第五章习题与解答5-1试求题5-1图(a)、(b)网络的频率特性。

u r R1u cR2CR2R1u r u c(a) (b)题5-1图 R-C网络解（a)依图：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=++=++=2121111212111111221)1(11)()(RRCRRTCRRRRKsTsKsCRsCRRRsUsUrcττωωτωωωωω11121212121)1()()()(jTjKCRRjRRCRRjRjUjUjGrca++=+++==(b)依图：⎩⎨⎧+==++=+++=CRRTCRsTssCRRsCRsUsUrc)(1111)()(2122222212ττωωτωωωωω2221211)(11)()()(jTjCRRjCRjjUjUjGrcb++=+++==5-2某系统结构图如题5-2图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出)(tcs和稳态误差)(tes（1）ttr2sin)(=（2）)452cos(2)30sin()(︒--︒+=tttr题5-2图反馈控制系统结构图解 系统闭环传递函数为: 21)(+=Φs s 频率特性: 2244221)(ωωωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 241)(ωω+=Φj相频特性: )2arctan()(ωωϕ-=系统误差传递函数: ,21)(11)(++=+=Φs s s G s e 则 )2arctan(arctan )(,41)(22ωωωϕωωω-=++=Φj j e e（1）当t t r 2sin )(=时, 2=ω，r m =1则 ,35.081)(2==Φ=ωωj ο45)22arctan()2(-=-=j ϕο4.1862arctan )2(,79.085)(2====Φ=j j e e ϕωω )452sin(35.0)2sin()2(οο-=-Φ=t t j r c m ss ϕ)4.182sin(79.0)2sin()2(ο+=-Φ=t t j r e e e m ss ϕ（2） 当 )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 时: ⎩⎨⎧====2,21,12211m m r r ωωο5.26)21arctan()1(45.055)1(-=-===Φj j ϕ ο4.18)31arctan()1(63.0510)1(====Φj j e e ϕ )]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t c m m ss ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=οο)902cos(7.0)4.3sin(4.0οο--+=t t)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t e e e m e e m ss ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=οο )6.262cos(58.1)4.48sin(63.0οο--+=t t5-3 若系统单位阶跃响应h t e e t tt()..=-+≥--11808049试求系统频率特性。

解 ss R s s s s s s s C 1)(,)9)(4(3698.048.11)(=++=+++-=则 )9)(4(36)()()(++=Φ=s s s s R s C 频率特性为 )9)(4(36)(++=Φωωωj j j5-4 绘制下列传递函数的幅相曲线：()()/1G s K s = ()()/22G s K s = ()()/33G s K s = 解 ()()()12G j K j K e j ==-+ωωπω=→∞00,()G j ω→∞∞=,()G j 0 ϕωπ()=-2幅频特性如图解5-4(a)。

()()()()222G j Kj Ke j ωωωπ==-ω=→∞00,()G j ω→∞∞=,()G j 0 ϕωπ()=-幅频特性如图解5-4(b)。

()()()()33332G j K j K e j ωωωπ==- 图解5-4ω=→∞00,()G j ω→∞∞=,()G j 0 ϕωπ()=-32幅频特性如图解5-4(c)。

5-5 已知系统开环传递函数)15.0)(12(10)()(2+++=s s s s s H s G试分别计算 5.0=ω 和2=ω 时开环频率特性的幅值)(ωA 和相角)(ωϕ。

解 )5.01)((21(10)()(2ωωωωωωj j j j H j G +-+=2222)5.0()1()2(110)(ωωωωω+-+=A215.0arctan 2arctan 90)(ωωωωϕ---︒-= 计算可得 ⎩⎨⎧︒-==435.153)5.0(8885.17)5.0(ϕA ⎩⎨⎧︒-==53.327)2(3835.0)2(ϕA5-6 试绘制下列传递函数的幅相曲线。

(1) G s s s ()()()=++52181(2) G s s s ()()=+1012解 (1) G j ()()()ωωω=-+511610222∠=--=-----G j tg tg tg ()ωωωωω11122810116取ω为不同值进行计算并描点画图，可以作出准确图形 三个特殊点： ① ω=0时， 00)(,5)(=∠=ωωj G j G ② ω=0.25时, ︒-=∠=90)(,2)(ωωj G j G ③ ω=∞时, 0180)(,0)(-=∠=ωωj G j G幅相特性曲线如图解5-6（1）所示。

