（3-7）
（3-8）
将 A 带入（3-3）式得最小均方误差
E[e 2 (n)] min E[Y 2 (n)] R T XY Aopt
^
（3-9）
根据最陡下降法， “下一时刻”权系数向量 a m (n 1) 应该等于“现在时刻”权系 数向量 a m (n) 加上一个负均方误差梯度 (n) 的比例项，即
^
（2-2）
hm (n 1) hm (n) 2 e(n) y (n m)
^
^
^
m 1, M
（2-3）
其中 FIR 滤波器共有 M+1 个权系数，hm (n)(m 0, M ) 表示 FIR 滤波器第 m 个 权系数在第 n 步的估计值。 因此，给定初始值 hm (0), (m 0, M ) ，每得到一个样本 y (n) ，可以递归得 到一组新的滤波器权系数，只要步长 满足
式中
^
（3-11）
[e(n)] 为 [e(n)] [ y (n) AT X (n)] X (n)
将式（3-12）带入式（3-11）得梯度估值
（3-12）
(n) 2e(n) X (n)
于是 Widrow-Hoff LMS 算法最终为
^
a m (n 1) a m (n) 2e(n) X (n)
（2-5） （2-6）
其中 h 为标量常数， x(n) 与 w(n) 互不相关，我们希望利用 y (n) 和 x(n) 得到
s (n) 的估计。
x ( n)
h
y ( n)
s ( n) w(n)
图1
利用公式（2-1） ， （2-2） ， （2-3） ，我们可以得到下面的自适应估计算法：
s ( n) h( n) x ( n) h(n 1) h(n) 2 ( y (n) h(n) x(n)) x(n)
y ( n)
z 1
a1 (n)
z 1
a 2 ( n)
z 1
…
z 1
a M ( n)
… +
图3
同样可以证明，只要步长 值选择合适，当 n 时，上述自适应算法得到的
a M (n) 也收敛于 AR 模型的参数 a m 。
三、实验结果及分析
^
2 1. 0.03, w 1, h 0.8 时 E[h (n)] 和 h (n) 的比较：
^
a m (n 1) a m (n) (n)
^
^
（3-10）
式中， 是一个控制收敛速度与稳定性的常数，称之为收敛因子。 一种 (n) 的近似计算方法是：直接取 e 2 (n) 作为均方误差 E[e 2 (n)] 的估计值，即
(n) [e 2 (n)] 2e(n)[e(n)]
和 a 2 的估计情况：
图11
a1 和 a 2 的估计情况
7. 通过实验一解Yule-Walker方程的方法解的 a1 和 a 2 的估计值和通过自适应AR
模型得到的估计值的比较
图12
Yule-Walker方程得到的估计值和自适应AR模型得到的估计值的比较
2 8、M 2, p 2, L 100, a1 1.3, a 2 0.8, 0.01, w 0.01 时自适应 AR 的估计
上式两边去数学期望得均方误差为
（3-2）
E[e 2 (n)] E[ y 2 (n)] 2 E[ y (n) X T (n)] A AT E[ X (n) X T (n)] A
定义互相关函数行向量 R T XY ：
（3-3）
R T XY E[ y (n) X T (n)]
和自相关函数矩阵
实验二 自适应滤波信号
一、实验目的：
1．利用自适应LMS算法实现FIR最佳维纳滤波器。 2．观察影响自适应LMS算法收敛性，收敛速度以及失调量的各种因素，领会自适 应信号处理方法的优缺点。 3．通过实现 AR 模型参数的自适应估计，了解自适应信号处理方法的应用。
二、实验原理及方法
自适应滤波是一种自适应最小均方误差算法（LMS），这种算法不像维纳滤 波器需要事先知道输入和输出信号的自相关和互相关矩阵，它所得到的观察值
^
^
^
e( n ) y ( n ) y ( n ) y ( n ) A T X ( n) y ( n ) X T ( n) A
误差平方和为 （3-1）
^
e 2 ( n) y 2 ( n ) 2 y ( n ) x T ( n) A AT X ( n) X T ( n) A
y (n) a1 y (n 1) a 2 y (n 2) a M y (n M ) w(n)
（2-12）
通过解 Yule-Walker 方程可以得到 AR 模型的参数估计，同样，利用 LMS 算 法，我们也可以对 AR 模型的参数估计进行自适应估计，其算法如下：
