高考数学第一次诊断性考试数学(理工农医类)本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共四页．全部解答都写在答卷(卡)上，不要写在本题单上．120分钟完卷，满分150分．第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用钢笔和4B或5B铅笔写、涂在答题卡上．2．每小题选出答案后，用4B或5B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不准答在本题单上．3．参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k k n n P P C k P --⋅⋅=)1()(；正棱锥、圆锥的侧面积公式cl S 21=锥侧 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长； 球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．1．已知集合P ={－1，0，1}，Q ={y ︱y =sin x ，x ∈P }，则P ∩Q 是CA ．{－1，0，1}B ．{0，1}C ．{0}D ．{1}2．设两个集合A ={1，2，3，4，5}，B ={6，7，8}，那么可以建立从A 到B 的映射个数是 BA ．720B ．243C ．125D ．153．若不等式∣ax + 2∣＜6的解集为(－1，2)，则实数a 等于 AA ．－4B ．4C ．－8D ． 84．已知函数f (x )的图象恒过点(1，1)，则f (x －4)的图象过 DA ．(－3，1)B ．(1，5)C ．(1，－3)D ．(5，1)5．已知x x f x f 26log )()(=满足函数 ，那么f (16) 等于 DA ．4B ．34C ．16D ．326．定义在实数集R 上的函数y =f (－x )的反函数是)(1x f y -=-，则 AA ．y =f (x )是奇函数B ．y =f (x )是偶函数C ．y =f (x )既是奇函数，也是偶函数D ．y =f (x )既不是奇函数，也不是偶函数7．下列求导正确的是 BA ．211)1(xx x +='+ B ．2ln 1)(log 2x x =' C ．)3('x =3x ·log 3e D ．)cos (2'x x =－2x sin x8．设随机变量ξ的分布列为,3,2,1,)31()(===i a i P i ξ则a 的值是 D A ．1 B ．139 C ．131 D ．1327 9．)321132112111(lim nn +++++++++++∞→ 的值为 A A ． 2 B ． 0 C ． 1 D ． 不存在10．已知z ∈C ，满足不等式0<-+z i iz z z 的点Z 的集合用阴影表示为CA ．B ．C ．D ．11．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，且不受其它投篮结果的影响．设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξ BA ．4.06.01⨯-kB ．76.024.01⨯-kC ．6.04.01⨯-kD ．24.076.01⨯-k12．我们用记号θi e 来表示复数cos θ +i sin θ，即θθθsin c os i e i += (其中e = 2.71828…是自然对数的底数，θ 的单位是弧度)．则：① i e i 222=π； ② θθθsin 2=+-i i e e ； ③ 01=+πi e ． 其中正确的式子代号为 CA ．①B ．①②C ．①③D ．②③第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．一个公司有N 个员工，下设一些部门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为n 的样本 (N 是n 的倍数)．已知某部门被抽取了m 个员工，那么这一部门的员工数是 ．n mN 14．=+-+-→)1311(lim 31x x x ．－ 1 15．计算：=-3)2321(i ． －1 16．关于函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)0(2)0(21)(x ax x ax x f )0(≠a a 是实常数且，下列表述不正．．确．的是 ．(填写答案序号) ① ③ ④ ① 它是一个奇函数； ② 它在每一点都连续；③ 它在每一点都可导；④ 它是一个增函数； ⑤ 它有反函数．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本题满分12分) 设随机变量ξ 服从正态分布：ξ ~ N (1，22)，试求：(Ⅰ) )20(≤<ξP ；(Ⅱ) 求常数c ， 使 )(32)(c P c P >=≤ξξ．参考数据：Φ(0)=0.5；Φ(1)=0.8413；Φ(2)=0.9772；Φ(0.5)=0.6915；Φ(1.88)=0.9697；Φ(3)=0.9987．17．解： (Ⅰ) 由)0()2()20(F F P -=≤<ξ=)210()212(-Φ--Φ =)5.0()5.0(-Φ-Φ=21)5.0(-Φ=216915.0-⨯=0.3830．