一维非稳态导热计算4-15、一直径为1cm,长4cm 的钢制圆柱形肋片，初始温度为25℃，其后，肋基温度突然升高到200℃，同时温度为25℃的气流横向掠过该肋片，肋端及两侧的表面传热系数均为100。

试将该肋片等分成两段（见附图），并用有限差分法显式格式计算从开始加热时刻起相邻4个时刻上的温度分布（以稳定性条件所允许的时间间隔计算依据）。

已知＝43W/(m.K)，。

（提示：节点4的离散方程可按端面的对流散热与从节点3到节点4的导热相平衡这一条件列出）。

解：三个节点的离散方程为：节点2：节点3：节点4：。

以上三式可化简为：稳定性要求，即。

，代入得：，如取此值为计算步长，则：，。

于是以上三式化成为：)./(2K m W λs m a /10333.125-⨯=()()12223212222/2444k k k k k k kf t t t t t t d d d d x h t t c x x x πππλλπρτ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---++∆-=⋅∆ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∆∆∆⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()12224323333/2444k k k k k k k f t t t t t t d d d d x h t t c x x x πππλλπρτ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---++∆-=⋅∆ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∆∆∆⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22344/244k k k ft t d d h t t x ππλ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝⎭1213222243421k k f a a h a h t t t t t x x cd x cd τττττρρ+⎛⎫⎛⎫∆∆∆∆∆⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∆∆∆⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1324322243421k k f a a h a h t t t t t x x cd x cd τττττρρ+⎛⎫⎛⎫∆∆∆∆∆⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∆∆∆⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()4322k k f xh t t xht λλ+∆=+∆23410a h x cd ττρ∆∆--≥∆2341/a h x cd τρ⎛⎫∆≤+ ⎪∆⎝⎭554332.258101.33310c a λρ-===⨯⨯5253 1.33310410011/8.898770.020.0132.258100.0999750.0124s τ-⎛⎫⨯⨯⨯∆≤+== ⎪⨯⨯+⎝⎭5221.333108.898770.29660.02a x τ-∆⨯⨯==∆5441008.898770.110332.258100.01h cd τρ∆⨯⨯==⨯⨯113220.29660.29660.1103k k f t t t t +⨯++=12430.29660.296620.1103k k k f t t t t ++⨯+=340.97730.0227kk f t t t+=在上述计算中，由于之值正好使，因而对节点2出现了在及2时刻温度相等这一情况。

如取为上值之半，则，，，于是有：4-16、一厚为2.54cm 的钢板，初始温度为650℃，后置于水中淬火，其表面温度突然下降为93.5℃并保持不变。

试用数值方法计算中心温度下降到450℃所需的时间。

已知。

建议将平板8等分，取9个节点，并把数值计算的结果与按海斯勒计算的结果作比较。

解：数值求解结果示于下图中。

随着时间步长的缩小，计算结果逐渐趋向于一个恒定值，当=0.00001s 时，得所需时间为3.92s 。

如图所示，横轴表示时间步长从1秒，0.1秒，0.01秒，0.001秒，0.0001秒，0.00001秒的变化；纵轴表示所需的冷却时间（用对数坐标表示）。

()8.89877s τ∆=τ∆210x cd ρ--=∆τ∆τ∆τ∆20.1483a x τ∆=∆40.0551h cd τρ∆=23410.5a h x cd ττρ∆∆--=∆1132220.14830.14830.50.0551k k k f t t t t t +⨯+++=124330.14830.148320.50.0551kkkk f t t t t t ++⨯++=340.97730.0227kk f t t t+=()4.4485s τ∆=s m a /1016.125-⨯=τ∆4-17、一火箭燃烧器，壳体内径为400mm,厚10mm,壳体内壁上涂了一层厚为2mm 的包裹层。

火箭发动时，推进剂燃烧生成的温度为3000℃的烟气，经燃烧器端部的喷管喷住大气。

大气温度为30℃。

设包裹层内壁与燃气间的表面传热系数为2500 W/(m.K)，外壳表面与大气间的表面传热系数为350，外壳材料的最高允许温度为1500℃。

试用数值法确定：为使外壳免受损坏，燃烧过程应在多长时间内完成。

包裹材料的＝0.3 W/(m.K)，a=。

解：采用数值方法解得。

4-18、锅炉汽包从冷态开始启动时，汽包壁温随时间变化。

为控制热应力，需要计算汽包内壁的温度场。

试用数值方法计算：当汽包内的饱和水温度上升的速率为1℃/min,3℃/min 时，启动后10min,20min,及30min 时汽包内壁截面中的温度分布及截面中的最大温差。

启动前，汽包处于100℃的均匀温度。

汽包可视为一无限长的圆柱体，外表面绝热，内表面与水之间的对流换热十分强烈。

汽包的内径外半径热扩散率。

解：数值方法解得部分结果如下表所示。

汽包壁中的最大温差，K启动后时间，min 温升速率，K/min1 310 7.136 21.41 20 9.463 28.39 30 10.19 30.574-19、有一砖墙厚为，＝0.85W/(m.K)，室内温度为℃，h=6。

