2019北京市朝阳区高三一模数 学（文）2019．3本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在复平面内，复数12iiz +=对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 设实数,x y 满足不等式组01010.y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，， 则2x y +的最大值是A. 1B. 2C. 3D. 4 3. 已知集合{1,2,3,4,5}A =，且AB A =，则集合B 可以是A. {|21}xx > B. 2{|1}x x > C. 2{|log 1}x x > D. {1,2,3} 4. 已知ABC △中， 120A ∠=，a =ABC且b c <.则c b -=B. 3C. 3-D. 5. 已知,,a b c ∈R ，给出下列条件：①22a b >；②11a b<；③22ac bc >,则使得a b >成立的充分而不必要条件是 A. ① B. ② C. ③ D. ①②③6. 某三棱锥的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为 A ．4 B ．2C ．83正（主）视图 俯视图侧（左）视图D ．437. 已知圆22:(2)2C x y -+=，直线:2l y kx =-. 若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条的切线12,l l ，使得12l l ⊥，则实数k 的取值范围是A. )（）U B. 22[ C. ∞(-,0) D. )∞[0,+8. 某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 已知平面向量(2,1)-a =，(1,)x b =.若ab ，则x = ．10. 执行如图所示的程序框图，则输出的x 值为 ．11．双曲线2214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是 . 12. 能说明“函数()f x 的图象在区间[0,2]上是一条连续不断的曲线，若(0)(2)0f f ⋅>，则()f x 在区间(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 ． 13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．图1 图214. 若不等式log 40a x x +->（0a >且1a ≠）在区间(0,2)内有解，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x =. （Ⅰ）求()3f π的值及()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若函数()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求实数m 的最大值．16. （本小题满分13分） 在等比数列{}n a 中，141,42a a ==，n ∈N *. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设6n n b a n =+-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若0n S >，求n 的最小值.17. （本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频率分布直方图：（Ⅰ）求a 的值；乙站甲站（Ⅱ）记A 表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”，试估计A 的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客的平均等待时间分别为1X ,2X ,求1X 的值，并直接写出1X 与2X 的大小关系.18. （本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，2BC =． （Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）若M 为线段BD 的中点，求证：CE //平面AMF ； （Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积．19. （本小题满分13分）已知函数()e 4xf x a x =-，a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，求证：曲线()y f x =在抛物线21y x =--的上方.EDCB AFM20. （本小题满分14分）已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．数学试题答案一、选择题（40分）(1,2)15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知2()cos cos3333fππππ=+13144=+=.因为()f x1cos2222xx+=+π1sin(2)62x=++，所以函数()f x的最小正周期为π．………………………..7分（II）由πππ2π22π262k x k-++≤≤得,ππππ36k x k-+≤≤，k∈Z.所以，函数()f x的单调增区间为πππ,π36k k⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k∈Z．当0k=时, 函数()f x的单调增区间为ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，若函数()f x在区间[0,]m上单调递增，则ππ[0,],36m⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，所以实数m的最大值为π6. ………………………..13分16. （本小题满分13分）解：（I）由数列{}n a为等比数列，且112a=,44a=，得3414a a q==，解得2q=.则数列{}n a 的通项公式1212n n n a a q --==,n *∈N . ………………..5分（II ） 2662n n n b a n n -=+-=-+102(546)(222)n n S n --=--++-++++(11)2122n n n --=+.