连云港市 2012－2013 学年度第二学期期末调研考试高一数学试题本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟．一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．1．已知角a 的终边过点 P(-4,3)，则 2sina + cosa 的值是．2．某校高一（1）班共有 44 人，学号依次为 01，02，03，…，44．现用系统抽样的办法抽一个容量为 4 的样本，已知学号为 06，28，39 的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为．3．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于 70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如 图是某路段的一个检测点对 100 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有辆．开始 ↓ a←1a←a2+1a<10 Y↓N输出 a4．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是↓ 结束 ．5．取一根长度为 4m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于 1 m 的概率是．6．从｛1，2，3，4，5，6｝中随机选一个数 a ，从｛1，2，3｝中随机选一个数 b ，则 a > b的概率为．7．设 x Î R，向量 a = (x,1) ， b = (1, -2) ，且 a ^ b ，则| a + b |=．8．如图是某工厂一名工人在六天中上班时间的茎叶图，则该工人在这六天中上班时间的方差为．08 9 10 2 2 59．函数f(x)=A sin(w x+j)（其中A>0,w>0, -p<j<p）在x=5p 12处取得最大值3，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为p 2，则f(x)的解析式为．10．正三棱锥的底面边长为 1，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为．高一数学第 1 页 共 7 页11．函数 f (x) = ax，xÎ[0,p ] ，且 f (x) ≤ 1＋sinx，则 a 的取值范围是．12．已知| a | = 1，若非零向量 b 满足 b × ( b － a ) = 0 ，则| b |的取值范围为．13．若A，B，CÎ(0,p 2)，且sinA－sinC=sinB，cosA＋cosC=cosB，则B－A=．14 ． 已 知 函 数f(x)=ìïíïî|23loxg22x |, - 8x+0< 70 , 3x £ 4, x > 4.若f (a) = f (b) = f (c) = f (d ) ，则 abcd 的取值范围是a,b,c, d ．互不相同，且二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分）已知向量 a ， b 的夹角为 60° ，且| a | = 1，|2 a － b |= 2 3 ．（1）求| b |； （2）求 b 与 2 a － b 的夹角． 16．（本小题满分 14 分） 某企业生产 A，B，C 三种产品，每种产品有 M 和 N 两个型号．经统计三月下旬该企 业的产量如下表（单位：件）．用分层抽样的方法从这月下旬生产的三种产品中抽取 50 件调查，其中抽到 A 种产品 10 件． （1）求 x 的值； （2）用分层抽样方法在 C 产品中抽取一个容量为 5 的样本，将该样本看作一个总体，从中任取两件，求至少有一件是 M 型号的概率； （3）用随机抽样的方法从 C 产品中抽取 8 件产品做用户满意度调查，经统计它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把 8 件产品的得分看作一个 样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值超过 0.5 的概率．ABCM200300240N200700x17．（本小题满分 14 分）高一数学第 2 页 共 7 页如图，在半径为 R、圆心角为 60° 的扇形 AB 弧上任取一点 P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点 Q 在 OA 上，点 M，N 在 OB 上，设 ÐBOP = q ，矩形 PNMQ 的面积记为 S ．（1）求 S 与q 之间的函数关系式；A（2）求矩形 PNMQ 面积的最大值及相应的q 值．QPOM18．（本小题满分 16 分）已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=3 5，sin(A-B)=1 5．（1）求tan tanA B的值；（2）求 tan B 的值．NB19．（本小题满分 16 分）已知函数 f (x) = cos2 x - 2a sin x + a -1， a ÎR．（1）当 a = 0 时，求函数 f (x) 的最小正周期和单调增区间；（2）求f(x)在xÎ[-p 3,p 6]上的最大值m(a) ．20．（本小题满分 16 分）已知圆 M 的方程为 (x - 2)2 + y2 = 1 ，直线 l 的方程为 y = 2x ，点 P 在直线 l 上，过 P 点作圆 M 的切线 PA ， PB ，切点为 A ， B ． （1）若 ÐAPB = 60o ，试求点 P 的坐标；uuur uuur （2）求 PA × PB 的最小值； （3）求证：经过 A, P, M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．2012－2013 学年度第二学期高一数学期末试题（四星）答案高一数学第 3 页 共 7 页一、填空题：1．2 52．173．204．265．126．2 37． 108．16 39．y=3sin(2x-p 3)10．2 24(abc 6)11．(-¥, 1 ] p12． (0,1]13．－π314．(32,35) (ab = 1)二、解答题：15．（1）将|2 a － b |= 23两边平方得4 a2+ b2-4| a || b| cos<rr a, b>=12 ，…………4分即 b2 -2| b |-8=0，解得| b |=4．