古希腊数学家
——丢番图
丢番图

丢番图（Dio-phantus of Alexandria， 大约公元226年——300年）是著名 的希腊数学家，他长期在亚历山大 做数学研究工作。由于在丢番图的 著作中，较少提及别的数学家，所 以我们很难从他的著作中，判断他 的准确生卒年份。 现在只是根据普 赛勒斯写过一封信，提到阿纳托利 厄斯（约公元280年）将他所著的 关于埃及计算方法的小册子献给丢 番图，因此两人应同时代或丢番图 为稍早些。据此断定丢番图的活跃 时期是公元250年前后。当时正是 亚历山大城辉煌的年代，有很多数 学新观念也是在那时形成的。 他被 后人称为“代数学之父”。
享年仅及其父之半， 便进入冰冷的墓。 悲伤只有用数论的研究去弥 补， 又过四年， 他也走完了人生的旅途。 用这样的方式记载了他享年 的秘密，即“丢番图的一生， 童年生活占1/6 ，再过1/12 他开始长胡子，再过1/7 他 结了婚，婚后 5 年生了一 个儿子。他的儿子比他早 4 年辞世，享年是他的1/2。
来源及影响
从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛， 这过渡时期没有留下什么数学典籍，所以现在的了解 是不够的．巴比伦人在代数方面(如二次方程、不定方 程)有很高的成就，丢番图的技巧和他们颇有相似之 处．例如S．甘兹(Gandz)指出，《算术》卷2第10题 (将已知数分为二个平方数之差)已在巴比伦的泥板上见 到．丢番图常满足于问题的解决(得到一个解)而不去追 求方程的全部解，《算术》与其说是代数教科书，不 如说是一本问题集，这些地方都和巴比伦数学相 仿．他的工作有时被说成是“盛开的巴比伦代数的花 朵”．
不管丢番图受到巴比伦人的多少影响，他毕竟大 大超越了前人，在数论和代数领域作出了杰出的贡 献，开辟了广阔的研究道路．如系统地使用了符号， 深入讨论了抽象的数而不是埃及、巴比伦数学中具 体的麦粒数目、田亩的面积或货币的单位．这是人 类思想上一次不寻常的飞跃，不过这种飞跃在早期 希腊数学中已出现。而丢番图的兴趣是求精确的有 理数解．在多方面显示出惊人的睿智和独创性．
代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未 知数，并对未知数加以运算，根据问题的条件列出 方程，然后解方程求出未知数。 《算术》也有未知数，这未知数一般就是问题的 答案，一切运算只允许对已知数来施行。在代数中 既然要对未知数加以运算，就需要用某种符号来表 示它。从引入未知数，创设未知数符号以及建立方 程的思想（虽然未有现代方程的形式）这几方面来 看，丢番图《算术》完全可以算得上是代数。当时 代数学没有专门的名称，algebra是9世纪花拉子米 以后才出现的名词，而且直到17世纪还没被欧洲人 普遍接受。
8，9世纪以后，丢番图的著作传到阿拉伯国家， 产生巨大的影响，出现多种翻译和注释本．如凯拉 吉的代数著作《发赫里》就直接引用《算术》前3卷 的若干题目．在欧洲，斐波那契的《算盘书》最早 载有丢番图类型的问题，他显然是通过阿拉伯文本 去熟悉丢番图的．近代数学家如费马、F．韦达、欧 拉、高斯等也都受到丢番图的许多启发，各自取得 巨大的成就．总而言之，丢番图的《算术》虽然有 许多不足之处，但瑕不掩瑜，它仍不失为一部承前 启后的划时代著作．
最早具有代数学特征的著作
希腊时代“算术”一词，主要指“数的理论”， 即相当于现在的“数论”。而数字的加、减、乘 、 除等运算则叫做“计算的技巧”，两者有明显的区别。 这种分法从毕达哥拉斯时代开始，一直延续到近代， 如高斯的数论名著就叫做《算术研究》（1801）。 丢番图《算术》是讲数论的，它讨论了一次、 二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。现 在对于具有整系数的不定方程，如果只考虑其整数解， 这类方程就叫做丢番图方程。它是数论的一个分支。 不过丢番图并不要求解答是整数而只要求是正有理 数 。从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代 数学的范围。
《算术》是丢番图最重要的著作，也是代数史上的一 部影响深远的著作。它在历史上影响之大可以和欧几 里得《几何原本》一比高下。这书的序中说，全书共 有13卷。保留至今天的只有6 卷。相传其余7 卷在10 世纪以前已经失传。5世纪时希帕提娅（Hypatia）注 释这部书，只注了6卷，这也许是其余各卷被人忽视 最终失传的原因。 丢番图在解题过程中使用了许多高超的技巧，可 以说在希腊数学中是独树一帜。有的数学史家说，如 果丢番图的著作不是用希腊文写的，人们就不会想到 这是希腊人的成果，因为看不出有古典希腊数学的风 格，从思想方法到整个科目结构都是全新的。如果没 有丢番图的工作，也许人们以为希腊人完全不懂代数。 有人甚至猜想他是希腊化了的巴比伦人。
丢番图的享年之谜






在《希腊诗文选》中，收录 了一个特别有趣的丢番图墓 志铭： 坟中安葬着丢番图， 多么令人惊讶， 它忠实地记录了所经历的道 路。 上帝给予的童年占六分之一， 又过十二分之一， 两颊长胡， 再过七分之一， 点燃起结婚的蜡烛。 五年之后天赐贵子， 可怜迟到的宁馨儿，
丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用,被 称作"代数学之父”. 丢番图的代表著作<算术>(Arithmetica)是一本 问题集(原书13卷现存10卷,包括了290个代数问题), 以不定方程的求解而著称.丢番图是第一个对不定方 程问题作广泛深入研究的数学家,现在常把求整系数 不定方程整数解的问题叫做”丢番图题”.<算术>的 另一个贡献是使用一套缩写符号来表示未知数,乘幂, 减号等等,开创了代数符号的先河. <算术>是一部划 代的著作,它在历史上影响之大,可和欧几里得的<几 何原本>相媲美.
