2.1 采用逆向归纳法，先最大化家长的收益：给定孩子的行动 A，来选择自己的行动 B,
MaxV ( I p − B) + k ( I c + B)
B
一阶条件：
V ' ( I p − B) = k ,
⇒ B* = I p ( A) − V '−1 (k )
*
接着最大化孩子的收益，给定家长的反应函数 B ，来选 A：
2.7 采用逆向归纳法 （1）第一阶段，企业最大化其收益：
n π i = Li a − ∑ L j − w 1 n ∂π i = a − ∑ L j − w − Li = −2 Li + a − w − ∑ L j = 0 ∂Li j ≠i 1
（2）第一阶段企业1的决策：
∴ Li =
1 a − w − ∑ Lj 2 j ≠i
L1 = = Ln a−w n +1 n(a − w) ∴L = n +1 ∴ Li =
（2）第二阶段，工会最大化其收益
Max( w − wa ) L ⇒ ( w − wa )
w
n(a − w) a + wa ⇒ w* = n +1 2
∂π i = a − ∑ qi − qi − c = 0 ∂qi a−c (i = 1,2,3 n) n +1
⇒ qi =
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价格为 P = a −
n(a − c) nc + a = . n +1 n +1
2
出） ，只要任何一方违背时，以后就转向阶段博弈的价格 pi = c 。 如一直使用垄断价格，则每个企业收益每期都一样为， π i = (a − c) / 8 如在t期某企业违背了战略， t+1期开始双方的收益相同都为0， 在t期它的最大收益为 ( a − c) / 4 （考虑此企业只是把价格边际上减少一点点，所有的利润都归它 加 S 时 ， U1 ( I c − S ) 会 减 小 ， 同 时 ， d ( S + B ) / dS > 0 ， ∴ S + B 会 增 加 ，
∴ U 2 ( S + B ) 会增加，因为（*）式， U 2 ( S + B ) 增加的幅度比 U1 ( I1 − S ) 减小的幅度大，所以
MaxU ( I c ( A) + I p ( A) − V ' −1 (k ))
A
一阶条件：
' U ' ( I c + B* )[ I c' ( A) + I p ( A)] = 0
由于 U 是递增又严格凹的， U ( I c + B ) ≠ 0
' *
这与孩子的选择可是全家的收入最大化的一阶条件相同： I c ( A) + I p ( A) = 0
要使企业不违背产量，须满足：
(n + 1) 2 (a − c) 2 (a − c) 2 (a − c) 2 + δ + ≤ + δ + 4n 16n 2 (n + 1) 2 4n 2
解之得：
δ≥
(n + 1) 2 − 4n(n + 1) 2 (n + 1) − 16n 2
(0<δ<1)
待续>>>>>>
1 则在第一阶段参与人1提出不少于 2 给参与人2，2就会接受， 解决方案为（ 1 − δ 2 (1 − δ1S ) ， δ 2 (1 − δ1S ) ）
δ (1 − δ S )
推广到无限期，从第一阶段开始的博弈和从第三阶段的博弈是一样的， 所以解： 1 − δ 2 (1 − δ1S ) =S 得出 S = (1 − δ 2 ) /(1 − δ1δ 2 ) 解决方案： ( (1 − δ 2 ) /(1 − δ1δ 2 ) , δ 2 (1 − δ 2 ) /(1 − δ 1δ 2 ) )
孩子的收益效用增大了，同时家长的收益效用也增大了。 2.3 根据Shaked和Sutton的研究发现，我们可以 把无限博弈截开（见Gibbons教材55页） ，首先分 析前三阶段： 假设在第三阶段参与人1提出S，参与人2接受1-S，则解决方案为（S，1-S） 。 则在第二阶段2提出不少于 δ1S 给参与人1，1就会接受，解决方案 (δ1S ,1 − δ1S ) 。
所 以 所 有 的 qi 都 相 等 。 由 此 ， 将 Q =
* *
∑q
i
* i
= nqi* 代 入 （ 2） 式 ， 可 得 ：
qi* = (a − c) /(n + 1) ， Q* = n(a − c) /(n + 1) ， p* = (a + nc) /(n + 1) 。
当 n 趋 近 于 无 穷 时 ， p* 趋 近 于 边 际 成 本 c， 市 场 趋 近 于 完 全 竞 争 市 场 。 1.5 双 方 都 生 产 qm / 2 时 ， 每 一 方 的 利 润 都 为 π 1 = ( a − c ) / 8 ； 一 方 生 产 qm / 2 ， 另 一 方 生 产 qc
也 即 ， 此 博 弈 的 纯 战 略 纳 什 均 衡 为 （ s1 , s2 ）， 且 满 足 s1 + s2 = 1 ， 0 ≤ s1 , s2 ≤ 1 。
