广东省佛山市第一中学2020届高考模拟(文科数学)试题命题人：李向明 审题人：高三备课组 2020.5一．选择题(每小题5分，共60分)1.设集合},02|{2R x x x x A ∈≤-=，}21,|{2≤≤--==x x y y B ，则C R （A ∩B ）等于A ． RB ．}0,|{≠∈x R x xC ． {0}D ．φ 2.函数)13lg(14)(2++-+=x xx x f 的定义域为A ．),31(+∞-B ．)31,(--∞ C ．)1,31(- D ．)31,31(-3.现要完成3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行卫生检查；②科技报告厅有座椅32排，每排40个座位，有一次报告会恰好坐满了观众，抽取32位进行座谈；③某中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了解教职工对校务公开方面的意见，抽取一个容量为20的样本进行调查A ．①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样B ．①简单随机抽样②分层抽样③系统抽样C ．①系统抽样②简单随机抽样③分层抽样D ．①分层抽样②系统抽样③简单随机抽样4.曲线x x y 23+-=在横坐标为1-的点处的切线为L ，则点（3,2）到L 的距离是 A ．227 B ．229 C ．2211 D ．10109 5.在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 和BC 的中点，若μλ+=，其中R ∈μλ,，则μλ+的值是A ．34B ．1C ． 32 D. 316.A ．32+πB ．3344+π C ．3322+π D ．332+π7.设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若三角形F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A ．212- B ．22C ．22-D ．12- 8.三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是c b a ,,，则A c C a cos cos +的值是A ． bB ．2cb + C ．B cos 2 D ． B sin 2 9.下列四个命题中真命题是P1：x x x )31()21(),,0(≥+∞∈∀ P2：x x x 3121log log ),1,0(≤∈∀P3：x x x 21log )21(),,0(≤+∞∈∃ P4：x x x 31log )21(),31,0(≥∈∃A ．P1，P3B ．P1，P4C ．P2，P3D ．P2，P410.当x>0时，下列函数中最小值为2的是A ．111+++=x x y B ．322+-=x x y C ．11072+++=x x x y D ．xx y ln 1ln +=正视图侧视图俯视图二．填空题(每小题5分，共20分)(必做题11----13，选做题14----15考生只能从中选做一题)11.过原点且倾斜角为60度的直线被圆0422=-+y y x 所截得的弦长为 12.设复数z 满足，且i z i 6)33(=-，则=z13.设y x ,满足⎩⎨⎧≥≤-+-21)2()2(22y y x ，则x y的取值范围是14.极坐标方程为θρcos =与θρsin =的两个圆的圆心距为 15. 如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为DCD=4，BD=8，则圆O 的半径等于三．解答题16.(12分)掷两枚骰子，记事件A 为“向上的点数之和为n ”. （1）求所有n 值组成的集合；（2）n 为何值时事件A 的概率P(A)最大？最大值是多少？ （3）设计一个概率为0.5的事件（不用证明）17.(12分)如图，有三个并排放在一起的正方形，βα=∠=∠AFB AGB ,. （1）求βα+的度数；（2）求函数1cos sin 3sin 2-+=x x x y的最大值及取得最大值时候的x 值。

18.(14分)如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2。

（1）求证：AO ⊥平面BCD ； （2）求E 到平面ACD 的距离；（3）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值。

ABABCDEFGHαβC19.(14分)设函数)(x f 是定义在]1,0()0,1[Y -上的偶函数，当)0,1[-∈x 时，ax x x f -=3)(（a 是实数）。

（1）当]1,0(∈x 时，求f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在（0,1]上是增函数，求实数a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得当]1,0(∈x 时，f(x)有最大值1. 20.(14分)在ABC Rt ∆中，322),22,0(),22,0(,90=-=∠∆ABC S B A BAC ο，动点P 的轨迹为曲线E ，曲线E 过点C 且满足|PA|+|PB|为常数。

（1）求曲线E 的方程；（2）是否存在直线L ，使L 与曲线E 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线21-=x 平分？若存在，求出L 的斜率的取值范围；若不存在说明理由。