(Ⅱ) 由已知可得 )](1[32)(c P c P ≤-=≤ξξ，∴ 32)(33=≤c P ξ，即 32)2133=-Φc （， ∴ 9697.0)21(=-Φc ， ∴ 88.121=-c ， c =4.76．18．(本题满分12分) 已知函数332+-=x xa y 在[0，2]上有最小值8，求正数a 的值．解：设43)23(3322+-=+-=x x x u ， 当x ∈[0，2]时，可得]3,43[∈u ． (1) 若a ＞1时，则843m in ==a y ，解得a =16＞1．(2) 若0＜a ＜1时，则83m in ==a y ，解得a =2，此与0＜a ＜1矛盾，舍去．故正数a =16．19．(本题满分12分) 已知p ：∣1－2x ∣≤ 5，q ：x 2－4x +4－9m 2 ≤ 0 (m ＞0)，若⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解：解不等式可求得：p ：－2≤x ≤3， q ：2－3m ≤x ≤2+3m (m ＞0)．则 ⌝p ：A ={x ∣x ＜－2或x ＞3}，⌝q ：B ={x ∣x ＜2－3m 或x ＞2+3m ，m ＞0}．由已知 ⌝p ⇒⌝q ，得A B ，从而310.0,332,232≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-≥-m m m m ． (上述不等式组中等号不能同时取)．经验证．．310≤<m 为所求实数m 的取值范围．20．(本题满分12分) 已知f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，当x ＜0时，f (x )=x 2－x －2，解不等式f (x )＞0．解： 设x ＞0，则 －x ＜0．∴ f (－x )=(－x )2－(－x )－2=x 2+x －2．而f (x ) 是奇函数，∴ f (－x )=－f (x )，于是 f (x )=－x 2－x +2，x ＞0．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+--=.0,2;0,2)(22x x x x x x x f (1) 由 ⎩⎨⎧>+-->02,02x x x 得 )1,0(0)1)(2(,0∈⇒⎩⎨⎧<-+>x x x x ． (2) 由 ⎩⎨⎧>--<02,02x x x 得 10)1)(2(,0-<⇒⎩⎨⎧>+-<x x x x ．综上所述，不等式f (x )＞0的解集为{x ∣x ＜－1或0＜x ＜1}．21．(本题满分12分) 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？解：设保险公司要求顾客交x 元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：因此，公司每年收益的期望值为Eξ=x(1－p)+(x－a)·p=x－ap．为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需Eξ=0.1a，即x－ap=0.1a，故可得x=(0.1+p)a．即顾客交的保险金为(0.1+p)a时，可使公司期望获益10%a．说明：当事件E发生的概率较小时，即使赔偿数目较大，保险公司仍可获益．例如当P=0.001，a=10000元时，根据上述赔偿办法，顾客只需交纳(0.1+0.001)×10000=1010元保险金，但保险公司仍可期望获益10%a=1000元，当保险公司的顾客较多时，其效益十分可观．22．(本题满分14分) 已知函数ax2ln()(在开区间(0，1)内=)x-xf+是增函数．(Ⅰ) 求实数a 的取值范围；(Ⅱ) 若数列{a n }满足a 1∈(0，1)，)()2ln(*1N ∈+-=+n a a a n n n ，证明：101<<<+n n a a ．(Ⅲ) 若数列{b n }满足b 1∈(0，1)，)()2ln(2*1N ∈+-=+n b b b n n n ，问数列{b n }是否单调？(Ⅰ) 解：a xx f +--='21)(，由于f (x )在(0，1)内是增函数， ∴ 0)(>'x f ，即 021>+--a x在x ∈(0，1)时恒成立． ∴ 21-->x a 恒成立， 而 －2＜x －2＜－1，∴ 21211-<-<-x ， 即 12121<--<x ， ∴ a ≥1即为所求．(Ⅱ) 证明：由题设知，当n =1时，a 1∈(0，1)． 假设当n =k 时，有a k ∈(0，1)，则 当n =k +1时，有0)2ln(1>+-=+k k k a a a 且1)2ln(1<+-=+k k k a a a (由第一问知f (x )=ln(2－x )+x 在(0，1)上是增函数)，∴ n =k +1时命题成立，故0＜a n ＜1，n ∈N *． 又 ∵ 0)2ln(1>-=-+n n n a a a ，∴ 101<<<+n n a a ．(Ⅲ) 数列{b n }不具有单调性．令 211=b ， 则 )2,1(2149ln 21)212ln(2)2ln(2112∈+=+-=+-=b b b ， ∴ b 2＞b 1．又 ∵ 1＜b 2＜2，0＜2－b 2＜1，∴ ln(2－b 2)＜0，∴ 2223)2ln(2b b b b <+-=．由此表明数列{b n }没有单调性．。