【课时训练】第33节 二元一次不等式(组)与简单的线性
规划问题
一、选择题
1．(江西七校质检)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤－x ＋1，y ≤x ＋1，
y ≥0，则3x ＋5y 的取值范
围是( )
A ．[－5,3]
B ．[3,5]
C ．[－3,3]
D ．[－3,5]
【答案】D
【解析】做出如图所示的可行域及l 0：3x ＋5y ＝0,平行移动l 0到l 1过点A (0,1)时,3x ＋5y 有最大值5,平行移动l 0至l 2过点B (－1,0)时,3x ＋5y 有最小值－3.故选D.
2．(济南模拟)已知变量x ,y
满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥1，x ＋y ≥1，
1＜x ≤a ，
目标函数z ＝x ＋2y
的最大值为10,则实数a 的值为( )
A ．2
B ．8
3 C ．
4 D ．8
【答案】C
【解析】依据线性约束条件做出可行域如图中阴影部分所示,当目标函数经过点A (a ,a －1)时取得最大值10,所以a ＋2(a －1)＝10,解得a ＝4.故选C.
3．(四川绵阳二诊)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于
( )
A.32
B ．23
C ．43
D ．34
【答案】C
【解析】做出平面区域如图中阴影部分所示．
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4，解得A (1,1)．易得B (0,4),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43,|BC |＝4－43＝83. ∴S △ABC ＝12×83×1＝43.
4．(安徽蚌埠二模)实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥a ，y ≥x ，
x ＋y ≤2，(a ＜1)且z ＝2x ＋y 的最大值是
最小值的4倍,则a 的值是( )
A.2
11
B ．14
C
．12 D ．11
2
【答案】B
【解析】做出不等式组表示的可行域的大致图形如图中阴影部分所示,平移直线2x ＋y ＝0,可知在点A (a ,a )处z 取最小值,即z m i n ＝3a ,在点B (1,1)处z 取最大值,即z m a x ＝3,所以12a ＝3,即a ＝1
4.
5．(江苏南京模拟)已知点P
的坐标(x ,y )满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤4，y ≥x ，
x ≥1，
过点P 的直线l
与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ,B 两点,则|AB |的最小值是( )
A ．2 6
B ．4
C ． 6
D ．2
【答案】B
【解析】根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示．设点P 到圆心的距离为d ,则求最短弦长等价于求到圆心距离d 最大的点,即为图中的P 点,其坐标为(1,3),则d ＝1＋32＝10,此时|AB |m i n ＝214－10＝4.故选B.
6．(沈阳质量监测)实数x ,y
满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤2x ＋2，x ＋y －2≥0，
x ≤2，
则z ＝|x －y |的最大值是
( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】B
【解析】依题意画出可行域如图中阴影部分所示．令m ＝y －x ,则m 为直线l ：y ＝x ＋m 在y 轴上的截距,由图知在点A (2,6)处m 取最大值4,在C (2,0)处取最小值－2,所以m ∈[－2,4],所以z 的最大值是4.故选B.
7．(烟台模拟)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，
3x ＋y －8≤0所
表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( )
A ．2
B ．1
C ．－
1
3 D ．－12
【答案】C
【解析】如图所示,⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，
3x ＋y －8≤0
所表示的平面区域为图中的阴影部分．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0
得A (3,－1)． 当点M 与A 重合时,OM 的斜率最小,k OM ＝－1
3.故选C. 8．(河南八市质检)已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥2，x ＋y ≤4，
－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z ＝
6x ＋2y 的最小值是10,则z 的最大值是( )
A ．20
B ．22
C ．24
D ．26
【答案】A
【解析】由z ＝6x ＋2y ,得y ＝－3x ＋z
2,做出不等式组所表示的可行域的大致图形如图中阴影部分所示,由图可知当直线y ＝－3x ＋z
2经过点C 时,直线的纵截
距最小,即z ＝6x ＋2y 取得最小值10,由⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋2y ＝10，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝－1，
将其代入
直线－2x ＋y ＋c ＝0,得c ＝5,即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0,平移直线3x ＋y ＝0,当
直线经过点D 时,直线的纵截距最大,此时z 取最大值,由⎩⎪⎨⎪⎧
－2x ＋y ＋5＝0，
x ＋y ＝4，得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝1，
即D (3,1),将点D 的坐标代入直线z ＝6x ＋2y ,得z m a x ＝6×3＋2＝20.故选A.
9．(吉安质检)若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
y ≤2，|x |－y ＋1≤0，
则z ＝x ＋y
x －2的最小值为( )
A ．－2
B ．－3
C ．－4
D ．－5
【答案】B
【解析】做出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,目标函数z ＝x ＋y x
－2＝x －2＋y ＋2x －2＝1＋y ＋2x －2,设k ＝y ＋2
x －2
,则k 的几何意义为区域内的点与定点D (2,－2)连线的斜率,数形结合可知,直线AD 的斜率最小,由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2，x －y ＋1＝0，得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝2，
即A (1,2),此时直线AD 的斜率k AD ＝2＋2
1－2＝－4,则z m i n ＝1＋k AD ＝1－4
＝－3.故选B.
10．(贵阳监测)已知O 是坐标原点,点A 的坐标为(－1,2)．若点M (x ,y )为平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥2，x ≤1，
y ≤2
上的一个动点,则OA →·OM →
的取值范围是( )
A ．[－1,0]
B ．[0,1]
C ．[1,3]
D ．[1,4]
【答案】D
【解析】做出点M (x ,y )满足的平面区域,如图中阴影部分所示,易知当点M 在点C (0,2)时,OA →·OM →取得最大值,即为(－1)×0＋2×2＝4,当点M 在点B (1,1)时,OA →·OM →取得最小值,即为(－1)×1＋2×1＝1,所以OA →·OM →的取值范围为[1,4]．故选D.
二、填空题
11．(河北唐山摸底)已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，
y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －
4y ＋8的最小值为________．
【答案】9
2
【解析】目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2,其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ,y 所满足的不等式组做出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值,又|2＋2－1|2
＝3 22,所以w m i n ＝92.
12．(石家庄模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≥0，y ≤kx ＋3，
0≤x ≤3表示的平面区域为一个锐角三
角形及其内部,则实数k 的取值范围是________．
【答案】(0,1)
【解析】直线y ＝kx ＋3恒过定点(0,3)．做出可行域如下图阴影部分所示,要使可行域为一个锐角三角形及其内部,需要直线y ＝kx ＋3的斜率在0与1之间,即k ∈(0,1)．
三、解答题
13．(安徽淮南一模)画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3表示的平面区域,并回答
下列问题：
(1)指出x ,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点． 【解】(1)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3
表示的平面区域如图所示．
结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－52，3, y ∈[－3,8]．
(2)由图形及不等式组知
⎩⎨⎧
－x ≤y ≤x ＋5，
－5
2≤x ≤3，且x ∈Z ，
当x＝3时,－3≤y≤8,有12个整点;
当x＝2时,－2≤y≤7,有10个整点;
当x＝1时,－1≤y≤6,有8个整点;
当x＝0时,0≤y≤5,有6个整点;
当x＝－1时,1≤y≤4,有4个整点;
当x＝－2时,2≤y≤3,有2个整点;
∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．。