简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
（6）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
要点2：常见的相似三角形的解题思路：（1）、深刻理解并掌握“平行截比例”、“平行截相似”、“比例出平行”等平行与相似的关系；（2）、增强识图能力，能够从已知图形中找出全部相似三角形，从中列出所需比例式；（3）、确定“中间比”，“中间积”，方法是找到两组有联系的比例式或两对相似三角形；（4）、准确完成等积式与比例式的互化，并可以依据图形变化比例式；（5）、没有平行怎么办？运用相似三角形的判定定理，或添加平行线；（6）、一对相似三角形可写出一个连比例，应择需而用或同时运用；（7）、添辅助线要能够达到“一线两相似”，“一线两比例”并能与其它知识兼顾，这是辅助线特征“一举两得”在相似形中的体现；（8）、熟悉下图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形四、【相似三角形的性质】要点1：相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例要点2：相似三角形的性质定理：相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方要点3：知识架构图相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长、面积等。
典型例题分析一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE ∽△ABC例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
周长之比等于相似比 相似三角形的性质对应角相等、对应边成比例 面积之比等于相似比的平方对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比．A BCDEF G1234ABCD AB CD EFK二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ， 求证：DF •AC=BC •FE例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。
求证：（1）MA 2=MD •ME ；（2）MDMEAD AE =22例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。
三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31==AD AF AB EB 。
求证：∠AEF=∠FBD例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线，求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FGABCDEM12ABCDE FABCDS PR Q OABC DEFABCDF G E ABCDE FG例12、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF三、巩固与练习一、填空题：1. 已知a ba b+-=2295，则a b：=__________2. 若三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，则其余两边之和是__________cm3. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6，则DE=_____；△ADE与△ABC的面积之比为题3 题7 题84. 已知线段a=4cm，b=9cm，则线段a、b的比例中项c为__________cm。
5. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=__________6. 已知三个数1，2，3，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是__________7. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则EF=__________8. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：__________二、选择题：1. 如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是__________A. 9：16B. 3：2C. 3：4D. 3：72.在比例尺为1:m的某市地图上，规划出长a厘米宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是__________米2A.104mabB.1042mabC.abm104D.abm24103. 已知，如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论：AB CDEF O123题3 题4 题5①AEECBEFC=②ADBFABBC=③EFABDEBC=④CECFEABF=其中正确的比例式的个数是__________A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是__________A. 16B. 14C. 16或14D. 16或95. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是__________A. △AED∽△ACBB. △AEB∽△ACDC. △BAE∽△ACED. △AEC∽△DAC三、解答题：1. 如图，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的长。
2. 如图，△ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD，∠B=75°，∠CDB=60°，求证：△ABC∽△CBD。
4. 如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE·AD=16，AB=45。
（1）求证：CE=EF。
（2）求EG的长。
5. 如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式错误的是：____________.AD AE A AB AC = .CE EA B CF FB = .DE AD C BC BD = .EF CFD AB CB=6. 如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，BP CD ABC ==123，，求△的边长7. 如图：四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 都是边长为a 的正方形，（1）求证：△AEF ∽△CEA 。
（2）求证：∠AFB+∠ACB=45°。
8. 已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，EF 经过点O 且和两底平行，交AB 于E ，交CD 于F 。
求证：OE=OF 。
9. 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
求证：AE AF ACAB=10. 如图，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD=∠B ，若AD=6，AB=8，BD=7，求DC 的长。
（答案）例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以△AGD ∽△EGC 。
再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。
例2分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一种常用的方法。
证明：∵∠A=36°，△ABC 是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD 平分∠ABC ，则∠DBC=36° 在△ABC 和△BCD 中，∠C 为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC ∽△BCD例3分析： 由已知条件∠ABD=∠CBE ，∠DBC 公用。
所以∠DBE=∠ABC ，要证的△DBE 和△ABC ，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。
从已知条件中可看到△CBE ∽△ABD ，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。
证明：在△CBE 和△ABD 中，∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD ∴△CBE ∽△ABD ∴BC AB =BE BD 即：BC BE =ABBD△DBE 和△ABC 中，∠CBE=∠ABD, ∠DBC 公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC ∴∠DBE=∠ABC 且BC BE =ABBD∴△DBE ∽△ABC例4分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形11. 如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ，求证：AG 2=AF ·FC 。
12.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH ⊥AB 于点H ，BH=3AH ，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。