13.4 数学归纳法一、填空题1.用数学归纳法证明1+12+13…+12n -1<n (n ∈N ,且n >1),第一步要证的不等式是________.解析 n =2时,左边=1+12+122-1=1+12+13,右边=2.答案 1+12+13<22.用数学归纳法证明:121×3+223×5+…+n 2(2n -1)(2n +1)=n(n +1)2(2n +1);当推证当n =k +1等式也成立时,用上归纳假设后需要证明的等式是 .解析 当n =k +1时,121×3+223×5+…+k 2(2k -1)(2k +1)+(k +1)2(2k +1)(2k +3)=k(k +1)2(2k +1)+(k +1)2(2k +1)(2k +3)故只需证明k(k +1)2(2k +1)+(k +1)2(2k +1)(2k +3)=(k +1)(k +2)2(2k +3)即可.答案 k(k +1)2(2k +1)+(k +1)2(2k +1)(2k +3)=(k +1)(k +2)2(2k +3)3.若f (n )=12+22+32+…+(2n )2,则f (k +1)与f (k )的递推关系式是________. 解析 ∵f (k )=12+22+…+(2k )2,∴f (k +1)=12+22+…+(2k )2+(2k +1)2+(2k +2)2; ∴f (k +1)=f (k )+(2k +1)2+(2k +2)2.答案 f (k +1)=f (k )+(2k +1)2+(2k +2)23.若存在正整数m ,使得f (n )= (2n -7)3n +9(n ∈N *)能被m 整除,则m =________.解析 f (1)=-6,f (2)=-18,f (3)=-18,猜想:m =-6. 答案 64.用数学归纳法证明“n 3+(n +1)3+(n +2)3(n ∈N *)能被9整除”,要利用归纳假设证n =k +1时的情况,只需展开的式子是________.解析 假设当n =k 时,原式能被9整除,即k 3+(k +1)3+(k +2)3能被9整除. 当n =k +1时,(k +1)3+(k +2)3+(k +3)3为了能用上面的归纳假设,只需将 (k +3)3展开,让其出现k 3即可. 答案 (k +3)35.用数学归纳法证明1+2+3+…+n 2=n 4+n 22,则当n =k +1时左端应在n =k的基础上加上________.解析 ∵当n =k 时,左侧=1+2+3+…+k 2, 当n =k +1时,左侧=1+2+3+…+k 2+(k 2+1)+…+(k +1)2, ∴当n =k +1时,左端应在n =k 的基础上加上(k 2+1)+(k 2+2)+(k 2+3)+…+(k +1)2. 答案 (k 2+1)+(k 2+2)+(k 2+3)+…+(k +1)26.用数学归纳法证明1-12+13-14+…+12n -1-12n =1n +1+1n +2+12n,则当n =k +1时,左端应在n =k 的基础上加上________.解析 ∵当n =k 时,左侧=1-12+13-14+…+12k -1-12k 当n =k +1时,左侧=1-12+13-14+…+12k -1-12k +12k +1-12k +2.答案12k +1-12k +27.设平面内有n 条直线(3)n ≥,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n 条直线交点的个数,则f(4)= ;当n>4时,f(n)= (用n 表示). 答案:5 1(1)(2n n +-2)解析:f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数. ∴f(4)-f(3)=3, f(5)-f(4)=4, …f(n)-f(n-1)=n-1.累加得f(n)-f(3)=3+4+…+(n -1) 3(2)(2)2n n +-=-.∴1()(1)(2f n n n =+-2).8.用数学归纳法证明不等式1+12+14+…+12n -1>12764(n ∈N *)成立,其初始值至少应取________.解析 右边=1+12+14+…+12n -1=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1-12=2-12n -1,代入验证可知n 的最小值是8. 答案 89.在数列{a n }中,a 1=13且S n =n (2n -1)a n ,通过计算a 2,a 3,a 4,猜想a n 的表达式是________.解析 当n =2时,a 1+a 2=6a 2,即a 2=15a 1=115;当n =3时,a 1+a 2+a 3=15a 3, 即a 3=114(a 1+a 2)=135; 当n =4时,a 1+a 2+a 3+a 4=28a 4, 即a 4=127(a 1+a 2+a 3)=163. ∴a 1=13=11×3,a 2=115=13×5,a 3=135=15×7,a 4=17×9,故猜想a n =12n -12n +1. 答案 a n =12n -12n +110.