双曲线及其标准方程 编稿：张林娟 责编：孙永钊【学习目标】 1．知识与技能：从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程．2．过程与方法：学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图像和标准方程．3．情感态度与价值观：了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用．【要点梳理】要点一：双曲线的定义把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线．定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释：1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同： 若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若 常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在；若 常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．要点二：双曲线的标准方程 1． 双曲线的标准方程2． 标准方程的推导如何建立双曲线的方程根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简．（1）建系取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．（2）设点设M (x ，y )为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c (c ＞0)，那么F 1、F 2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)． （3）列式设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ．由定义可知，双曲线就是集合：P ={M ||M F 1|-|M F 2||=2a }={M |M F 1|-|MF 2|=±2a }．∵222212||(),||(),MF x c y MF x c y =++-+2222()()2x c y x c y a ++-+±(4)化简将这个方程移项，得2a =两边平方得：22222()44()x c y a x c y ++=±-+化简得：2cx a -=±两边再平方，整理得：()()22222222c a x a y a c a --=- ① （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导） 由于方程①形式较复杂，继续化简．由双曲线定义，22c a ＞ 即c a ＞，所以220c a -＞． 令222(0)c a b b -=＞，代入上式得：222222b x a y a b -=， 两边同除以22a b ，得：即22221x y a b-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+．这就是焦点在x 轴的双曲线的标准方程．要点诠释：若在第（1）步中以“过焦点F 1、F 2的直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴建立平面直角坐标系”，就可以得到焦点在y 轴的双曲线方程：22221y x a b -=(0,0)a b >>，其中222c a b =+． 3． 两种不同双曲线的相同点与不同点定义平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合不同 点图形标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b -=(0,0)a b >> 焦点坐标 ()10F c ， ，()20F c ， ()10F c ， ，()20F c ，相 同a 、b 、c 的关系222c a b =+焦点位置的判哪项为正，项的未知数就是焦点所在的轴要点诠释：1．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．2．双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2．3．双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．4．对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：椭圆、双曲线的区别和联系1．椭圆、双曲线的标准方程对照表：图象定义根据|MF1|+|MF2|=2a根据||MF1|－|MF2||=2aa、b、c关系a2－c2=b2（a最大）（a＞c＞0，b＞0）c2－a2=b2（c最大）（0＜a＜c，b＞0）标准方程22221x ya b+=，（焦点在x轴）22221y xa b+=，（焦点在y轴）其中a＞b＞022221x ya b-=，（焦点在x轴）22221y xa b-=，（焦点在y轴）其中a＞0，b＞0，a不一定大于b）标准方程的统一形式221x ym n+=（当0,0,m n m n>>≠时，表示椭圆；当0mn<时，表示双曲线）2． 方程Ax 2+By 2=C （A 、B 、C 均不为零）表示双曲线的条件方程Ax 2+By 2=C 可化为221Ax By C C+=，即221x y C C A B+=， 所以只有A 、B 异号，方程表示双曲线． 当0,0C C AB><时，双曲线的焦点在x 轴上；当0,0C C AB<>时，双曲线的焦点在y 轴上．要点四：求双曲线的标准方程①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a 、b 、c 的值． 其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．要点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a 、b ，即先定型，再定量． 若两种类型都有可能，则需分类讨论．【典型例题】类型一：双曲线的定义例1．已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A ．22197x y +=B ．22197x y -=＝1(y >0)C ． 22197x y -=或22179x y -=D ． 22197x y -= (x >0)【答案】 D【解析】 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：22197x y -=(x >0)【总结升华】对于双曲线的定义必须抓住两点：一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数，二是这个常数要小于12||F F ，若不满足这些条件，则其轨迹不是双曲线，而是双曲线的一支或射线或轨迹不存在．举一反三：【变式1】已知定点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，平面内满足下列条件的动点P 的轨迹为双曲线的是（ ）A ．|PF 1|－|PF 2|=±3B ．|PF 1|－|PF 2|=±4C ．|PF 1|－|PF 2|=±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2=±4【答案】A【变式2】已知点F 1(0，－13)、F 2(0，13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．y =0B ．y =0（x ≤－13或x ≥13）C ．x =0（|y |≥13）D ．以上都不对【答案】C【变式3】动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．抛物线D ．双曲线 【答案】A例2． 已知P 是双曲线2216436x y -=上一点，12,F F 双曲线的两个焦点，且1||17,PF =求2||PF 值【解析】利用双曲线的定义求解．【答案】在双曲线221164x y -=中，8,6,a b ==故10c =．由P 是双曲线上一点，得12||||||16PF PF -=． ∴2||1,PF =或2||33,PF = 又2||2,PF c a ≥-=得2||33,PF =【总结升华】本题容易忽略2||2,PF c a ≥-=这一条件，而得出错误的结论2||1,PF =或2||33PF =举一反三：【变式1】双曲线221916x y -=的两个焦点为12,F F ，点P 在双曲线上，若12PF PF ⊥，求1 2 PF F ∆的面积S ．【答案】16【解析】221916x y -=中，a 2=9，b 2=16，c 2=9+16=25，所以a =3，b =4，c =5．设11PF r =，22PF r =，由题意可知，112212-6100.r r r r ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，所以()2221112111--=322r r r r r r ⎡⎤=+⎣⎦， 因为1 2 PF F ∆是直角三角形，所以111==162S r r ．