《圆锥曲线解题十招全归纳》 招式一：弦的垂直平分线问题 ............................................................................. 2 招式二：动弦过定点的问题 ................................................................................. 4 招式四：共线向量问题 ......................................................................................... 6 招式五：面积问题 ............................................................................................... 12 招式六：弦或弦长为定值、最值问题 ............................................................... 15 招式七：直线问题 ............................................................................................... 18 招式八：轨迹问题 ............................................................................................... 22 招式九：对称问题 ............................................................................................... 29 招式十、存在性问题 ........................................................................................... 32 招式一：弦的垂直平分线问题 例题1、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：2yx交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(0x,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出0x；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)lykx，0k，11(,)Axy，22(,)Bxy。

由2(1)ykxyx消y整理，得2222(21)0kxkxk ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410kkk 即2104k ②

由韦达定理，得：212221,kxxk121xx。则线段AB的中点为22211(,)22kkk。 线段的垂直平分线方程为： 221112()22kyxkkk

令y=0,得021122xk，则211(,0)22Ek

ABE为正三角形，211(,0)22Ek到直线AB的距离d为32AB。

221212()()ABxxyy

22

2

141kkk212kdk



222

2

3141122kkkkk解得3913k满足②式此时053x。

【涉及到弦的垂直平分线问题】 这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB

的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。 例题分析1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于

解：设直线AB的方程为yxb，由22123301yxxxbxxyxb，进而可求出AB 的中点11(,)22Mb，又由11(,)22Mb在直线0xy上可求出1b，∴220xx，由弦长公式可求出221114(2)32AB． 招式二：动弦过定点的问题

例题2、已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程；

（II）若直线:(2)lxtt与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

解：（I）由已知椭圆C的离心率32cea，2a,则得3,1cb。从而椭圆的方程为2214xy （II）设11(,)Mxy，22(,)Nxy，直线1AM的斜率为1k,则直线1AM的方程为1(2)ykx，由122

(2)44ykxxy



消y整理得222121(14)161640kxkxk12x和是方程的两个根，

21121164214kxk则211212814kxk，1121414kyk，即点M的坐标为2112211

284(,)1414kkkk，

同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为2222222824(,)1414kkkk 12(2),(2)ppyktykt12122kkkkt，直线MN的方程为：121121

yyyyxxxx

，

令y=0，得211212xyxyxyy，将点M、N的坐标代入，化简后得：4xt

又2t，402t椭圆的焦点为(3,0)43t，即433t 故当433t时，MN过椭圆的焦点。 招式三：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A、B、C是椭圆E：22221xyab (0)ab上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且0ACBC，2BCAC，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线3x对称，求直线PQ的斜率。 解：(I) 2BCAC，且BC过椭圆的中心O OCAC0ACBC2ACO

又A (23,0)点C的坐标为(3,3)。

A(23,0)是椭圆的右顶点，23a，则椭圆方程为：222112xyb

将点C(3,3)代入方程，得24b，椭圆E的方程为221124xy

(II) 直线PC与直线QC关于直线3x对称， 设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为k，从而直线PC的方程为：

3(3)ykx，即3(1)ykxk，由223(1)3120ykxkxy消y，整理得：

222(13)63(1)91830kxkkxkk3x

是方程的一个根，

229183313Pkkxk



即2291833(13)Pkkxk同理可得：2291833(13)Qkkxk

3(1)3(1)PQPQyykxkkxk＝()23PQkxxk＝2123(13)kk

2222918391833(13)3(13)PQkkkkxxkk



＝2363(13)kk13PQPQPQyykxx

则直线PQ的斜率为定值13。 招式四：共线向量问题 1：如图所示，已知圆MAyxC),0,1(,8)1(:22定点为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足NAMNPAPAM点,0,2的轨迹为曲线E. （I）求曲线E的方程；（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FHFG，求的取值范围. 解：（1）.0,2AMNPAPAM∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||ANCNNMCN∴动点N的轨迹是以点 C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222a

焦距2c=2. .1,1,22bca∴曲线E的方程为.1222yx （2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为,12,222yxkxy代入椭圆方程 得.230.034)21(222kkxxk得由设),,(),,(2211yxHyxG )2(216213),1(21821422212221kkxxkkkkxx则

)2,()2,(,2211yxyxFHFG又,,2121xxxx，

)21(332)21(33221)2()1(2222kk

k



.331.316214.316)21(3324,2322解得kk.131,10又 又当直线GH斜率不存在，方程为.31,31,0FHFGx)1,31[,131的取值范围是即所求 2：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214yx的焦点，离心率

为255.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于