2 2
进行综合化简。
见example3_9
19
Matlab符号微积分运算（P55）
符号极限运算limit（f，x，a） x->a
符号微分运算diff（f，x，n）
符号积分运算int（f）,int(f,a,b)
函数命令findsym（f,n） 在微积分、函数表达式化简、解方程中，确定自变量 是必不可少的。在不指定自变量的情况下，按照数学 常规，自变量通常都是小写英文字母，并且为字母表 末尾的几个如t、w、x、y、z等等。在matlab中，用 此函数确定一个符号表达式中的自变量。
4
例1：求解一元二次方程 x
2
2 x 2 0 的解。
见example3_1
2 2 x y yx x 2x 合并关于 例2：对于数学表达式 x 的同类项。
见example3_2
2 ( x 1)( x 2)( x 3) 即三 例3：对于数学表达式
因式连乘积的展开式。
例1：已知 f x3 x2 x 1 试对其进行因式分解。 例2：已知 c 12345678901234567890 试对其进行质因式分解。 例3：已知 f ( x y)3 试对其进行展开。 例4：已知 f axecx becx 试对其进行同类项合并。 见example3_9
16
符号表达式的化简 1、 factor() 符号表达式因式分解的函数命令 2、expand() 将符号表达式展开 3、collect() 符号表达式的合并 格式1：collect（E，v） 按v变量合并 格式2：collect（E）按默认变量合并
4、simplify() ,simple() 将将符号表达式运用多种恒等式变换进行综合化简 格式1：simplify（E） ,simple（E） 格式2：[R,HOW]＝simple（E） 17
0.3333 0.2500 0.2000
10
数值转化为符号
sym(‘数值变量’,’f’)－返回浮点表示形式 sym(‘数值变量’,’r’)－返回有理数表示形式 sym(‘数值变量’,’e’)－返回有理数(带误差)表示形式 sym(‘数值变量’,’d’)－返回十进制小数表示形式
– 例： >>sym(4/3,'f') ans ='1.5555555555555'*2^(0) >> sym(4/3,'r') ans =4/3 >> sym(4/3,'e') ans =4/3-eps/3 >> sym(4/3,'d') ans =1.3333333333333332593184650249896
n
例1：已知 f ax by k 试对其进行符号变量替换： n 5, k a sin(t ), b ln(w).k cedt 符号常量替换：
与数组数值替换：k 1:1: 4
见example3_6
15
例2：已知 f a sin x k 试求当： a 1:1: 2, x 0 : : 时函数f的值。 6 3 见example3_7
见example3_15
26
例4：求欧拉方程的通解
x y x y 4xy 3x
3 2
2
例5：求满足初始条件的二阶常系数非齐次微分方程的特解
y y sin(2x) 0, y x 1, y x 1
见example3_15
27
符号运算实现各种变换
见example3_3
见example3_4
6
Matlab符号运算的几个基本概念
符号对象（P49）：
符号对象是symbolic math toolbox定义的一种新的数据 类型（sym类型），用来存储代表非数值的字符符号（通 常是大小写的英文字母及字符串）。符号对象可以是符号 常量（符号形式的数），符号变量，符号函数以及各种符 号表达式（符号数学表达式，符号方程与符号矩阵）
20
1 n ) e 例1：试证明 lim(1 n n
x m a ? 例2：试求 lim x a xa
m
sin x 例3：试求 lim ? x0 x
lim e ?, lim e ? 例4：试求 x 0 x 0
1 x
1 x
见example3_11
21
2 df d f x 例5：已知函数 f a 求 , 2 dx dx
a
f ( x)dx
2 2 I d r 例10：计算重积分 sin dr ? 0 0

a
例11：计算广义积分

4s i n t
2
4 xtdx ?