当5n ≥时，(11)152n n -≥-，213122n -≥，所以0n S >； 当4n =时，44472102S -⨯+-=<； 当3n =时，33382102S -⨯+-=<； 当2n =时，22292102S -⨯+-=<； 当1n =时，111102102S -⨯+-=<. 所以，n 的最小值为5 .………………………..13分 17. （本小题满分13分）（Ⅰ）因为0.012530.040520.048551a ⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯=， 所以0.036=a .………………………..4分 （Ⅱ）由题意知，该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为0.0120.0400.048)50.5(++⨯=，故()P A 的估计值为0.5 .…………..8分（Ⅲ）1=X 0.012⨯5+0.040⨯10+0.048⨯15+0.040⨯20+0.036⨯25+0.012⨯30+0.012⨯35⨯5（）=18.3.由直方图知：12X X < ………………………..13分 18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为四边形ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，AF ⊂平面ADEF ，所以AF ⊥平面ABCD ．又CD ⊂平面ABCD ，所以AF CD ⊥． ……………………….4分 （Ⅱ）延长AM 交BC 于点G ，因为//AD BC ，M 为BD 中点， 所以BGM ∆≌DAM ∆， 所以1BG AD ==． 因为2BC =，所以1GC =． 由已知1FE AD ==，且//FE AD ,又因为//AD GC ，所以//FE GC ，且FE GC =， 所以四边形GCEF 为平行四边形，所以//CE GF ． 因为CE ⊄平面AMF ，GF ⊂平面AMF ，所以//CE 平面AMF ． ……………………….9分 （Ⅲ）设G 为BC 中点，连接DG ，EG ．由已知//DG AB ，所以//DG 平面AFB ． 又因为//DE AF ，所以//DE 平面AFB ， 所以平面//DEG 平面AFB ．因为AD AB ⊥，AD AF ⊥，所以AD ⊥平面ABF ， 所以多面体AFB DEG -为直三棱柱． 因为1AB AF AD ===，且90BAF ∠=︒，所以11111122AFB AFB DEG V V S AD ∆-==⋅=⨯⨯⨯=三棱柱． 由已知//DG AB ，且DG AB =， 所以DG GC ⊥，且1DG GC ==．又因为//DE AF ，AF ⊥平面CDG ，EDCBA FMG所以DE ⊥平面CDG ． 因为1DE AF ==，所以211111113326CDG E CDG V V S DE ∆-==⋅=⨯⨯⨯⨯=三棱锥， 所以12112263ABCDEF V V V =+=+=多面体． ……………………….14分 19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）求导得()e 4xf x a '=-.定义域x ∈R .当0a ≤时，()0f x '<,函数()f x 在R 上为减函数. 当0a >时，令()0f x '>得4lnx a>,()f x 为增函数； 令()0f x '<得4lnx a<,()f x 为减函数. 所以0a ≤时，函数()f x 减区间是(,)-∞+∞. 当0a >时，函数()f x 增区间是 4(ln,)a +∞；减区间是4(,ln )a-∞. ………5分 （Ⅱ）依题意，只需证2e 410x x x -++>.设2()e 41xF x x x =-++.则()e 42xF x x '=-+，设()()G x F x '=.因为()e 20xG x '=+>，所以()G x 在(,)-∞+∞上单调递增.又因为(0)30,(1)e 20G G =-<=->，所以()0G x =在(0,1)内有唯一解，记为0x 即00e 42xx =-. 当0x x <时，()0F x '<，()F x 单调递减；当0x x >时，()0F x '>，()F x 单调递增； 所以022min 000000()()e 4165,(0,1)xF x F x x x x x x ==-++=-+∈.设22()65(3)4g x x x x =-+=--，(0,1)x ∈.则()(1)0g x g >=.所以0()0F x >. 所以()0F x >，即曲线()y f x =在抛物线21y x =--上方.………13分20. （本小题满分14分）（Ⅰ）由题意a 1b =，1c ==所以离心率c e a ==，左焦点(1,0)F -． …………4分 （Ⅱ）由题知，220012x y +=，即220022x y +=.当00y =时直线l方程为x =或x =l 与椭圆C 相切． 当00y ≠时，由22001,222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2222000(2)4440y x x x x y +-+-=， 即22002220x x x y -+-= 所以 2200(2)4(22)x y ∆=---22004+880x y =-= 故直线l 与椭圆C 相切． …………8分 （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当00y =时，12x x =，12y y =-，1x =2211(1)FA FB x y ⋅=+-2211(1)6(1)x x =+-+-21240x =-=， 所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．当00y ≠时，由2200(1)6,22x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 得2222000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=， 则2001222(2)1y x x x y ++=+，212202101y x x y -=+， 2001212122220001()42x x y y x x x x y y y =-++200254422x x y --+=+． 因为1122(1,)(1,)FA FB x y x y ⋅=+⋅+ 1212121x x x x y y =++++2222000000220042084225442222y y x y x x y y -++++--+=+++ 220025(2)10022x y y -++==+． 所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．故AFB ∠为定值90． …………14分。