第三章《直线与方程》单元测试题
一、选择题
1. 直线l 经过原点和点（ 1，1），则它的倾斜角是（）
Ａ．3Ｂ．5Ｃ．或5Ｄ．
4 4 4 4 4
2. 斜率为2的直线过（3，5），（ a，7），（－1，b）三点，则a，b的值是（）
Ａ． a 4 ， b 0 Ｂ． a 4 ， b 3
Ｃ． a 4 ， b 3 Ｄ． a 4 ， b 3
3. 设点A（2，3），B（ 3，2），直线过P（1，1）且与线段AB相交，则l 的斜率k的取
值范围是（）
3 3 3
Ａ．k≥ 3或k≤ 4 Ｂ．4≤ k≤ 3Ｃ．3≤k≤4 Ｄ．以上都不对
4 4 4
4. 直线（a 2）x （1 a）y 3 0与直线（a 1）x （2a 3）y 2 0互相垂直，则 a （）
3
Ａ． 1 Ｂ． 1 Ｃ． 1 Ｄ．
2
5. 直线l过点A 1，2 ，且不过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（）
Ａ．0，2 Ｂ．0，1 Ｃ．0，1Ｄ．0，1
22
6. 到两条直线3x 4y 5 0 与5x 12y 13 0 的距离相等的点P（ x，y）必定满足方程（）
Ａ．x 4y 4 0 Ｂ．7x 4y 0
Ｃ．x 4y 4 0或4x 8y 9 0 Ｄ．7x 4y 0 或32x 56y 65 0
7. 已知直线3x 2y 3 0 和6x my 1 0 互相平行，则它们之间的距离是（）
Ａ． 4 Ｂ． 2 13Ｃ．5 13 Ｄ．7 13
13 26 26
8. 已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x y 2 0 ，直角顶点是C（3，2），则两条
直角边AC，BC 的方程是（）
Ａ．3x y 5 0，x 2y 7 0 Ｂ．2x y 4 0，x 2y 7 0
Ｃ．2x y 4 0，2x y 7 0 Ｄ．3x 2y 2 0，2x y 2 0
9. 入射光线线在直线l1：2x y 3 0 上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y 轴反射到直线
Ａ．x 2y 3 0 Ｂ．2x y 3 0 Ｃ．2x y 3 0 Ｄ．2x y 6 0
l3上，则直线l3 的方程为（）
xy50
10. 已知x，y满足x 3 ，且z=2x+4y 的最小值为-6 ，则常数k=（）
xyk0
Ａ． 2 Ｂ．9 Ｃ． 3 Ｄ．0
二、填空题
k
11. 已知三点（2，3），（4，3）及（5，k）在同一条直线上，则k的值是．
2
12. 在y轴上有一点m，它与点（ 3，1）连成的直线的倾斜角为120t ，则点m的坐标为．
13. 设点P在直线x 3y 0上，且P到原点的距离与P到直线x 3y 2 0的距离相等，则点P
坐标是．
1
14. 直线l过直线2x y 4 0与x 3y 5 0的交点，且垂直于直线y 1 x ，则直线l的方程
2 是．
xy30
15.若x，y满足x y 1 0 ，设y kx，则k的取值范围是．
3x y 5 0
三、解答题
16. 已知ABC 中，点A（1,2），AB 边和AC边上的中线方程分别是5x 3y 3 0和
7x 3y 5 0，求BC所在的直线方程的一般式。

17. 过点p(3,4) 的直线l
1)求l 在两个坐标轴上截距相等的方程。

2)求l 与x,y 正半轴相交，交点分别是A.B, 当AOB 面积最小时的方程。

18. 已知直线方程为(2 m)x (1 2m) y 4 3m 0．
(1) 证明：直线恒过定点M；
(2) 若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A、B两点，求△ AOB面积的最小值及此时直线的方程．
19. 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高的长．
20. 已知直线l1：mx 8y n 0，直线l2：2x my 1 0 ，l1 ∥ l2 ，两平行直线间距离为 5 ，而过点A（ m，n）（ m 0，n 0）的直线l被l1、l2截得的线段长为10，求直线l的方程．
3x 2 y 11
21.已知x，y满足约束条件y x 2 ，目标函数为z 3x 5y 。