见example3_13
23
Matlab符号方程求解
Matlab符号代数方程的求解
格式1：solve(‘eqn1’,’eqn2’,…’eqnN’,’v1’,’v2’,…’vN’) 对方程组eqn1,eqn2,…eqnN按照变量v1,v2,…vN联立求解
28
例1：求单位冲激函数 (t ) 与函数 f (t ) 1 的傅立叶变换F(w) 例2：求单位延迟阶跃函数 u(t c) 的傅立叶变换F(w) 例3：求函数 Au(t )e
t
f (t ) cos bt
当cos无法直接FT时， 考虑欧拉公式 1/2(exp(jt)+exp(-jt)
ztrans(f) —— Z变换 例：>>zf=ztrans(2^n) zf=1/2*z/(1/2*z-1) iztrans(f) —— 反Z变换 Laplace(f) —— 拉氏变换 例：>>sf=laplace(t^5) sf=120/s^6 ilaplace(f) —— 反拉氏变换 fourier(f) —— 付氏变换 ifourier(f) —— 反付氏变换 simple(f) ——化简表达式 例：>>f=sym(‘cos(x)^2+sin(x)^2’); >>simple(f) ans=1
2
符号运算与数值运算的区别
数值运算： 1. 其运算的元素是数 值； 2. 在运算过程中必须 先对变量进行赋值， 然后才能参加运算； 3. 其结果以数值形式 出现。
符号运算： 1. 其运算的元素是符 号； 2. 在运算过程中无须 对变量进行赋值就 可参加运算；但是 必须先定义符号变 量； 3. 其结果以符号形式 出现。
11
符号对象转换为数值对象的函数double()， vpa() 1、double() 这种格式的功能是将符号常量转换为双精度数值 2、vpa() 精确计算表达式的值。 格式1：R＝vpa（E） 格式2：R＝vpa（E,D）
12
例1：计算以下符号常量的值 c e
79
并将结果转换为指定精度8位与18位的精确数值解。 见example3_8
第3章 MATLAB的符号运算
1
MATLAB符号运算入门
科学与工程技术的数值运算固然重要，但自然科学 理论分析各种各样的公式、关系式及其推导就是符 号运算要解决的问题。它与数值运算一样，都是科 学计算研究的重要内容。Matlab数值运算的对象是 数值，而Matlab符号运算的对象则是非数值的符号 对象。符号对象就是代表非数值的符号字符串。
18
例5：试对 e1 sin2 x cos2 x
e2 ecln( )
进行综合化简。 例6：试对 e1 ln x ln y
e2 2cos x sin x
2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e3 cos x j sin x
e4 x3 3x2 3x 1
e5 cos x sin x
Matlab符号微分方程的求解
dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…’初始条件部分’,’指定独立变量部分’)
24
例1：对以下方程联立方程组
y2 z 2 x2 yz a x 2 bx c
求a＝1，b＝2，c＝3时的x，y，z
见example3_14
25
例2：求微分方程组的通解
9
数组、矩阵与符号矩阵（P51）
m1=sym(‘[ab bc cd ; de ef fg ; h l j]’) m2=sym(‘[1 12;23 34]’)
– 例： – >>A=hilb(3); A= 1.0000 0.5000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2500 >> A=sym(A) A= [ 1, 1/2, 1/3] [ 1/2, 1/3, 1/4] [ 1/3, 1/4, 1/5]
的傅立叶变换F(w) df (t ) 例4：求函数 dt 的傅立叶变换F(w)
例5：求函数 F (w) 2 (w) 的傅立叶反变换f(t)
见example3_16 29
符号函数的可视化
ezplot(f):绘制f=f(t),t的范围-2*pi<t<2*pi ezplot(f,[a,b]):绘制f=f(t),t的范围a<t<b ezplot(f):对于符号f=f(x,y),ezplot(f)在图形窗口 中绘制符号方程f(x,y)=0的图形， -2*pi<x<2*pi, -2*pi<y<2*pi。 ezplot(f,[xmin,xmax,ymin,ymax]) ezplot(x,y):绘制符号方程x=x(t),y=y(t)的图形， 0<t<2*pi; ezplot(x,y,[tmin,tmax])
见example3_2
5
d d 2 2 例4：导函数 (cos x) 和 (cos x ) dx dx
见example3_3 例5：计算不定积分