第3章 辅导控制系统典型的输入信号1. 阶跃函数阶跃函数的定义是⎩⎨⎧=<>0,00,)(t t A r t x式中A 为常数。

A 等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。

它表示为x r (t)＝l(t)，或x r (t)=u(t)单位阶跃函数的拉氏变换为X r (s)=L[1(t)]=1/s在t ＝0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。

2. 斜坡函数这种函数的定义是⎪⎩⎪⎨⎧<>=0,00, )(t t t A t x r 式中A 为常数。

该函数的拉氏变换是X r (s)=L[At]=A/s 2这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A 。

当A ＝l 时，称为单位斜坡函数，如图所示。

3. 抛物线函数如图 所示，这种函数的定义是⎪⎩⎪⎨⎧<>=0 ,00, t )(2t t A t x r式中A 为常数。

这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A 。

抛物线函数的拉氏变换是X r (s)=L[At 2]=2A/s 3当A ＝1/2时，称为单位抛物线函数，即X r (s)=1/s 3。

4. 脉冲函数这种函数的定义是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→<<→><=0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(εεεεεt At t t x r 式中A 为常数，ε为趋于零的正数。

脉冲函数的拉氏变换是A A L s X r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→εεlim 0)(当A ＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图 所示。

单位脉冲函数的面积等于l ，即⎰∞∞-=1)(dt t δ在t ＝t 0处的单位脉冲函数用δ(t-t 0)来表示，它满足如下条件幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。

单位脉冲函数δ(t)可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数，即反之，单位脉冲函数δ(t)的积分就是单位阶跃函数。

控制系统的时域性能指标对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。

工程上为了定量评价系统性能好坏，必须给出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。

1 动态性能指标动态性能指标通常有如下几项：延迟时间d t 阶跃响应第一次达到终值)(∞h 的50％所需的时间。

上升时间r t 阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间。

峰值时间p t 阶跃响应越过稳态值)(∞h 达到第一个峰值所需的时间。

调节时间s t 阶跃响到达并保持在终值)(∞h 5±％误差带内所需的最短时间；有时也用终值的2±％误差带来定义调节时间。

超调量σ％ 峰值)(p t h 超出终值)(∞h 的百分比，即 σ％100)()()(⨯∞∞-=h h t h p ％在上述动态性能指标中，工程上最常用的是调节时间s t （描述“快”），超调量σ％（描述“匀”）以及峰值时间p t 。

2 稳态性能指标稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。

稳态误差有不同定义，通常在典型输入下进行测定或计算。

一阶系统的阶跃响应一. 一阶系统的数学模型由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。

一些控制元部件及简单系统如RC 网络、发电机、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。

因为单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s ，故输出的拉氏变换式为11111)()()(+-=•+=•Φ=Ts Ts s Ts s R s s C 取C(s)的拉氏反变换得t Tec(t)11--=或写成tt ss c c c(t)+=式中，c ss =1，代表稳态分量；t Tttec 1--=代表暂态分量。

当时间t 趋于无穷，暂态分量衰减为零。

显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线，如图所示。

响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。

一阶系统的单位阶跃响应二阶系统的阶跃响应典型二阶系统方框图，其闭环传递函数为：()()()v m v m v m v K s s T K s T s K s T s K s R s C s ++=+++==Φ2)1(/1)1(/2222nn ns s ωζωω++= 式中K v --开环增益；ωn --无阻尼自然频率或固有频率，mvn T K =ω； ζ--阻尼比，mn T ωζ21=。

二阶系统的闭环特征方程为 s 2+2ζωn s+ω2n =0其特征根为n s ωζζ⎪⎭⎫ ⎝⎛-±-=122,11. 临界阻尼(ζ=1)其时域响应为())1(1t et c n tn ωω+-=-上式包含一个衰减指数项。

c(t)为一无超调的单调上升曲线，如图3-8b 所示。

(a) (b) (c)ζ≥1时二阶系统的特征根的分布与单位阶跃响应2. 过阻尼(ζ＞1)具有两个不同负实根])1(,[221n s s ωζζ-±-=的惯性环节单位阶跃响应拉氏变换式。

其时域响应必然包含二个衰减的指数项，其动态过程呈现非周期性，没有超调和振荡。

图为其特征根分布图。

3. 欠阻尼（0<ζ＜1）图3-9 0<ζ＜1时二阶系统特征根的分布 图3-10 欠阻尼时二阶系统的单位阶跃响应4. 无阻尼(ζ＝0)())(222nns s s C ωω+=其时域响应为()t t c n ωcos 1-=在这种情况下，系统的响应为等幅(不衰减)振荡，图ζ＝0时特征根的分布 图ζ＝0时二阶系统的阶跃响应5. 负阻尼（ζ＜0）当ζ＜0时，特征根将位于复平面的虚轴之右，其时域响应中的e 的指数将是正的时间函数，因而tn e ζω-为发散的，系统是不稳定的。

