2014年高考理科数学新课标1卷解析版一、选择题（题型注释）1．已知集合{}{}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B A （ ）A ．]1,2[--B ． )2,1[- C.．]1,1[- D ．)2,1[ 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，{1A x x =≤-或}3x ≥，故{}21AB x x =-≤≤-，选A ．【考点定位】1、一元二次不等式解法；2、集合的运算．2．=-+23)1()1(i i （ ） A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --1 【答案】D 【解析】试题分析：由已知得=-+23)1()1(i i 22(1)(1)2(1)1(1)2i i i i i i i+++==----． 【考点定位】复数的运算．3．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．)()(x g x f 是偶函数B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 C.．|)(|)(x g x f 是奇函数 D ．|)()(|x g x f 是奇函数 【答案】C【解析】试题分析：设()()()H x f x g x =，则()()()H x f x g x -=--，因为)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，故()()()()H x f x g x H x -=-=-，即|)(|)(x g x f 是奇函数，选C ． 【考点定位】函数的奇偶性．4．已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A. 3B. 3C. m 3D. m 3 【答案】A【解析】试题分析：由已知得，双曲线C 的标准方程为22133x y m -=．则233c m =+，c =设一个焦点(33,0)F m +，一条渐近线l 的方程为313y x x m m==，即0x m y -=，所以焦点F 到渐近线l 的距离为3331m d m +==+，选A ． 【考点定位】1、双曲线的标准方程和简单几何性质；2、点到直线的距离公式．5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A ．81 B ．83 C ．85 D ．87 【答案】D 【解析】试题分析：由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有12428C A =种不同的结果；（2）周六、日各2人，有246C =种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有8614+=种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为147168=，选D ． 【考点定位】1、排列和组合；2、古典概型的概率计算公式．6．如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）POAM【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，当02x π≤≤时，在Rt OPM ∆中，cos cos OM OP x x ==．在Rt OMD ∆中，MD =sin OM x 1cos sin sin 22x x x ==；当2x ππ<≤时，在Rt OPM ∆中，cos()cos OM OP x x π=-=-，在Rt OMD ∆中，MD =sin()OM x π-1cos sin sin 22x x x =-=-，所以当0x π≤≤时，()y f x =的图象大致为C ．P OAMD POAM D【考点定位】１．解直角三角形；2、三角函数的图象．7．执行右面的程序框图，若输入的k b a ,,分别为1，2，3，则输出的M=（ ）A.320 B.27 C.516 D.815 【答案】D 【解析】试题分析：程序在执行过程中，1,2,3a b k ===，1n =；1331,2,b ,2222M a n =+====； 28382,,b ,33323M a n =+====；3315815,,b ,428838M a n =+====，程序结束，输出158M =．【考点定位】程序框图．8．设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） （A ） 32παβ-= （B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=【答案】C【解析】试题分析：由已知得，sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，去分母得，sin cos cos cos sin αβααβ=+，所以sin cos cos sin cos αβαβα-=，sin()cos sin()2παβαα-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，即22παβ-=，选C ．【考点定位】1、和角的正弦公式；2、同角三角函数基本关系式；3、诱导公式． 9．不等式组1,24,x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D,有下面四个命题：1:(x,y)D,x 2y 2p ∀∈+≥-， 2:(x,y)D,x 2y 2p ∃∈+≥， 3:(x,y)D,x 2y 3p ∀∈+≤ 4:(x,y)D,x 2y 1p ∃∈+≤-，其中的真命题是（ ）A ．23,p pB ．12,p pC ．13,p pD ．14,p p 【答案】B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，设2x y z +=，则1y x 22z=-+，当直线l 过点(2,1)A -时，z 取到最小值，min 22(1)0z =+⨯-=，故2x y +的取值范围为20x y +≥，所以正确的命题是12,p p ，选B ．【考点定位】1、线性规划；2、存在量词和全称量词．10．已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=，则=QF （ ） A.27 B. 3 C. 25D. 2 【答案】B 【解析】试题分析：如图所示，因为FQ PF 4=，故34PQ PF=，过点Q 作QM l ⊥，垂足为M ，则//QM x 轴，所以344MQ PQ PF ==，所以3MQ =，由抛物线定义知，3QF MQ ==，选B ．【考点定位】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线．