB ＝DC所以△ABE ≌△DCE ，所以AE ＝DE ，即△AED 是等腰三角形.评析：本题是一道猜想型问题，又具有一定的开放性. 考虑到从四个等式中选两个，共有六种选法，情况不太多，逐一验证就可以了.3. 等边三角形（三角形）： 三边相等的三角形性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴 （2）等边三角形的每个角都等于60°等边三角形的判定：（首先考虑判断三角形是等腰三角形） （1）三边相等的三角形是等边三角形（定义） （2）三个内角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形例6. 等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且AD ＝BE ，AE 、CD 相交于点P ，试求∠CPE 的度数.A BCDEP分析：从已知条件中可得△ABC 中∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，要求∠CPE 的度数，应该考虑这个角和60°的关系，也就是∠CPE 和△ABC 的三个内角的关系.解：如图可知∠CPE ＝∠CAE ＋∠ACD. 因为△ABC 是等边三角形，所以AC ＝AB ，∠CAD ＝∠ABE ＝60°. 又因为AD ＝BE ，所以△ACD ≌△BAE （SAS ）. 所以∠ACD ＝∠BAE ，所以∠CPE ＝∠CAE ＋∠BAE ＝∠BAC ＝60°.练习1. ⑴已知等腰三角形的一个底角是70°，则其余两角为.⑵已知等腰三角形的一个角是70°，则其余两角为.⑶已知等腰三角形一个角是110°，则其余两角为.(4)已知等腰三角形一个角是n°，则其余两角为______________.2. 若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形3. 底边和腰不相等的等腰三角形的对称轴是（）A. 底边上的高B. 底边上的中线C. 顶角平分线D. 底边的垂直平分线4. 等腰三角形的对称轴共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 1条或3条5. 关于等腰三角形的底角和顶角的描述正确的是（）A. 顶角必须小于90度B. 顶角必须大于底角C. 底角必须小于90度D. 顶角必须小于两底角的和6. 有下列说法：①有两个内角是40°和100°的三角形是等腰三角形；②一个外角的平分线平行一边的三角形是等腰三角形；③有两个顶点不同的外角相等的三角形是等腰三角形；④有两个内角不等的三角形一定不是等腰三角形。