碳纤维布加固混凝土梁截面刚度计算摘要:本文对碳纤维布加固钢筋混凝土梁的刚度进行了研究，针对钢筋是否屈服的两种不同情况，分别讨论碳纤维布加固后梁的刚度的计算公式。

采用解析分析方法，较系统地建立了碳纤维布加固混凝土梁各种受力状态的截面刚度的简化计算公式。

该公式与《碳纤维片材加固混凝土结构技术规程》相配套，有利完善加固工程设计。

关键词:碳纤维布；混凝土梁刚度；变形条件；本构关系0 引言碳纤维布加固混凝土梁在结构工程加固应用中己极为广泛，相应的试验研究成果也比较多，目前国内外对碳纤维布加固混凝土梁的承载能力研究已比较成熟，对裂缝、变形和刚度等也有许多试验资料。

在我国《混凝土结构设计规范》中对普通混凝土梁的刚度的计算方法进行了规定，规定对等截面构件在钢筋屈服前用最大弯矩处的刚度进行计算。

但是，对用碳纤维布加固的梁其刚度的提高主要是在钢筋屈服后。

由于屈服前后构件的截面承载力性能是不同的，因此本文在参照《混凝土结构设计规范》中普通混凝土梁刚度计算方法的基础上，研究了碳纤维布加固后梁的刚度。

1 基本假设1．混凝土应力—应变关系采用《混凝土结构设计规范》中推荐的混凝土应力—应变设计曲线。

2．钢筋的应力—应变关系为经典的弹塑性关系。

3．碳纤维布直到破坏前都保持为线性。

4．混凝土开裂前截面惯性矩为整个截面的换算惯性矩I0，而且在开裂前截面的刚度保持不变。

5．碳纤维布满跨粘贴，在支座处截断，忽略未加固的支座处的额外的变形。

6．碳纤维布和混凝土梁之间为完全粘结，不考虑碳纤维布和混凝土之间的粘结滑移。

2加固梁的刚度大量试验证明，用碳纤维布加固的梁，当荷载小于屈服荷载的时候，其刚度呈下凸曲线规律单调递减，与未加固梁的刚度变化规律极其相似；钢筋屈服后，则随着碳纤维布加固层数的增加，其刚度退化越来越缓慢，构件在屈服后仍然能维持一定的刚度继续承载，直到碳纤维布突然拉断或者混凝土突然压碎，而且碳纤维布的加固层数越多，刚度的提高越明显。

大量的研究证明，碳纤维布加固混凝土梁的截面刚度随着弯矩值的增大而减小，但是在各个阶段中，截面的刚度变化并不显著，如图1所示。

杨勇新、岳清瑞等对用碳纤维布加固后梁的刚度进行了理论研究，但是在他们的分析过程中钢筋没有屈服，是通过将得到的公式中的参数利用试验数据进行统计分析得到的，且得到的为二次曲线的形式，在工程中应用起来不方便。

本文在参考其分析过程的基础上，考虑了采用碳纤维布加固的梁在钢筋屈服前后两种不同情况下的刚度计算，并且由于混凝土达到峰值应变前后的图形完整系数和受压变形塑性系数的表达式是不同的，因此，将整个计算刚度的过程分为四个部分。

第一部分，混凝土开裂前：混凝土开裂前，整个梁都处于弹性阶段，利用弹性理论计算梁的刚度，00.85C B E I =⨯ （1）其中，E c 为混凝土的弹性模量，0.85为折减系数，I 0为换算截面惯性矩。

将构件和碳纤维布的弹性模量按照与混凝土弹性模量的比值进行换算得到惯性矩，()()()()b s S cf cf I h A h A h χχαχαχ0⎡⎤=⨯⨯+-+-⨯⨯-+⨯-⎣⎦22330000113（2） ()()2001b 12b 1cf cf s S s S cf cfh A h A h h A A ααχαα⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯=⨯+-⨯+⨯ （3）上面各个表达式中各参数的含意分别为,0cfcf E E α= ,0s s E E α=, cf E 为碳纤维布的弹性模量，s E 为钢筋的弹性模量，0E 为混凝土的弹性模量，cf A 为碳纤维布的横截面积，S A 为钢筋截面积，b 为梁的宽度，h 为梁的高度。