在《算术》中，丢番图采用了一套数学符号来表 示未知量 ，他也是首位用符号来表示幂的数学家。丢 番图将这方面的成果冠以算术之名是很自然的。他被 后人称为“代数学之父”也是有一定道理的。 现存的《算术》以问题集的形式收录了290个题目， 其中希腊文本189个，阿拉伯文本101个，此外还有十 几个引理和推论，合起来共三百多个问题．大体上按 由易到难排列，但很难看得出是用什么标准来分类 的．解题的方法更是五花八门，没有一定的法则。数 学史家H．汉克尔说：“近代数学家研究了丢番图的 100个题后，去解101个题，仍然感到困难· · · 丢番图使 人眼花缭乱甚于使人欣喜”．这话稍嫌夸张，却抓住 了问题的要害．丢番图没有着力去探求一般性的解法， 或去深究丰富多采的解法之间的内在联系，这是《算 术》的最大缺点．
丢番图的著作
丢番图是代数学的创始人之一，对算术理论有深 入研究，他完全脱离了几何形式，在希腊数学中独 树一帜。 比较确切知道的是丢番图有两部著作，一是《算 术》，大部分保存了下来；另一个是《多角数》， 只有少部分留下来。另外在《算术》中几次提到过 的是《推论集》，可能是若干数论问题的独立汇编， 也可能是附属在《算术》中的失传部分。此外，伊 安布利霍斯（约公元250—约330年）所著《尼科马 霍斯〈算术〉评注》一书的注释者还提到丢番图的 另外一本书《分数算法》，是讨论有关分数计算方 法的，可惜已失传。
其他著作
丢番图的《多角数》只残存一部分，它证明的方 式纯粹是几何的，倒很接近古典希腊的风格，而和 《算术》迥然不同．多角数(polygonal number)是形 数(figurate number)的一种．用点子表示数，可以构 成各种平面或立体图形，这个数叫做形数． 多角数是一个古老的课题，源出于毕达哥拉斯， 后经菲利波斯(Philippos，公元前360年前后)、斯皮 尤西波斯(Speusippus，公元前340年前后)等人研究。 丢番图在《多角数》中加以引用并推广，还建立了其 他的公式。另一本著作《推论集》载有若干数论的引 理及推论，可以看作《算术》的一部分或补充．
人们认为《算术》是希腊数学的划时代杰作。 《算术》的核心内容是关于以代数手法解方程和不 定方程的研究。这里的方法不依赖于几何证明。关 于整系数方程的整数解的研究是当今数学的一个分 支。这一分支被称之为丢番图方程。寻找毕达哥拉 斯的三元组就是一个这样的例子。丢番图还使用了 介于文体和完全的符号代数之间的一种过渡性的代 数符号体系。阿拉伯数学家把《算术》翻译成了阿 拉伯语并加以广泛研究。
希腊数学自毕达哥拉斯学派后,兴趣中心在几何.他 们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的.为了逻辑 的严密性,代数也披上了几何的外衣.一切代数问题,甚 至简单的一次方程的求解,也都纳入了几何的模式之中. 直到丢番图,才把代数解放出来,摆脱了几何的羁绊.他 认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题,而 在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性,在希腊 数学中独树一帜。 例如，(a＋b) ² =a² +2ab＋b² 的关系，在欧几里得在丢番图《算术》中只是简单代数运算法则的必然 结果。