显然，ζ≤0时的二阶系统都是不稳定的，而在ζ≥1时，系统动态响应的速度又太慢，所以对二阶系统而言，欠阻尼情况是最有实际意义的。

下面讨论这种情况下的二阶系统的动态性能指标。

欠阻尼二阶系统的动态性能指标1. 上升时间t r上升时间t r 是指瞬态响应第一次到达稳态值所需的时间。

21ζωθπωθπ--=-=n d r t 由此式可见，阻尼比ζ越小，上升时间t r 则越小；ζ越大则t r 越大。

固有频率ωn 越大，t r 越小，反之则t r 越大。

2. 峰值时间t p 及最大超调量M p21ζωπωπ-==n d p t最大超调量 πζζ)1/(max 2)(--=∞-=e c c M p最大超调百分数 %100.)()(%)1/(max 2πζζδ--=∞∞-=e c c c c3. 调整时间t s707.00 4)]1ln(214[1%)2( 707.00 3)]1ln(213[1%)5(22<<≈--=<<≈--=ζζωζζωζζωζζω，，nn s n n s t t图3-13 二阶系统单位阶跃响应的一对包络线 图3-14 调节时间和阻尼比的近似关系根据以上分析，二阶振荡系统特征参数ζ和ωn 与瞬态性能指标(δ4. 振荡次数μ在调整时问t s 之内，输出c(t)波动的次数称为振荡次数μ，显然fst t =μ 式中 2122ζωπωπ-==n df t ，称为阻尼振荡的周期时间。

()122122++=TS S T s φ 这一系统的单位阶跃响应瞬态特性指标为： 最大超调百分数%3.4%100)1/(%2=⨯=--πζζδe上升时间T t n r 7.412=--=ζωθπ调整时间()T t s 43.8%2=(用近似式求得为8T) ()T t s 14.4%5=(用近似式求得为6T)有一位置随动系统其中K k ＝4。

求该系统的(１)固有频率；(2)阻尼比；(3)超调量和调整时间；(4)如果要求实现工程最佳参数ζ＝l ／2，开环放大系数k k 值应是多少？【解】系统的闭环传递函数为 ()kkK s s K s ++=2φ 4=k K 与二阶系统标准形式的传递函数()2222nn ns s s ωζωωφ++= 对比得：(1) 固有频率24===k n K ω(2) 阻尼比 由12=n ζω得 25.021==nωζ(3) 超调()%47%100%)1/(2=⨯=--ne ζζδ(4) 调整时间()s t ns 63%5=≈ξω当要求21=ζ时，由12=n ζω 得 5.0,212===n k n K ωω可见该系统要满足工程最佳参数的要求，须降低开环放大系数k K 的值。

但是，降低kK 值将增大系统的误差。

劳斯稳定判据将系统的特征方程式写成如下标准式0122110=+++++---n n n n n a s a sa s a s a ΛΛ 将各系数组成如下排列的劳斯表1112124321343212753116420g s f s e e s c c c c s b b b b s a a a a s a a a a s on n n nM M M M M M ΛΛΛΛΛΛΛΛ---表中的有关系数为130211a a a a a b -=150412a a a a a b -=170613a a a a a b -=ΛΛΛΛΛΛΛΛ系数i b 的计算，一直进行到其余的b 值全部等于零为止。

121311b b a a b c -=131512b b a a b c -=141713b b a a b c -=ΛΛΛΛΛΛΛΛ这一计算过程，一直进行到 n 行为止。

为了简化数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性的结论。

(l) 第一列所有系数均不为零的情况 第一列所有系数均不为零时，劳斯判据指出，特征方程式的实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。

方程式的根全部在复平面的左半平面的充分必要条件是，方程式的各项系数全部为正值，并且劳斯表的第一列都具有正号。

例如， 三阶系统的特征方程式为0322130=+++a s a s a s a列出劳斯表为3130211312203a s a a a a a s a a s a a s -则系统稳定的充分必要条件是00>a ，01>a ，02>a ，03>a ，0)(3021>-a a a a系统的特征方程为054322345=+++++s s s s s 试用劳斯判据判断系统的稳定性。

解 计算劳斯表中各元素的数值，并排列成下表532059031532411012345s s ss s s -由上表可以看出，第一列各数值的符号改变了两次，由+2变成-1，又由-1改变成+9。