起初该墙处于稳定状态，且内表面温度为15℃。

后寒潮入侵，室外温度下降为℃，外墙表面传热系数。

如果认为内墙温度下降0.1℃是可感到外界温度起变化的一个定量判据，问寒潮入侵后多少时间内墙才感知到？解：采用数值解法得t=7900s 。

4-20、一冷柜，起初处于均匀的温度（20℃）。

后开启压缩机，冷冻室及冷柜门的内表面温度以均匀速度18℃/h 下降。

柜门尺寸为。

保温材料厚8cm ，＝0.02W/(m.K)。

冰箱外表面包裹层很薄，热阻可忽略而不计。

柜门外受空气自然对流及与环境之间辐射的加热。

自然对流可按下式计算：其中H 为门高。

表面发射率。

通过柜门的导热可看作为一维问题处理。

试计算压缩机起动后2h 内的冷量损失。

解：取保温材料的，用数值计算方法得冷量损失为。

4-21、一砖砌墙壁，厚度为240mm ，＝0.81W/(m.K),。

设冬天室外温度为24h 内变化如下表所示。

室内空气温度℃且保持不变；外墙表面传热系数为10，内墙为6。

试用数值方法确定一天之内外墙，内墙及墙壁中心处温度随时间的变化。

取。

设上述温度工况以24h 为周期进行变化。

)./(2K m W λs m /10227-⨯420s τ=,9.01m R =,01.12m R =s m a /1098.926-⨯=m 3.0=δλ)./(1005.136K m J c ⨯=ρ201=t )./(2K m W 102-=f t 352=h )./(2K m W m m 2.12.1⨯λ()4/1/55.1H t h ∆=)./(2K m W 8.0=ε()43110/c J m K ρ=⨯⋅45.9710J ⨯λ()K kg J c m kg ./88.0,/18003==ρ15=i t )./(2K m W )./(2K m W h 1=∆τ时刻/h 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00温度/-5.9 -6.2 -6.6 -6.7 -6.8 -6.9 -7.2 -7.7 -7.6 -7.0 -4.9 -2.3时刻/h 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00温度/-1.0 2.4 1.8 1.8 1.6 0.5 -1.6 -2.8 -3.5 -4.3 -4.8 -5.3解：采用数值解法得出的结果如下表所示。

时刻/h12345678环境温度/-5.9 -6.2 -6.6 -6.7 -6.8 -6.9 -7.2 -7.7 -7.6外墙温度/-1.70 -2.19 -2.44 -2.76 -2.85 -2.93 -3.01 -3.26 -3.67墙壁中心温度/ 3.65 3.32 3.15 2.92 2.87 2.81 2.75 2.59 2.31内墙温度/8.99 8.82 8.73 8.61 8.58 8.55 8.52 8.43 8.28C 0C 0C 0C 0C 0C时刻/h 9 10 11 12 13 14 15 16 17环境温度/-7 -4.9 -2.3 -1 2.4 1.8 1.8 1.6 0.5外墙温度/-3.58 -3.07 -1.34 0.78 1.87 4.63 4.15 4.14 3.97墙壁中心温度/2.36 2.703.87 5.32 6.05 7.95 7.62 7.62 7.51内墙温度/8.31 8.49 9.11 9.87 10.26 11.26 11.10 11.10 11.10时刻/h 18 19 20 21 22 23环境温度/-1.6 -2.8 -3.5 -4.3 -4.8 -5.3外墙温度/3.06 1.34 0.36 -0.22 -0.87 -1.29墙壁中心温度/ 6.09 5.73 5.05 4.66 4.21 3.93内墙温度/10.71 10.10 9.73 9.53 9.30 9.14C 0C 0C 0C 0C 0C 0C 0C多维稳态导热问题4-22、如附图所示，一矩形截面的空心电流母线的内外表面分别与温度为的流体发生对流换热，表面传热系数分别为，且各自沿周界是均匀的，电流通过壁内产生均匀热源。

今欲对母线中温度分布进行数值计算，试： （1）划出计算区域（2）对该区域内的温度分布列出微分方程式及边界条件；（3）对于图中内角顶外角顶及任一内部节点列出离散方程式（），设母线的导热系数为常数。

4-23、一个长方形截面的冷空气通道的尺寸如附图所示。

假设在垂直于纸面的方向上冷空气及通道墙壁的温度变化很小，可以忽略。

试用数值方法计算下列两种情况下通道壁面的温度分布及每米长度上通过壁面的冷量损失： （1） 内外壁分别维持在10℃及30℃ （2）内外壁与流体发生对流换热，且有℃，，℃，。

解：此题应采用计算机求解。

如有墙角导热的热点模拟实验设备，则计算参数（如h ，及网格等）可以取得与实验设备的参数相一致，以把计算结果与实测值作比较。