11．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．(),2-∞-D ．(),1-∞- 【答案】C 【解析】试题分析：当0a =时，2()31f x x =-+，函数()f x 有两个零点3和3-，不满足题意，舍去；当0a >时，'2()36f x ax x =-，令'()0f x =，得0x =或2x a =．(,0)x ∈-∞时，'()0f x >；2(0,)x a ∈时，'()0f x <；2(,)x a∈+∞时，'()0f x >，且(0)0f >，此时在(,0)x ∈-∞必有零点，故不满足题意，舍去；当0a <时，2(,)x a∈-∞时，'()0f x <；2(,0)x a∈时，'()0f x >；(0,)x ∈+∞时，'()0f x <，且(0)0f >，要使得()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，只需2()0f a>，即24a >，则2a <-，选C ．考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性． 12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）（A ）2 （B ）6 （C ）62 （D ）4【答案】Ｂ 【解析】 试题分析：由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，故可考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究，如图所示，该四面体为D ABC -，且4AB BC ==,42AC =25DB DC ==2(42)46DA =+=，故最长的棱长为6，选B ．CABD【考点定位】三视图．二、双选题（题型注释）三、判断题（题型注释）四、连线题（题型注释）五、填空题（题型注释）13．()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）【答案】20- 【解析】试题分析：由题意，8()x y +展开式通项为8k k18C y k k T x -+=，08k ≤≤．当7k =时，777888T C xy xy ==；当6k =时，626267828T C x y x y ==，故()()8x y x y -+的展开式中27x y 项为726278(y)2820x xy x y x y ⋅+-⋅=-，系数为20-． 【考点定位】二项式定理．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市.丙说：我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为__________ 【答案】A 【解析】试题分析：由丙说可知，乙至少去过A,B,C 中的一个城市，由甲说可知，甲去过A,C 且比乙去过的城市多，故乙只去过一个城市，且没去过C 城市，故乙只去过A 城市． 【考点定位】推理．15．已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()AC AB AO +=21，则AB 与AC 的夹角为_______． 【答案】090． 【解析】试题分析：由1+2AO AB AC =（），故,,O B C 三点共线，且O 是线段BC 中点，故BC 是圆O 的直径，从而090BAC ∠=，因此AB 与AC 的夹角为090 【考点定位】1、平面向量基本定理；2、圆的性质．16．已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________．【解析】试题分析：由2=a ，且()Cb c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，故(a b)(sinA sinB)(c b)sinC +-=-，又根据正弦定理，得(a b)()(c b)a b c +-=-，化简得，222b c a bc +-=，故222b c a 1cosA 2bc 2+-==，所以0A 60=，又22b c 4bc bc +-=≥，故1S bcsinA 2BAC ∆=≤． 【考点定位】1、正弦定理和余弦定理；2、三角形的面积公式．六、综合题（题型注释）七、探究题（题型注释）八、解答题 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数， （I ）证明：2n n a a λ+-=；（II ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 【答案】（I ）详见解析；（II ）存在，4λ=. 【解析】试题分析：（I ）对于含,n n a S 递推式的处理，往往可转换为关于项n a 的递推式或关于n S 的递推式．结合结论，该题需要转换为项n a 的递推式．故由11n n n a a S λ+=-得1211n n n a a S λ+++=-．两式相减得结论；（II ）对于存在性问题，可先探求参数的值再证明．本题由11a =，21a λ=-，31a λ=+，列方程得2132a a a =+，从而求出4λ=．得24n n a a +-=，故数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列．分别求通项公式，进而求数列{}n a 的通项公式，再证明等差数列．试题解析：（I ）由题设，11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-．两式相减得，121()n n n n a a a a λ+++-=．由于10n a +≠，所以2n n a a λ+-=．（II ）由题设，11a =，1211a a S λ=-，可得21a λ=-，由（I ）知，31a λ=+．令2132a a a =+，解得4λ=．故24n n a a +-=，由此可得，{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，211(n 1)443n a n -=+-⋅=-；{}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，23(n 1)441n a n =+-⋅=-．所以21n a n =-，12n n a a +-=． 因此存在4λ=，使得{}n a 为等差数列．【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列． 18．（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX . 15012.2≈ 若()2~,Z N μσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=。