L=input('样本个数 L= '); u=input('\n 步长 u= '); sigam=input('\n 方差 sigam='); h=input('\n 一阶自适应滤波器的参数 h='); h_=zeros(1,L); h_(1)=input('\n 估计之前估计一阶自适应滤波器的参数 h_='); %% xn=randn(1,L); wn=sigam*randn(1,L); sn=h*xn; yn=sn+wn; figure(1) stem(sn,'r') hold on stem(yn,'b') title('原信号（红色）和观测信号（蓝色）') R=mean(xn.*xn); % R=1/L*sum((xn).*(xn)) sn_=zeros(1,L); % E_h_=zeros(1,L); for ii=1:L sn_(ii)=h_(ii)*xn(ii); % E_h_(ii)=h+(h_(1)-h)*(1-2*u*R)^ii; h_(ii+1)=h_(ii)+2*u*(yn(ii)-h_(ii)*xn(ii))*xn(ii); end E_h_=h+(h_(1)-h)*(1-2*u*R).^(1:L);
情况：
图 13
2 w 0.01 时 a1 和 a2 的估值
图 10 是 2 w 0.01 时的 a1 和 a2 的估计值，由图可以看出，虽然 a1 和 a2 的 估计值都逐渐收敛，但是已经产生了很大的误差，收敛速度比 2 w 1 时的情况 慢，失调量也变大。
四、思考题
1、s(n)和 w(n)的方差越大，收敛速度越快，失调量也越大；在噪声方差越大时，
其中
^
^
（2-9）
R E[ x(n) x(n) T ]
因此，只要满足
（2-10）
0
^
1 R
^
（2-11）
的条件， h(n) 总归可以收敛于最佳值 h ，从而 s (n) 也逐渐收敛于 s (n) 。 自适应信号处理的一个重要应用是用来进行参数估计。下面是利用 LMS 算法实 现 AR 模型参数的估计。 如果信号 y (n) 为一个 M 阶的 AR 模型，即
（3-4）
R XX E[ X (n) X T (n)]
则均方误差（3-3）式可表示为
（3-5）
E[e 2 (n)] E[ y 2 (n)] 2 R T XY A AT R XX A
（3-6）
这说明均方误差是权系数向量 A 的二次函数，它是一个中间向上凹的抛物形曲 面，是具有唯一最小值的函数。调节权系数使均方误差为最小，相当于沿抛物形 曲面下降找最小值。可以用梯度来求该最小值。 将（3-6）对权系数 A 求导，得到均方误差函数的梯度
图 10
2 0.03, w 0.01, h 0.8 时自适应滤波器的性能
由图 7 可知，其他条件不变的情况下，随着 的减小， h(n) 收敛的更快，失调 量越大。
2 6. 自适应AR模型：当 M 2, p 2, L 100, a1 1.3, a 2 0.8, 0.01, w 1 时 a1
图4
自适应滤波器 E[ h ( n)] 和 h ( n) 的比较


^ 图 1 是 L 100 时 E[h (n)] 和 h (n) 的比较， 由图可以看出 h(n) 的均值刚开始一直在
变化，然后逐渐趋于稳定，最后收敛于最佳值。
2. 自适应滤波器的效果 s (n) 和 s (n) 的比）
其中 max 为矩阵 R 的最大特征值，当 n 时， hm (0), (m 0, M ) 收敛于 维纳解。
现在我们首先考察只有一个权系数 h 的滤波器， 如图 2.1 所示。 假如信号 y (n) 由下式确定：
y(n) s(n) w(n) s (n) hx(n)
(n) E[e 2 (n)] E[e 2 (n)] E[e 2 (n)] T , , ^ ^ a ( n ) a 1 m ( n) 2 R XY 2 R XX A
令 (n) 0 ，即可求出最佳权系数向量
Aopt R 1 XX R XY
图8
0.1 时自适应滤波器的性能
2 1, w 1, h 0.8 的情况
图9
1 时自适应滤波器的性能
由图 4-图 6 可知，当 增大时，自适应滤波器的性能随之降低。当 1 时滤波 器失配。
2 5、 0.03, w 0.01, h 0.8 时：
y (n) ,滤波器等价于自动“学习”所需要的相关函数，从而调整 FIR 滤波器的权