第二部分，混凝土开裂至钢筋发生屈服：混凝土开裂后退出工作，钢筋和碳纤维布的应力突然增加。

以此阶段裂缝截面为研究对象，在这个平面上满足三个条件：变形条件、本构关系和平衡条件。

变形条件：由平截面假定，截面的平均曲率可以表示为：01cf c cf c s h h h εεεεεϕρχχχ+=====-- （4） 碳纤维布的平均应变cf ε为：cf cf εψε= （5）钢筋的平均应变s ε为：s s εψε= （6）混凝土的平均应变c ε为：c c εε= （7）本构关系：在本阶段，裂缝处受压区混凝土、钢筋和碳纤维布的应力分别按照下式进行计算：c c c c c E E σενεν=⨯⨯=⨯⨯（8） /cf cf cf cf cf E E σεεψ=⨯=⨯ （9）其中，ν为混凝土的受压变形塑性系数：()200/,0.002,0.0020.0033c c c c c c c c f E f E εεενενεε⎧⨯2/-⎪=≤⎪⎨⎪=<≤⎪⨯⎩（10） ψ为钢筋和碳纤维布的不均匀系数，通过下式进行计算：0.651.1 1.10.5b crc s s M f A M hψσ⨯⎛⎫=⨯1-=- ⎪⎝⎭⨯⨯⨯ （11） 可以看出：构件刚开裂时，钢筋不均匀系数ψ最小，随着弯矩的增大，ψ值渐增，达到屈服弯矩后钢筋屈服，ψ值接近于1.0。

由于碳纤维布的作用为约束混凝土与钢筋的变形，因此可以认为裂缝处碳纤维和混凝土变形的不均匀程度相当，即碳纤维布的不均匀系数也取为ψ，对于混凝土的不均匀系数，因为混凝土发生破坏的时候应变比较小，因此取1.0。

由平截面假定可以得到碳纤维布应力和钢筋应力之间的关系： 0s s cf cf h E h E ψσσψ⨯⨯=⨯⨯⨯ （12） 平衡条件：裂缝截面混凝土的拉应力为零，裂缝截面的应力分布如图2所示，建立截面的力的平衡方程，对受压混凝土的合力中心取矩：()()0s s cf cf M A h Y A h Y σχσχ=⨯⨯-++⨯⨯-+（13） 其中，002/31/4/11/3/c c Y εεχεε-⨯=⨯-⨯ （14） 对钢筋中心取矩：()0cf cf M C h Y A χσ=⨯-++⨯⨯α（15） 其中，20001b b 3c c c C εεσωχσχεε⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（16） 式(16)中的ω为受压区混凝土应力图形完整系数：0000/,0.00211/3//,0.0020.003311/3/c c c c c c εεωεεεεεωεεε2/3-1/6⨯⎧=≤⎪-⨯⎪⎨1-1/2⨯⎪=<≤⎪-⨯⎩（17） 由式（13）、（15）可求得cf σ、cf ε、c σ、c ε。

cf ε、c ε代入（4）式得：000000/1/3/1/311/3/11/3/1c c s s cf cf c c h E A h h E A h M B K εεεεχχεεεερ⎛⎫⎛⎫1/12⨯-1/12⨯-⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪-⨯-⨯⎝⎭⎝⎭==其中，K 称为截面刚度综合变化系数，它随着s s cf cf αραρ+的增大而逐渐增大，通过对刚度B 中的系数K 进行数学分析，并利用编程的方法，可以看出0000/1/311/3/c c h h εεχεε1/12⨯-+⨯-⨯、00/1/311/3/c c h h εεχεε1/12⨯-+⨯-⨯围绕0.9上下浮动，变化不是很大，故取其为0.9，同理0h χνω⨯⨯取为0. 0015。

