第二章 随机过程的基本概念
第一节 随机过程的定义及其分类 第二节 随机过程的分布及其数字特征 第三节 复随机过程 第四节 几种重要的随机过程简介
第一节 随机过程的定义及其分类
一、直观背景及例
例1 电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖 时间t，即随机变数X（t），t[0，24]。
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（4）平稳随机过程
平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不 随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对 “未来”有不可忽视的影响。
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第二节 随机过程的分布及其数字特征
一、随机过程的分布函数
设{ X (t) ，t T }是一个随机过程，
一维
分布 对于固定的t1 T ，X (t1) 是一个随机变量，
F (t1,t2；x1, x2 ) =
x1
x2
f (t1, t2；y1, y2 )dy1dy2
则称 f (t1,t2；x1, x2 ) 为 X (t) 的二维概率密度
n维
n 维随机向量（X (t1 ) ，X (t2 ) ，…， X (tn ) ）
分布 函数
联合分布函数
F (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn )
分布函数
FXY (t1, ,tn ；t1, ,tm ；x1, , xn ； y1, , ym ）
P{X (t1) x1, , X (tn ) xn；Y（t1） y1, ,Y（tm ） ym }
称为随机过程和的n + m维联合分布函数
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相互 设 X (t) 和Y (t) ，t1,t2 , ,tn ，t1,t2 , ,tm T
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2．方差函数
随机过程{ X (t) ，t T }的二阶中心矩
D(t) D[ X (t)] E[( X (t) m(t))2 ]
称为随机过程 X (t) 的方差函数
说明 均方差函数
D(t) 的平方根 (t) D(t)
它表示 X (t) 在各个时刻 t 对于m(t) 的偏离程度
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3．协方差函数
说明2 随机过程{ X (t) ，t T }是一个二元函数
因为 对于每一个固定的时刻t0 T ，
X (t0 ) 是一个随机变量， 并称作随机过程 X (t) 在t t0 时的一个状态，
它反映了 X (t) 的“随机”性；
对于每一个0 ，
X (t) 是一个确定的样本函数，
它反映了 X (t) 的变化“过程”。
x1
et
x et
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二、随机过程的数字特征
1．均值函数 设随机过程{ X (t) ，t T }， 则 m(t) E[X (t)] ，t T ，
称为随机过程 X (t) 的均值函数
或称为数学期望
说明 m(t) 是 X (t) 的所有样本函数在时刻 t 的函数值的平均
它表示随机过程 X (t) 在时刻 t 的摆动中心
随机过程 X (t) 在t1,t2 T 的状态X (t1) 和X (t2 )
二阶中心混合矩
K(t1,t2 ) E[( X (t1) m(t1))( X (t2 ) m(t2 ))] 称为随机过程 X (t) 的自协方差函数
简称协方差函数
注
当t1 t2 t T ，有
D(t) K (t, t) E[( X (t) m(t)) 2 ]
参数 分类
离散参数 参数集T的是一个可列集T={0，1，2，…}
连续参数
参数集T的是一个不可列集T {t | t 0}
状态 分类
离散状态 连续状态
取值是离散的
X (t)
取值是连续的
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参数T 状态I 分类
T离散、I离散 T离散、I非离散（连续） T非离散（连续） 、I离散 T非离散（连续） 、I非离散（连续）
函数 其分布函数为
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F (t1；x1 ) P{X (t1 ) x1} ，t1 T
称 F (t1；x1 ) 为随机过程 X (t) 的一维分布函数。
一维 若存在二元非负函数 f (t1；x1 ) ，使
概率 密度
F (t1；x1)
x1
f (t1；y1)dy1
则称 f (t1；x1 ) 为随机过程 X (t) 的一维概率密度
例2 研究某一商品的销售量 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖 时间t，即随机变数X（t），t=1，2，…
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例3 国民收入问题 随着各种随机因素的影响而随机变化，
一般地有 Y (t) C(t) I (t)
其中C（t）、I（t）分别表示t年的消费和积累
随机过程 表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它 虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有 规律的。
2．按过程的概率结构分类
概率 结构 分类
独立随机过程 独立增量随机过程 马尔可夫过程 平稳随机过程
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（1）独立随机过程
设{ X (t) ，t T }对任意 n 个不同的 t1 ，t2 ，…，tn T