* * * * * *
1.4 对 于 第 i个 厂 商 ， 其 目 标 为 最 大 化 自 己 的 利 润 ， 即 ：
* max π i = max( p − c)qi = max(a − qi − q− i − c ) qi ； qi ≥ 0 qi ≥ 0
' '
2.2 采用逆向归纳法，先最大化家长的收益：给定的孩子的行动 S，来选择自己的行动 B,
MaxV ( I p − B) + k[U1 ( I c − S ) + U 2 ( S + B)]
B
一阶条件：
V ' ( I p − B) = kU 2' ( S + B) ，
反应函数满足：
−1 < dB* / dS = kU 2" /(−kU 2" − V " ) < 0 即，孩子储蓄减少，家
*
长给予更高的赠与。 接着最大化孩子的收益：给定反应函数 B ，来选 S：
MaxU1 ( I c − S ) + U 2 ( S + B* )
S
一阶条件：
'
U1' ( I c − S ) = U 2' ( S + B* )(1 + dB* / dS ) ，由此可得：
'
0 < U1 ( I c − S ) / U 2 ( S + B* ) = (1 + dB* / dS ) < 1
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2.4，2.5略 2.6 采用逆向归纳法：
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（1）在第二阶段企业2和企业3决策：
q2 ≥ 0 q3 ≥ 0 q2 ≥ 0
Max π 2 = Max[(a − q1 − q 2 − q 3 )q 2 − cq 2 ]
由 一 阶 条 件 ∂π i / ∂qi = 0 ， 可 得 ： qi = (a − q− i − c) / 2 … … （ 1）
* *
（ 1） 式 两 端 乘 以 2， 再 减 qi ， 可 得 ： qi = a − Q − c … … （ 2）， 对 于 任 意 的 i 都 成 立 。
* * *
Gibbons《 博 弈 论 基 础 》 习 题 解 答 （ CENET）
第 一 章
1.1 略 1.2 不 会 被 重 复 剔 除 严 格 劣 战 略 剔 除 的 战 略 是 ： T, M, L, R； 纯 战 略 纳 什 均 衡 是 (T, R)和 (M, L)。 1.3
* * 设 此 博 弈 的 纯 战 略 纳 什 均 衡 是 （ s1 , s2 ）。 * * * s1} = max{1 − s2 , 0} = 1 − s2 对 于 参 与 人 1 来 说 ， s1 = max{ max * s1 , max ； * 0 ≤ s1 ≤1− s2 1− s2 < s1 ≤1 * * 同 理 ， s2 。 = 1 − s1
2 2 时 ， 生 产 qm / 2 的 一 方 的 利 润 为 π 2 = 5(a − c) / 48 ， 生 产 qc 的 一 方 的 利 润 为
π 3 = 5(a − c)2 / 36 ； 双 方 都 生 产 qc 时 ， 每 一 方 的 利 润 都 为 π 4 = (a − c) 2 / 9 。 以 标 准 式 表 示
所以企业数量不影响工会效用。 2.8，2.9略 2.10 思路：逐个分析上述的四种情形： 第一种情形，第一阶段选择Qi，第二阶段选择Pi，即双方均采取合作的策略，得益均为6；
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第二种情形和第三种情形下，实际上有一方是采取了不合作，其得益为x，另一方即利益受损 方得益为2； 第四种情形实际上 是双方都不采取合作的策略，而根据题目要求，对于x，下述战略 是一个子 博弈精炼纳什均衡，所以x必须小于双方均合作时的收益6，否则第一种情形不会出现，因为既 然x>6了，双方均会选择不合作而使情形 一不会出现。 由题目先前给定的条件x<4，综合之得x的取值为（4,6） 。 （可参见教材68页的分析） 2.11 能够。战略组合为：在第一阶段选择(B,R)，若第一阶段的结果是(B,R)，则第二阶段选择(T,L)； 若第一阶段的结果不是(B,R)，则第二阶段选择(M,C)。 证明为子博弈完美均衡SPE：显然第二阶段的策略组合是NE，第一阶段若1偏离，不选择B而选 择T，则会增加1单位收益，但在第二阶段会减少2单位收益，所以1不会偏离，若1在第一阶段 选择B，则2会选择R，所以(B,R)会成为第一阶段的SPE。 2.12 略 2.13 使用触发战略，双方都采取垄断价格为： pi = (a + c ) / 2 （最大化利润 (a − pi )( pi − c ) 得