第6章 第5节 课时作业一、选择题1．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d”；③“若a ，b ∈R ，则a －b>0⇒a>b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】 ①②正确，③错误，因为复数不能比较大小，如a ＝5＋6i ，b ＝4＋6i ，虽然满足a －b ＝1>0，但复数a 与b 不能比较大小． 【答案】 C2．观察下列各式： 1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， …，可以得出的一般结论是( )A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n2B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1) 2C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n2D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2【解析】 可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…，故第n 个式子的第一个数是n ；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…，故第n 个式子中有2n －1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，…，第n 个式子应该是2n －1的平方，故可以得到n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.【答案】 B3．“三角函数是周期函数，y ＝tan x ，x ∈－π2，π2是三角函数，所以y ＝tan x ，x ∈－π2，π2是周期函数．”在以上演绎推理中，下列说法正确的是( ) A ．推理完全正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．推理形式不正确【解析】 y ＝tan x ，x ∈－π2，π2只是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，所以小前提错误，导致整个推理结论错误． 【答案】 C4．观察下列数表规律则从数2 012到2 013的箭头方向是( ) A ．2 012↑ B ．2 012→ C ．2 012↓ D ．2 012→【解析】 因上行偶数是首项为2，公差为4的等差数列．若2 012在下行，又因为在下行偶数的箭头为an→↓，故选C. 【答案】 C 5．(2011·江西高考)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49【解析】 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4.又因为2011＝4×502＋3，所以72011的末两位数字与73的末两位数字相同，故选B. 【答案】 B6．设⊕是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( ) A ．自然数集 B ．整数集 C ．有理数集 D ．无理数集【解析】 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除都不封闭． 【答案】 C 二、填空题7．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n 项积为Tn ，则T4， ________，________，T16T12成等比数列．【解析】 根据类比原理知该两空顺次应填T8T4，T12T8. 【答案】 T8T4 T12T88．(2013·商昌模拟)观察下列等式： 12＝1，12－22＝－3， 12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10， …由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n2＝________.【解析】 注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝＋2＝n2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n2＋n2. 【答案】 (－1)n ＋1n2＋n29．(2013·杭州模拟)设n 为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．【解析】 由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f(2n)≥n ＋22. 【答案】 f(2n)≥n ＋22 三、解答题10．已知O 是△ABC 内任意一点，连结AO 、BO 、CO 并延长交对边于A′，B′，C′，则OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC ＝1，请运用类比思想，对于空间中的四面体V －BCD ，存在什么类似的结论？并用体积法证明． 【解】 在四面体V －BCD 中，任取一点O ，连结VO 、DO 、BO 、CO 并延长分别交四个面于E 、F 、G 、H 点，则OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝1.证明：在四面体O －BCD 与V －BCD 中： OE VE ＝h1h ＝13S △BCD·h113S △BCD·h ＝VO －BCD VV －BCD同理有：OF DF ＝VO －VBC VD －VBC ；OG BG ＝VO －VCD VB －VCD ；OH CH ＝VO －VBDVC －VBD ， ∴OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝VO －BCD ＋VO －VBC ＋VO －VCD ＋VO －VBD VV －BCD ＝VV －BCDVV －BCD＝1.11．(2013·滨州模拟)设f(x)＝13x ＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．【解】 f(0)＋f(1)＝130＋3＋13＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33.同理f(－1)＋f(2)＝33， f(－2)＋f(3)＝33.由此猜想：当x1＋x2＝1时， f(x1)＋f(x2)＝33.证明：设x1＋x2＝1，则f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝＋3＋＋3＋3＋3＝3x1＋3x2＋233x1＋x2＋3＋＋3＝3x1＋3x2＋233＋＋2×3＝3x1＋3x2＋233＋3x2＋23＝33.故猜想成立．12．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an ＋1＝(1＋q)an －qan －1(n≥2，q≠0)． (1)设bn ＝an ＋1－an(n ∈N*)，证明{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈N*，an 是an ＋3与an ＋6的等差中项．【解】 (1)由题设an ＋1＝(1＋q)an －qan －1(n≥2，q≠0)，得an ＋1－an ＝q(an －an －1)，即bn ＝qbn －1(n≥2，q≠0)．又b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q 的等比数列． (2)由(1)，a2－a1＝1， a3－a2＝q ， …an －an －1＝qn －2(n≥2)．将以上各式相加，得an －a1＝1＋q ＋…＋qn －2(n≥2)， 所以当n≥2时，an ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1－qn －11－q ，q≠1，n ，q ＝1.上式对n ＝1显然成立．(3)由(2)，当q ＝1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1. 由a3－a6＝a9－a3可得q5－q2＝q2－q8， 由q≠0得，q3－1＝1－q6① 整理得(q3) 2＋q3－2＝0，解得q3＝－2或q3＝1(舍去)，于是q ＝－32，另一方面，an －an ＋3＝qn ＋2－qn －11－q ＝qn －11－q (q3－1)＝3·qn －1q －1，an ＋6－an ＝qn －1－qn ＋51－q ＝qn －11－q (1－q6)＝3·qn －1q －1.由①可得an －an ＋3＝an ＋6－an ，n ∈N*，所以对任意的n ∈N*，an 是an ＋3与an ＋6的等差中项． 四、选做题13．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成．小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n ＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式； (3)求1＋1－1＋1－1＋…＋1－1的值．【解】 (1)f(5)＝41. (2)f(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， ……由上式规律，得f(n ＋1)－f(n)＝4n ， ∴f(n ＋1)＝f(n)＋4n.上述各式相加得f(n)＝f(1)＋4[1＋2＋3＋…＋(n －1)] ＝1＋4＋n －－2∴f(n)＝2n(n －1)＋1.(3)当n≥2时，1－1＝1－＝121n －1－1n . 所以1＋1－1＋1－1＋…＋1－1＝1＋121－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋121－1n ＝32－12n .。