用数学归纳法证明(n +1)(n +2)…(n +n )=2n ·1·3…(2n +1)(n ∈N *),从“k 到k +1”左端需乘的代数式是________.解析 左端需乘的代数式是2k +12k +2k +1=2(2k +1).答案 2(2k +1)11.如下图,在杨辉三角形中,从上往下数共有n (n ∈N *)行,在这些数中非1的数字之和是________________.1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1…解析 所有数字之和S n =20+2+22+…+2n -1=2n -1, 除掉1的和2n -1-(2n -1)=2n -2n . 答案 2n -2n12.对于不等式n 2+n <n +1(n ∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n =1时,12+1<1+1,不等式成立. (2)假设当n =k (k ∈N *)时,不等式成立, 即k 2+k <k +1,则当n =k +1时,(k +1)2+(k +1)=k 2+3k +2<(k 2+3k +2)+(k +2)=(k +2)2=(k +1)+1,∴当n =k +1时,不等式成立.则上述证法中________________(哪一步推理)不正确. 解析 此同学从n =k 到n =k +1的推理中没有应用归纳假设. 答案 从n =k 到n =k +1的推理 13.12-22+32-42+…+(-1)n -1·n 2,当n 分别取1,2,3,4时的值依次为________,所以猜想原式=________. 解析 当n =1时,原式=12=1=(-1)1-1·1×(1+1)2当n =2时,原式=12-22=-3=(-1)2-1·2×(2+1)2 当n =3时,原式=12-22+32=6=(-1)3-1·3×(3+1)2当n =4时,原式=12-22+32-42=-10=(-1)4-1·4×(4+1)2∴猜想原式=(-1)n -1·n (n +1)2.答案 1,-3,6,-10 (-1)n -1·n n +12二、解答题14.已知数列{a n }满足a n +1=-a 2n +pa n (p ∈R ),且a 1∈(0,2),试猜想p 的最小值,使得a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立,并给出证明. 证明 当n =1时,a 2=-a 21+pa 1=a 1(-a 1+p ). 因为a 1∈(0,2),所以欲使a 2∈(0,2)恒成立,则要⎩⎨⎧p >a 1,p <a 1+2a 1恒成立,解得2≤p ≤22,由此猜想p 的最小值为2.因为p ≥2,所以要证该猜想成立,只要证:当p =2时,a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立.现用数学归纳法证明: ①当n =1时结论显然成立;②假设当n =k 时结论成立,即a k ∈(0,2), 则当n =k +1时,a k +1=-a 2k +2a k =a k (2-a k ), 一方面,a k +1=a k (2-a k )>0成立,另一方面,a k +1=a k (2-a k )=-(a k -1)2+1≤1<2, 所以a k +1∈(0,2),即当n =k +1时结论也成立. 由①②可知,猜想成立,即p 的最小值为2. 15.在数列{a n }中,对于任意n ∈N *,a n +1=4a 3n -3a n . (1)求证:若|a n |>1,则|a n +1|>1; (2)若存在正整数m ,使得a m =1,求证: ①|a 1|≤1; ②a 1=cos2k π3m -1(其中k ∈Z ).(参考公式:cos 3α=4cos 3α-3cos α)证明 (1)因为|a n |>1,a n +1=4a 3n -3a n .所以|a n +1|=|4a 3n -3a n |=|a n |(4|a n |2-3)>1.(2)①假设|a 1|>1,则|a 2|=|4a 31-3a 1|=|a 1|(4|a 1|2-3)>1.若|a k |>1,则|a k +1|=|4a 3k -3a k |=|a k |(4|a k |2-3)>1.所以当|a 1|>1时,有|a n |>1(n ∈N *),这与已知a m =1矛盾,所以|a 1|≤1. ②由①可知,存在θ,使得a 1=cos θ, 则a 2=4cos 3θ-3cos θ=cos 3θ.假设n =k 时,有a n =cos 3n -1θ,即a k =cos 3k -1θ,则a k +1=4a 3k -3a k =4(cos 3k -1θ)3-3(cos 3k -1θ)=cos 3k θ. 所以对任意n ∈N *,a n =cos 3n -1θ,则a m =cos 3m -1θ=1,3m -1θ=2k π,其中k ∈Z . 即θ=2k π3m -1. 所以a 1=cos2k π3m -1(其中k 为整数). 16.