这样钢筋屈服前用碳纤维布加固后梁的刚度可以写为：220200.910.0015s s cf cf s s cf cf h E A h E A M B h h αραρρψ⨯⨯+⨯⨯==⨯⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭+ （18） 第三部分，钢筋屈服后：因为在混凝土达到峰值应变的前后，其受压变形塑性系数ν和应力图形完整系数的表达式不同。

因此将本阶段分为两个部分：I 混凝土应变小于峰值应变，II 混凝土应变大于峰值应变。

在这两个不同阶段有下面的区别：00002/31/4/,0.00211/3/1/21/12/,0.0020.003311/3/c c c c c c Y Y εεχεεεεεχεεε-⨯⎧=⨯≤⎪-⨯⎪⎨-⨯⎪=⨯<≤⎪-⨯⎩（19） ()200/,0.002,0.0020.0033c c c c c c c c f E f E εεενενεε⎧⨯2/-⎪=≤⎪⎨⎪=<≤⎪⨯⎩（20）变形条件：变形条件表达式同钢筋屈服前的式(4)、 (5)、(7)。

本构关系：混凝土和碳纤维的应力应变关系同钢筋屈服前的式(8)、(9)，只有钢筋的应力—应变关系发生了变化：s y σσ= （21）由平截面假定可以得到碳纤维布应变和混凝土应变之间的关系： cf c h χεεχ-=⨯ （22）平衡条件：裂缝截面混凝土的拉应力为零，裂缝截面的应力分布如图2所示，在此隔离体上力的平衡方程为，对受压混凝土的合力中心取矩：()()0y s cf cf M A h Y A h Y σχσχ=⨯⨯-++⨯⨯-+ （23）其中，Y 根据混凝土的受压应变情况，按照式（19）取值。

对受拉钢筋取矩：()0b c cf cf M h Y A σωχχσ=⨯⨯⨯⨯-++⨯⨯α （24）由式（23）、（24）可求得cf σ、cf ε、c σ、c ε。

cf ε、c ε代入（4）式得：()1cf cf h h Y E A M B Kχρ⨯-+⨯⨯== （25）其中，01s cf s s cf cf cf y s cf cf h K A h Y h A h Y σχααραρωνσσχχωνσχ⨯⨯+⨯+⨯⨯=⎛⎫⨯-+⨯⨯⨯⨯+ ⎪ ⎪⨯-+⎝⎭称为截面刚度综合变化系数，对刚度B 中的系数K 进行数学分析，并利用编程的方法，可以看出h Y hχ-+围绕0.9上下浮动，变化不是很大，故取其为0.9；0h Y h Y χχ-+-+取为0.83；因为混凝土是否达到峰值应变，其压区应力图形完整系数以及压区变形塑性系数是不同的，故在混凝土的应变小于峰值应变时hχων⨯⨯取0.11；混凝土应变介于峰值应变和极限应变时极限应变时h χων⨯⨯取0.06。

因此把钢筋屈服前后碳纤维布加固后梁的刚度系数写为取0.06。

因此把钢筋屈服前后碳纤维布加固后梁的刚度系数写为：0.11,0.0020.110.8310.06,,0.0020.00330.060.831y cf s cf cf cf c y s cf cf y cf s cf cf cf c y s cf cf K A A K A A σαραρσεσσσαραρσεσσ⎧⨯⨯+⨯+⎪⎪=≤⎪⎛⎫⨯⨯⨯+⎪ ⎪ ⎪⨯⎪⎝⎭⎨⎪⨯⨯+⨯+⎪=<≤⎪⎛⎫⨯⎪⨯⨯+ ⎪⎪ ⎪⨯⎝⎭⎩（26）在混凝土开裂前，碳纤维布加固梁的刚度与普通混凝土梁的刚度差别不大。

这是由于本阶段中梁受力还比较小，混凝土、钢筋和碳纤维布都处于弹性阶段，截面整体上表现出较好的弹性性质，碳纤维布与钢筋的作用完全相同，只是碳纤维布的约束使得截面的弹性性质较未加固梁更充分。