X (t1 ) ， X (t2 ) ，…， X (tn ) 是相互独立的
则称 X (t) 为具有独立随机变量的随机过程，
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5．相关函数
对任意t1, t2 T
X (t1) 和 X (t2 ) 的二阶原点混合矩
R(t1,t2 ) E[X (t1)X (t2 )] 称为随机过程 X (t) 的自相关函数，
简称相关函数
注 当 m(t) 0 时，有
R(t1,t2 ) =K(t1,t2 )
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6．互相关函数
设 X (t) 和Y (t) 是两个随机过程 对任意t1, t2 T 则
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二、随机过程的定义
1．随机 设E是随机试验， {}是它的的样本
过程 空间，T是一个参数集，若对于每一个t T
都有随机变量 X (t,)，与之对应，
则称依赖于t的随机变量 X (t,) 为随机
过程，或称为随机函数，
通常记作
{ X (t) ，t T }或X (t) 。
说明1
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参数集T在实际问题中，常常指的是时 间参数，但有时也用其它物理量作为参 数集。
则称 X (t) 为马尔可夫过程
简称马氏过程。
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马氏过程的特点
当随机过程在时刻tn1 的状态已知的条件下， 它在时刻tn （tn tn1 ）所处的状态
仅与时刻tn1 的状态有关， 而与过程在时刻tn1 以前的状态无关
称这个特性为马尔可夫性，简称马氏性。
马氏性实质上是无后效性，所以也称马氏过程 为无后效过程。
简称独立随机过程。
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（2）独立增量随机过程
设{ X (t) ，t T }对任意 n 个不同的 t1 ，t2 ，…，tn T
且 t1 t2 tn1 tn
X (t2 ) X (t1 ) ， X (t3 ) X (t2 ) ，…， X (tn ) X (tn1 )
是相互独立的，
则称 X (t) 为具有独立增量的随机过程。
则称随机过程 X (t) 与Y (t) 互不相关
注 若若随机过程 X (t) 与Y (t) 互不相关
则 RXY (t1,t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) 即 E[ X (t1)Y (t2 )] E[ X (t1)]E[Y (t2 )]
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例2 设随机过程 X (t) U cos2t ，其中 U 是随机变量
每次抛掷的结果与先后各次抛掷的结果是相互独 立的，并且出现1或0的概率与抛掷的时间n无关。
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设 P{ xn 1}= p （第 n 次抛掷出现正面的概率）
P{ xn 0 }= q = 1p （第 n 次抛掷出现反面的概率）
其中 P{ xn 1 } = p 与 n 无关，
且 xi 、xk (i k 时)是相互独立的随机变量。
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2．贝努利过程
设每隔单位时间掷一次硬币，观察它出现 的结果。如果出现正面，记其结果为1；如果 出现反面，记其结果为0。一直抛掷下去，便 可得到一无穷序列
{ xn；n 1，2， ；xn 1或0 }
因为每次抛掷的结果是一个随机变量（1或0）， 所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列， 称为随机序列，也可称为随机过程。
称具有这种特性的随机过程为贝努利型随机过程。
注 如果固定观测时刻t，则它的试验结果是属于两个 样本点（0，t2 观测试验结果
则样本空间出现的值为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）
则{ x1, x2 }是一个二维随机变量
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三、随机过程的分类 1、按参数集和状态分类
P{X (t1) x1, X (t2 ) x2 , ，X (tn ) xn}
n维 概率
若存在非负函数 f (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn )
密度
F (t1, t2 , , tn；x1, x2 , , xn )
= x1 x2
xn
f (t1, t2 , , tn；y1, y2 , , yn )dy1dy2 dyn
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4．互协方差函数
设 X (t) 和Y (t) 是两个随机过程 对任意t1,t2 T ，则
K XY (t1,t2 ) E[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]
称为随机过程 X (t) 与Y (t) 的互协方差函数
其中 mX (t1) E[ X (t1)] mY (t2 ) E[Y (t2 )]
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有限 一维，二维，…，n维分布函数的全体： 维分
布族 {F (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn ), t1, t2 , ,tn T , n 1}
易知 它不仅刻划了每一时刻t1 T 随机过程X (t) 的状态 X (t1) 的分布规律，而且也刻划了任意时刻 t1,t2 , ,tn T 随机过程 X (t) 的状态