一元二次解法：（1）公式法
【知识要点】
1．计算方法
一，先将方程变为标准形式)0(02
≠=++a c bx ax ，确认a ，b ，c 。
如何变：
① 通过移项或通分（如例一，例二，例三）注意：尽量使a 为正整数，方便计算
② 通过公式计算展开（如例四，例五） 注意：符号
③ 通过待定系数法结合①②（如例六） 注意：除了X ，其他均看做已知数
二，再计算△，当△=042≥-ac b ，有实数根。
如△＜0，则方程无解 三，根据求根公式，将a,b,c ,△代入公式，即得：2--4=2b b ac x a
±。
【典型例题】
领练：例一
例①4722=-x x 例②
02
122412=+-x x
例③05422=-+-x x 例④x x x x 6)1()12()12(2
2++=--+
例⑤2(3)2(1)7x x x --+=- 例⑥())1(03212
≠=+++-m m mx x m
测试：例二
1，x x 4212=- 2，11)2(5)31)(13(+-=-+x x x
3，(2)(3)
56x x --= 4，02222=-+-n m mx x
二，熟练掌握△，不解方程，能够判断方程根的情况。
方程有两个实数根→△≥0
方程有两个相等的实数根→△＝0
方程有两个不相等的实数根→△＞0
方程没有实数根→△＜0
例三，变式训练
①不解方程，请判别下列方程根的情况； （1）22340t t +-= ; （2）
2
16924x x += ; （3）25(1)70y y +-= ;
②方程242()0x a b x ab ---=的根的情况是 ;
③如果关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范
围是 .
④已知0,0,p q <<则一元二次方程20x px q ++=的根的情况是 ;
⑤已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0,且12
x =是方程的根，则a b +的值为 ______________.
⑥若m =______ （m 为整数），方程22
x m x mx m +=-+有整数解.
（2）分解因式法，十字相乘法
【知识要点】
1，分解因式法：将一元二次方程利用因式分解把其变成因式乘积的形式。
① 利用完全平方公式分解（如例一，例二）
② 利用平方差公式分解（如例三，例四）
2，十字相乘法：将二次项，常数项拆开，交叉相乘，结果为一次项的因式分解特殊方法
① 二次项为1的方程（如例五，例六） 注意：一次项，常数项的符号
② 二次项不为1的方程（如例七，例八） 注意：当数字过大时，应用短除法找因数，
大胆尝试。
领练：例一
例①291240x x ++= 例②2
(1)2(1)10x x ---+=
例③22(3)(32)0x x ---= 例④22
4(21)9(2)x x -=-
例⑤2320x x -+= 例⑥22990x x --=
例⑦221527x x -=- 例⑧25521280x x -+=
测试:例二
1，2722420x x -+= 2，22
(3)4(21)x x +=-
3，01262=--x x 4，234(21)0x x ++=
5，2235+750x x -= 6，2
(1)2(1)150x x ----=
变式训练：
领练：例2.①如果二次三项式22
24x mx m ++-是关于x 的完全平方式，那么m = .
②若多项式2x px q ++分解因式的结果是()(),x m x n ++则方程2
0x px q ++= 的根为
③在等腰三角形ABC 中8,,BC AB AC =的长是关于x 的方程2
100x x m -+=的两个根,则m =
领练：例3.分别根据下面的条件求m 的值：
①方程2(2)40x m x -++=有一个根为1-；
③方程2310mx x -+=有两个不相等的实数根；
④方程2420mx x ++=没有实数根；
⑤方程2
20x x m --=有实数根.
领练：例4.
①试证：关于x 的一元二次方程2(1)2(2)0x a x a +++-=一定有两个不相等的实数根.
领练：②已知,αβ是关于x 的方程20x px q ++=的两个不相等的实数根，且32230,ααβαββ--+=求证：0,0.p q =<
领练：③已知方程2
(1)(2)x x m --= (m 为已知实数，且0m ≠)，不解方程证明：
(1)这个方程有两个不相等的实数根；
(2)一个根大于2，另一个根小于1.
领练：例5.①若两个方程22
2(1)(3)0x a x a --++=和222240x ax a a -+-+=中，至少有一个方程有实数根，求a 的取值范围.
领练：②设m 为整数，且440,m <<方程08144)32(22
2=+-+--m m x m x 有两个不相等的整数根，求m 的值及方程的根.
领练：③如图，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分,AD 垂足为,F 交BC 的延长线于点,,,.E BE a CE c DE b ===求证：关于x 的一元二次方程220x bx ac -+=有两个相等的实数根.
测试：【课后作业】
1.方程()()1231=+-x x 化为02
=++c bx ax 形式后，a 、b 、c 的值为（ ） A. 1，–2，–15 B. 1，–2，–15 C. 1，2，–15 D.–1，2，–15
2. 关于x 的方程2
210ax x -+=中，如果0,a <那么根的情况是（ ）
A 两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定
3. 下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A.2256y y +=
B.25x += 220+= D.2310x -+= 4.方程()()1132=-+x x 的解的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.有一个实数根
5.关于x 的一元二次方程2
10x kx +-=的根的情况是 （ ）
A.有两个不相等的同号实数根
B.有两个不相等的异号实数
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
6.若t 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方公式2(2)M at b =+的关系是（ ）
A. M ∆=
B. M ∆<
C. M ∆>
D.大小关系不能确定
7.若一元二次方程20ax bx c ++=一个根是1，且,a b 满足等式 333+-+-=a a b ,
c =_________.
8.关于x 的方程2
(21)10kx k x k ++-+=的实根的情况是 .
9.如果关于x 的一元二次方程22(4)60x ax x --+=没有实数根，那么a 的最小整数值是__
10.若关于x 的二次方程28(10)70x a x a --+-=的根互为相反数，求a 的值.。