【变式2】过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点1F 与左支相交的弦AB 的长为m ，另一焦点2F ，求2ABF ∆的周长．【解析】∵2121||||2,||||2AF AF a BF BF a -=-=，且11||||AF BF m +=，∴2211||||2||2||4AF BF a AF a BF a m +=+++=+∴2ABF ∆的周长为：22||||||42AF BF AB a m ++=+．【变式3】已知点P (x ，y )4=，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线中的一支C ．两条射线D ．以上都不对 【答案】B类型二：双曲线的标准方程例3．判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出 a ，b ，c ．22(1)142x y -=； 22(2)4936y x -=； 22(3)638x y -=；8=； 22(5)134x y +=； 22(6)1515x y +=-．【思路点拨】先看方程能否等价转化为双曲线的标准形式，若不能，则不能表示双曲线；反之，找出相应的a 2，b 2，再利用c 2= a 2+b 2得到c 的值． 【解析】（1）能．该双曲线焦点在x 轴上，2a =4，2b =2，222=c a b +=6，所以a =2，bc．（2）能．双曲线可化为：22194x y -=，它的焦点在x 轴上，2a =9，2b =4，222=c a b +=13． 所以a =3，b =2，c（3）能．双曲线可化为：2214833x y -=，它的焦点在x 轴上，2a =43，2b =83，222=c a b +=4，所以a，bc =2． （4）能． 该方程表示到定点（-5，0）和（5，0）的距离为8，由于8<10，所以表示双曲线，其中a =4，c =5，则222=b c a =9，所以b =3．． （6）不能表示双曲线，这是椭圆的方程． （7）不能表示双曲线，该曲线不存在．【总结升华】化双曲线22Ax By C +=为标准方程的步骤为： （1）常数化为1：两边同除以C ，将双曲线化为 221Ax By C C+=； （2）分子上22x y ，的系数化为1：利用1ba b a⨯=，将双曲线化为 221x y C C A B+=；（3）注意符号：若双曲线的焦点在x轴，则将双曲线化为 221x y C C A B= ；若双曲线的焦点在y 轴，则将双曲线化为221y x C CB A= ． 举一反三：【变式1】双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0) B ．5，0)C ．60)D ．30)【答案】C【解析】将双曲线方程化为标准方程为22=112y x －，∴a 2＝1，b 2＝12，∴22c a b =+6故右焦点的坐标为60)．【变式2】若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦距为6，则k ＝______． 【答案】1± 【解析】 当k >0时，双曲线的标准方程为22118x y k k= ，此时2222183a b c a b k k k===+==，，，解得k =1；当k <0时，双曲线的标准方程为22181x y k k= ，此时22813a b c k k ====，， ，解得k ＝－1．所以k 的值为1±．例4．已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．【解析】由题意得2a =24，2c =26．∴a =12，c =13，b 2=132－122=25．当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的方程为22114425x y -=； 当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的方程为22114425y x -=． 【总结升华】求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴．双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正负．举一反三：【高清课堂：双曲线的方程 357256 例1】 【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）已知两焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8．（2）双曲线的一个焦点坐标为(0,6)-，经过点(5,6)A -．【答案】（1）221169x y -=；（2）2211620y x -=．【变式2】求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点2)的双曲线的标准方程．【答案】221128x y -=【解析】解法一：依题意设双曲线方程为22ax －22by =1由已知得22220a b c +==，又双曲线过点2)，∴22241a b-=∴22222222012481a b a b a b ⎧+=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎪⎩故所求双曲线的方程为221128x y -=．解法二：依题意设双曲线方程为221164x y k k-=-+，将点2)代入221164x y k k-=-+，解得4k =， 所以双曲线方程为221128x y -=．类型三：双曲线与椭圆 例5．讨论221259x y k k+=--表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．【思路点拨】 观察题目所给方程是关于x ，y 的二次形式，故只可能表示椭圆或双曲线．对于221x y m n+=：当0,0,.m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩时，方程表示椭圆；当0mn <时，方程表示双曲线．【解析】(1)当k <9时，25－k >0，9－k >0，所给方程表示椭圆，由于25－k >9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，所以这些椭圆的焦点都在x 轴上，且焦点坐标都为（-4，0）和（4，0）．(2)当9<k <25时，25－k >0，9－k <0，所给方程表示双曲线，其标准方程为221259x y k k -=--．此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4，0)，(4，0)．(3)当k >25时，所给方程没有轨迹．【总结升华】椭圆和双曲线都是二次曲线系，注意它们各自定义在方程中的区别，它们a ，b ，c 的关系区别．举一反三：【变式1】设双曲线方程与椭圆2212736x y +=有共同焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点为A ，且A 的纵坐标为4，求双曲线的方程．【答案】22145y x -=【变式2】若双曲线221x y m n -=(M >0，n>0)和椭圆221x y a b+=(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．【答案】 a －M【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得|MF 1|－|MF 2|＝±①|MF 1|＋|MF 2|＝②②2－①2得，4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4M ， ∴|MF 1|·|MF 2|＝a －M ．类型四：双曲线方程的综合应用【高清课堂：双曲线的方程 357256例2】例7． 已知A ，B 两地相距2000 M ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且已知当时的声速是330 M /s ，求炮弹爆炸点所在的曲线方程．【解析】由题知爆炸点P 应满足||||330413202000PA PB -=⨯=<，又||||,PA PB >所以点P 在以AB 为焦点的双曲线的靠近于B 点的那一支上． 以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，21320,22000a c ==得660,1000,a c ==∴222564400b c a =-= ∴点P所在曲线的方程是221(0)435600564400x y x -=>【总结升华】应用问题，应由题干抽象出数学问题即数学模型，在解决数学问题之后，再回归到实际应用中．举一反三：【变式】设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A ，B 两个观察所听到一声爆破声的时间差为6秒，且记录B 处的声强是A 处声强的4倍，若已知声速340a = 米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸点P 到AB 中点M 的距离． 【答案】米。