在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=c -1a n.(1)设c =52,b n =1a n -2,求数列{b n }的通项公式;(2)求使不等式a n <a n +1<3成立的c 的取值范围. 解析 (1)a n +1-2=52-1a n -2=a n -22a n,1a n +1-2=2a n a n -2=4a n -2+2,即b n +1=4b n +2. b n +1+23=4⎝ ⎛⎭⎪⎫b n +23,又a 1=1,故b 1=1a 1-2=-1, 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n +23是首项为-13,公比为4的等比数列,b n +23=-13×4n -1,b n =-4n -13-23.(2)a 1=1,a 2=c -1,由a 2>a 1,得c >2. 用数学归纳法证明:当c >2时,a n <a n +1. ①当n =1时,a 2=c -1a 1>a 1,命题成立;②设当n =k 时,a k <a k +1, 则当n =k +1时,a k +2=c -1a k +1>c -1a k=a k +1.故由①②知当c >2时,a n <a n +1. 当c >2时,因为c =a n +1+1a n >a n +1a n,所以a 2n -ca n +1<0有解, 所以c -c 2-42<a n <c +c 2-42,令α=c +c 2-42,当2<c ≤103时,a n <α≤3. 当c >103时,α>3,且1≤a n <α, 于是α-a n +1=1a n α(α-a n )<13(α-a n )<132(α-a n -1)<…<13n (α-1). 所以α-a n +1<13n (α-1),当n >log 3α-1α-3时,α-a n +1<α-3,a n +1>3,与已知矛盾. 因此c >103不符合要求. 所以c 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤2,103.17.已知在正项数列{a n }中,对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n -a n +1成立. (1)证明:数列{a n }中的任意一项都小于1;(2)探究a n 与1n的大小,并证明你的结论.证明 (1)由a 2n ≤a n -a n +1,得a n +1≤a n -a 2n .因为在数列{a n }中,a n >0, 所以a n +1>0.所以a n -a 2n >0. 所以0<a n <1.故数列{a n }中的任意一项都小于1.(2)由(1)知0<a n <1=11,那么a 2≤a 1-a 21=-⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-122+14≤14<12, 由此猜想:a n <1n(n ≥2),下面用数学归纳法证明:①当n =2时,显然成立;②当n =k 时(k ≥2,k ∈N )时,假设猜想正确, 即a k <1k ≤12,那么a k +1≤a k -a 2k =-⎝ ⎛⎭⎪⎫a k -122+14<-⎝ ⎛⎭⎪⎫1k -122+14=1k -1k2=k -1k 2<k -1k 2-1=1k +1,故当n =k +1时,猜想也正确. 综上所述,对于一切n ∈N *,都有a n <1n.18. 设函数y =f(x),对任意实数x ,y 都有f(x +y)=f(x)+f(y)+2xy. (1)求f(0)的值;(2)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值;(3)在(2)的条件下,猜想f(n)(n∈N *)的表达式并用数学归纳法证明. 【解题指南】(1)令x ,y 均为0可得f(0); (2)利用递推条件可得f(2),f(3),f(4);(3)证明时要利用n =k 时的假设及已知条件进行等式转化.【解析】(1)令x =y =0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0,得f(0)=0. (2)由f(1)=1,得f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=4. f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+2×2×1=9. f(4)=f(3+1)=f(3)+f(1)+2×3×1=16.(3)由(2)可猜想f(n)=n2,用数学归纳法证明:(i)当n=1时,f(1)=12=1显然成立.(ii)假设当n=k时,命题成立,即f(k)=k2,则当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+f(1)+2×k×1=k2+1+2k=(k+1)2,故当n=k+1时命题也成立,由(i),(ii)可得,对一切n∈N*都有f(n)=n2成立.。