图解5-6（1）Nyquist 图 图解5-6（2） Nyquist 图(2) G j ()ωωω=+10122∠=--G j tg ()ωω10180 两个特殊点： ① ω=0时， G j G j (),()ωω=∞∠=-1800 ② ω=∞时, G j G j (),()ωω=∠=-0900幅相特性曲线如图解5-6（2）所示。

5-7 已知系统开环传递函数 )1()1()(12++-=s T s s T K s G ； 0,,21>T T K当1=ω时，︒-=∠180)(ωj G ，5.0)(=ωj G ,单位速度稳态误差1=ssv e ,试写出系统开环频率特性表达式)(ωj G 。

解: )1()1()(12+--=s T s s T K s G绘制)1()1()(120+-=s T s s T K s G 的幅相曲线，然后顺时针转180°即得到)(ωj G 幅相曲线。

)(0s G 的零极点分布图及幅相曲线分别如图解5-7(a)、(b)所示。

)(s G 的幅相曲线如图解5-7(c)所示。

依题意有： K s sG K s v==→)(lim 0， 11==K e ssv ，因此1=K 。

︒-=-︒--=∠180arctan 90arctan )1(12T T j G︒=-+=+901arctan arctan arctan 212121T T TT T T121=T T另有： 5.01)(1)(11)1)(1()1(22212221212112=++=++--=+--=T T T T T T j T T T jT jT j G 021221222221222=-+-=-+-T T T T T T0)2)(1(2222222232=-+=-+-T T T T T可得： 22=T ，5.0121==T T ，1=K 。

所以： )5.01(21)(ωωωωj j j j G +-=5-8 已知系统开环传递函数 )1)(1(10)(2++=s s s s G 试概略绘制系统开环幅相曲线。

解 )(ωj G 的零极点分布图如图解5-9(a)所示。

∞→=0ω变化时，有︒-∞∠=+90)0(j G ︒-∞∠=-135)1(j G ︒∞∠=+315)1(G︒-∠=∞3600)(j G分析s 平面各零极点矢量随∞→=0ω的变化趋势，可以绘出开环幅相曲线如图解5-8(b)所示。

5-9 绘制下列传递函数的渐近对数幅频特性曲线。

(1) G s s s ()()()=++22181；(2) G s s s s ()()()=++20011012；(3) G s s s s s s ()(.)(.)()=++++40050212(4) G s s s s s s s ()()()()()=+++++20316142510122(5) G s s s s s s s ()(.)()()=+++++801142522解 (1) G s s s ()()()=++22181图解5-9（1） Bode 图 Nyquist 图(2) G s s s s ()()()=++20011012图解5-9（2） Bode 图 Nyquist 图(3) G sss s s s()(.)(.)()=++++40050212=++++1002102112()(.)()ssss s图解5-9（3） Bode图 Nyquist图 (4) G sss s s s s()()()()()=+++++20316142510122)110(12545)16()13(2520)(22+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫⎝⎛++=sssssssG图解5-9（4） Bode图 Nyquist图(5) G ss s s s s s ()(.)()()=+++++801142522⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+=125451)1(11.01258.022s s s s s s图解5-9（5） Bode 图 Nyquist 图5-10 若传递函数 G s Ks G s v()()=0，式中，)(0s G 为)(s G 中，除比例和积分两种环节外的部分，试证ω11=K v式中，1ω为近似对数幅频曲线最左端直线（或其延长线）与零分贝线交点的频率，如题5-10图所示。

证 依题意，G(s)近似对数频率曲线最左端直线(或其延长线)对应的传递函数为v sK 。

题意即要证明v sK的对数幅频曲线与0db 交点处的频率值ω11=K v 。

因此，令0)(lg 20=vj K ω，可得 K v ω11=, 故 ωω111vv K K =∴=,，证毕。

5-11 三个最小相角系统传递函数的近似对数幅频曲线分别如题5-11图(a)、(b)和(c)所示。

要求：（1）写出对应的传递函数；（2）概略绘制对应的对数幅频和对数相频曲线。

题5-11图解 (a) 依图可写出：G s K ss()()()=++ωω1211其中参数：db L K 40)(lg 20==ω，100=K则： G s s s ()()()=++100111112ωω图解5-11（a ） Bode 图 Nyquist 图(b) 依图可写出 G s Kss s()()()=++ωω12211K C ==ωωω021图解5-11（b ） Bode 图 Nyquist 图(c) G s K s ss()()()=⋅++ωω2311200111lg ,K K ωω==图解5-11（c ） Bode 图 Nyquist 图5-12 已知)(1s G 、)(2s G 和)(3s G 均为最小相角传递函数，其近似对数幅频曲线如题5-12图所示。