21.(14分)已知函数4)(2-=x x f ，设曲线y=f(x)在点))(,(n n x f x 处的切线与x 轴的交点为)0,(1+n x ，（1*,x N n ∈为正数） （1）试用n x 表示1+n x （2）若,41=x 记22lg-+=n n n x x a ，证明}{n a 是等比数列，并求数列}{n x 的通项公式； （3）若n n n T x b x ,2,41-==是数列}{n b 的前n 项和，证明：3<n T2020届高考模拟文科数学试题答卷二．填空题(每小题5分，共20分) (必做题11----13)11. 12. 13. (选做题14----15考生只能从中选做一题)14. 15.三．解答题(共6小题) 16.(1) (2) (3)17.(1)考号： 班级： 姓名： 试室号：(2) 18.(1)(2)(3) 19.(1)(2)(3) 20.(1)(2) 21.(1)(2)(3)2020年校模拟文科数学答案二．填空题11. 32； 12. i 2323+-； 13. ]374,32[+； 14. 22； 15. 5 三．解答题-----------------4分向上的点数和有2，3，…，12，所有n 值的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (或写成},122|{Z n n n ∈≤≤)----------------------------------6分 （2）油表中可见n=7时候P （A ）的概率最大为167---------------------------9分 (3)“向上点数和为奇数”就是其中一个概率为0.5的事件 --------------12分17.（1）不妨设正方形边长为1，易知31tan ,21tan ==βα ----------------2分1tan tan 1tan tan )tan(=-+=+βαβαβα ---------------------------4分又因为,20,20πβπα<<<<所以4,0πβαπβα=+<+<--------------------6分 （2）21)62sin(212cos 212sin 2312sin 2322cos 1--=--=-+-=πx x x x x y ， -------------------9分所以21max =y ----------------------10分 由)(3,2262Z k k x k x ∈+=+=-πππππ----------------------11分即当)(3Z k k x ∈+=ππ时函数y 的最大值为21---------------------12分 18.（1）证明：在三角形ABC 中，因为2==AD AB ，O 是BD 中点， 所以AO ⊥BD ，且11)2(2=-=AO ------------------2分 连结CO ，在等边三角形BCD 中易得3=CO ， 所以222222)3(12CO AO AC +=+==所以AO⊥CO因为CO∩BD=O，CO 、BD ⊂平面BCD所以AO ⊥平面BCD ---------------------6（2）分别取BC 、AC 的中点E 、F ，连结EF 、EG因为CD EO AB EF 21//,21//所以∠FEO 或其补角就是异面直线AB 、CD 所成的角---------8分 连结FO ，因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥CO ，所以在Rt △ACO 中，斜边AC 上的中线121==AC FO ，又因为2221,121====AB EF CD EO ， 所以在△EFO 中，422cos 222=⋅-+=∠EO EF FO EO EF FEO因为FEO ∠cos >0,所以异面直线AB 、CD 所成的角的余弦值是42-------------------14分 19.（1）设],1,0(∈x 则)0,1[-∈-x -----------------------1分 所以ax x x a x x f +-=---=-33)()()( -------------2分因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x) -----------------3分 所以)]1,0(()(3∈+-=x ax x x f -------------------4分C（2）当]1,0(∈x 时，]3,0(3,3)(22'∈+-=x a x x f 所以)0,3[32-∈-x因为f(x)在(0,1]上是增函数，所以032≥+-a x -------------6分 所以a 的取值范围是),3[+∞ ---------------------------7分 （3）(i)当3≥a 时，由（2）知f （x ）在区间(0,1]上是增函数 所以2,11)1()(max ==-==a a f x f 不合题意，舍去 （ii ）当30<<a 时，在区间（0,1]上，a x x f +-=2'3)( 令3,0)('ax x f == -----------------------8分f(x)在3ax =处取得最大值 -----------------9分 1)3()3()(3max =---=a a a x f -----------------10分 所以33223427==a -----------------------11分 注意到322303<<，所以)1,0(3,330∈<<a a 符合题意 -------------12分 (iii)当0≤a 时，在区间（0,1]上，03)(2'≤+-=a x x f ， 所以f(x)为减函数，无最大值 --------------13分综上所述，存在3223=a 使得当]1,0(∈x 时，f(x)有最大值1、20.（1）易知24||=AB ，又因为ο90=∠BAC ，所以322||||21==∆AC AB S ABC ， 所以31||=AC ，317||||||22=+=AB AC BC 由|PA|+|PB|的值为常数知动点P 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆 ------4分其中189,3,6||||2,22222=-=-===+==c a b a BC AB a c ------6分（2）假设L 存在，因为L 与直线21-=x 相交，所以直线L 有斜率，设L 的方程为m kx y += ----------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1922得0)9(2)9(222=-+++m kmx x k （*） ------9分 因为直线L 与椭圆有两个交点所以（*）的判别式09,0)9)(9(44222222<-->-+-=∆k m m k m k ① -----10分 设),(),(2211y x N y x M ，则92221+-=+k kmx x -------------11分 因为MN 被直线21-=x 平分所以k k m k km x x 29192,2122221+=-=+--=+， ② ----------12分 把②代入①得0)9()29(222<+-+k kk 因为092>+k 所以014922<-+k k ---------------13分 所以,32>k 所以3-<k 或3>k即直线L 的斜率取值范围是),3()3,(+∞--∞Y ------------14分21.（1）因为x x f 2)('= 所以曲线y=f(x)在点),(1+n n x x 处的切线方程是)(2)(n n n x x x x f y -=-， ----------------2分令y=0得x x x n n 242=+ 显然,0≠n x 所以nn x x x 22+=即n n n x x x 221+=+（或nn n x x x 2221+=+） ---------------4分 （2）由（1）知n n n n n x x x x x 2)2(222221+=++=++，n n n x x x 2)2(221-=-+ 所以211)22(22-+=-+++n n n n x x x x ---------------------6分从而22lg 222lg11-+=-+++n n n n x x x x ，即n n a a 21=+其03lg 22lg 111≠=-+=x x a 所以}{n a 是以3lg 为首项，2=q 为公比的等比数列 ----------------8分 所以)(3lg 2*1N n a n n ∈=-，即3lg 222lg1-=-+n n n x x 所以12322-=-+n n nx x ，所以)(13)13(2*2211N n x n n n ∈-+=-- -------------10分（3）13413)13(2)13(211112222-=---+=----n n n n n b 显然n b 恒大于0 ------------11分因为313131131)131312222211111=≤<+=--=-+-n n n n b b 所以n n b b 311<+ --------------------------12分当1=n 时，显然322111<=-==x b T 当1>n 时，11221)31()31(31b b b b n n n n ---<<<<Λ所以3)311(3311)311()31(311111121<-=--=+++<++=-n nn n n b b b b b b b T ΛΛ 即3,*<∈∀n T N n 成立，证毕 -----------------------14分。