x 5 y 3
（1）使z 取得最小值的最优解是否存在？若存在，请求出；
（2）请你改动约束条件中的一个不等式，使目标函数只有最大值而无最小值。

必修 2 第 3 章《直线的方程》单元测试题
ACACA DDBBD 3 1 3 1 1
12 （0， 2）
（3， 1）或（ 3，1） 10x 5y 8 0 [ 1 ，2]
5 5 5 5
2
16. 解析：设 C 点坐标为（ a,b ）因为点 C 在 AB 边的中线上，所以有 5a-3b-3=0 AC 的中点
坐标为 （1 a ,2 b ） ，又因为 AC 的中点在 AC 边的中线上，所以有 7 1 a 3 2 b 5 0 联
2 2 2 2
立解得 C （3，4）同理，可得 B （-1 ，-4 ）则 BC 的方程是： 2x y 2 0
17.解析：(1) 4x 3y 0或 x y 7 0 2）设l 的斜率为 k ， 则设 l :y 4 k （x
因分别与 x,y 正半轴相交 ,所以 k 0
则 A （3 4 5,0）
k B(0,4 3k)
1
S AOB OA OB
21(3 k 4) (4 3k) 12(24 9k 1k 6) 2 k 2 k
24 当且仅当 9k 16 时，则 k 4 （舍） or
k3
(S AOB )min 4 ，此时 k
4
( k < 0 )，即 k 2 k
4 k
3
故 l :4x 3y 24 0
18.解析： (1) (2 m)x (1 2m) y 4 3m 0可化为 (x 2y 3)m 2x y 4
1|2
1| |k 2|
2k
1
2(4 k k
4
) 12(4 2 ( k) ( k 4)) 4
21
24 ( 9k) (
1
24 2 ( 9k) ( 1k 6
)
即： kx y k 2 0
直线方程为 2x y 4 0
2
19. 证明：建立如图所示坐标系，
A （a ，0） ，
B （0，b ），
C （ a,0） （a 0，b 0）
则直线 AB 方程为 bx ay ab 0，直线 BC 的方程为 bx ay ab 0．
ba ab 2ab
A 到 BC 的距离为 h
b a a 2 a b
b 2 a 32ab
b 2
∵
PE PF
b(a
x) b(a x)
2ab
h ，
a 2
b 2
a 2
b 2
a 2
b 2
∴原结论成立．
20. 解： ∵
l 1∥ l 2 ，∴ m 16 0 得 m 4．
∵ m 0 ，∴ m 4 ．故 l 1 :4x 8y n 0， l 2：4x 8y 2 0．
又l 1与l 2间距离为 5，∴ n 2
5，解得 n 18或n 22 （舍）．
1 2
42 82
1
故 A 点坐标为 （4，18） ．再设 l 与l 1的夹角为 ，斜率为 k ， l 1斜率为 4 ，
π π
k ( 2
)
1
4
设底边 AC 上任意一点为 P （x ，0） ，
( a ≤ x ≤ a)， 则P 到 AB 的距离为 PE
bx ab b(a x)
a 2 * 4
b 2 a 2 b
2 P 到 BC 的距离为 PF
bx ab
a 2
b 2
b(a x)
a 2
b 2
sin 2
y
B
∴直线 l 的方程为 y 18 (x 4) 或 y 18 3(x 4)．
3
即 x 3y 50 0 或3x y 30 0 ．
21. 解：(1)存在。

作出可行域如图中阴影部分。

13 x
4 。

故其最
5
y
4
13
x 5 6
由 x 2x 2y y 34 00得 y x 12
∴ 直线必过定点 P （– 1，– 2）
5。

。

6
y
4
(2)从上图中分析，只要使可行域不存在最低点即可，因此，我改动约束条件中的最后一个
3x 2y 11 不等式，使约束条件变为 y x 2 ，此
时目标函数只有最大值而无最小值。

x 5y 3
5
5 5
z
在y 轴上的截
距，当直线 z 3x 5y 过 P 点时， z 取得最小值。

解方程组
y x 2
，得
x 5y 3
优解为
（2）设直线的斜率为k，则其方程为y 2 k（x 1）
易得A（2 1，0），B（0，k –2），显然k < 0 k ∴π，tanπ 1 2，解得k 1或k 3．
4 4 1 3
1 (
)k
2。