（2）Qb× （2 a－brr ）= 2ab-b2= 2´1´ 4´1 2= -12 ，…………7分又| b ||2 a - b |= 4 ´ 2 3 = 8 3 ，………10 分由夹角公式得 b 与 2 a － b 夹角的余弦值为 -12 83=-3 2，\夹角为150° ．………14 分16．（1）产品 A 的产量为 400，从中抽取样本容量为 10，故按 1∶40 的比例抽取，同理产品 B 的产量为 1000，按 1∶40 的比例抽取，从中抽取样本容量为 25，所以产品C应抽取件数为15，故1 40=15 240 +x，解得x=360；…………4 分（2）用分层抽样方法在 C 产品中抽取一个容量为 5 的样本，则 M 型号有 2 件，N 型号有3 件，从中任取两件所有的情况有：（M1，M2），（N1，N2），（N1，N3），（N2，N3），（M1，N1），（M1，N2），（M1，N3），（M2，N1），（M2，N2），（M2，N3），共 10 种.故至少有一件是 M 型号的有（M1，M2），（M1，N1），（M1，N2），（M1，N3），（M2，N1），（M2，N2），（M2，N3），共有7种，所以至少有一件是M型号的概率P1=7 10；……9分（3）9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2 这 8 个数据的平均数为 9，则与 9 差的绝对值超过0.5的有9.6，8.2，所以与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率P2=2 8=1 4…14分17．（1）在 RtDPON 中， PN = R sinq ,ON = R cosq. Q四边形 PNMQ 为矩形，\ MQ = PN = R sinq . …………2 分高一数学第 4 页 共 7 页故在RtDOMQ 中， OM=MQ tan 60°=3 3R sinq，所以 MN = ON - OM = R cosq -3 3Rsin q.…………4 分则 S = PN × MN = R sinq (R cosq -3 3Rsin q).…………6 分= R2 (sinq cosq -3 3sin 2q)=R2(1 2sin2q-3 31-cos 22q)=3 3R2sin(2q+30°)-3 R2 6…11分（2）因为当 2q + 30° = 90° 时，sin(2q + 30°)max = 1 ，所以当q = 30° 时，Smax =3 3R2-3 R2 ， 6所以矩形 PNMQ 面积的最大值为3 6R2，ÐBOP=30°.…………14 分18．（1）Qsin( A+B)=sinA cosB+cosA sinB=3 5①…………2 分sin(A-B)=sinA cosB-cosA sinB=1 5②…………4 分①+②得 2 sinA cosB=4 5，\ sinAcos B=2 5③cosA sinB=1 5④③/④得：tan tanA B=2．…………7 分（2）Q DABC 是锐角三角形，又A+B=p- C,0<C<p 2，\p 2<A+B<p， sin( A +B)=3 5，\ tan(A+B)=-3 4，即 tan A + tan B 1 - tan A tan B=-3 4．由（1） tanA=2 tanB3 tan B ，\ 1 - 2 tan 2B=-3 4，…………10 分即2 tan 2B-4 tanB-1=0，tanB=4± 424．…………14 分Q B 是锐角，\ tan B = 1 +6 2．…………16 分19．（1）当a=0 时，f(x)=cos2x-1=1 2(cos2x-1) ．易得周期 T=p,单调增区间为 [kp+p 2, kp+ p ](kÎZ)．（2）将函数 f (x) = cos2 x - 2a sin x + a -1变形为…………5 分高一数学第 5 页 共 7 页f(x)=-sin 2x-2asinx+a，xÎ[-p 3,p 6]．设 t = sin x, 则 t Î[-3 2,1 2]，即求函数 h(t) = -t2 - 2at + a 在 t Î[-3 2,1 2]上的最大值m(a)．…………8分①当 -a£-3 2时， h(t )在[-3 ,1]上单调递减， 22\ m(a) = h(-3) 2=-3 4+(3 + 1)a ．…………10 分②当 -a³1 2时，h(t)在[-3 2, 12]上单调增，\m(a )=h( 1 ) 2=-1 4………12分③当 -3 2< -a<1 2 时，\m(a )=a+a2 ．…………14 分ì ïï3 4+(3 + 1)a,综上所述，m(a)=ïíï1 4,a³3, 2a£-1 2,ïïa + a2 , î-1 2<a<3 2.…………16 分20．（1）设 P(m, 2m) ，由题可知 MP = 2 ，所以 (2m)2 + (m - 2)2 = 4 ，解之得m=0,m=4 5．故所求点P的坐标为P(0, 0)或P(4 5,8) 5．………4分（2）设P(m,2m)，则uuur PA×uuur PB=|uuur PA|2cosÐPAB．又|uuur PA|2=PM 2-1 , cos ÐPAB= 1 - 2sin2ÐPAB 2=1-2 PM 2，uuur \ PA ×uuur PB=|uuur PA|2cos ÐPAB=(PM2-1)(1 -2 PM2)=PM2+2 PM2-3 ．………7分又 PM 2 = (m - 2)2 + (2m)2 = 5m2 - 4m + 4 Î[156 , +¥) ，uuur uuur \ PA × PB=|uuur PA|2cos ÐPAB=PM 2+2 PM 2-3=(PM-2 PM)2-1Î[33 40,+¥)，故uuur PA×uuur PB的最小值33 40．…………10 分（3）设P(m, 2m) ，MP的中点 Q( m 2+1, m)，因为PA是圆M的切线，所以经过 A, P, M 三点的圆是以 Q 为圆心，以 MQ 为半径的圆，高一数学第 6 页 共 7 页故其方程为 (x-m 2-1)2+(y-m)2=m2+(m 2-1)2，化简得 x2 + y2 - 2x + m(-x - 2 y + 2) = 0 ，故ìx2 + íî-x -y2 - 2x = 0, 2y+2 = 0解得ì í îx y= =2 0或ì ïï í ï ïîx y= =2 5 4 5, .所以经过 A, P, M 三点的圆必过定点 (2, 0) 和 ( 2 , 4) ． 55…………13 分 …………16 分高一数学第 7 页 共 7 页。