上海市卢湾区2009年高考模拟考试数学试卷(文科) 2009. 04说明:本试卷满分150分,考试时间120分钟。
本套试卷另附答题纸,每道题的解答必.须写在答题纸的相应位置,本卷上任何解答都不作评分依据..........................。
一、填空题(本大题满分55分)本大题共有11小题,要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分,填错或不填在正确的位置一律得零分.1.若集合2214x A x y ⎧⎫⎪⎪=-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则A =R ð . 2.不等式120010321x x x +-≥的解为 . 3.设f x ()的反函数为1()f x -,若函数f x ()的图像过点(1,2),且1211f x ()-+=, 则 x = .4.若11i z =+,2i z a =-,其中i 为虚数单位,且12z z ⋅∈R ,则实数a = .5.二项式6x ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为 .6.若点00(,)M x y 是圆222x y r +=内异于圆心的点,则直线 200x x y y r +=与该圆的位置关系是 .7.若x 、y 满足320x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩………,则68z x y =+的最大值是 .8.右图给出的是计算201614121++++ 的值的一个框图, 其中菱形判断框内应填入的条件是 .9.在ABC ∆中,设角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,若222b c a +=, 且a =, 则C ∠= .10.若函数2()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭能使得不等式2|()|f x m -<<在区间203π⎛⎫⎪⎝⎭,上恒成立,则实数m 的取值范围是 . (第8题)11.在平面直角坐标系中,若O 为坐标原点,则A 、B 、C 三点在同一直线上的充要条件为存在惟一的实数λ,使得(1)OC OA OB λλ=⋅+-⋅成立,此时称实数λ为“向量OC 关于OA 和OB 的终点共线分解系数”.若已知1(3,1)P 、2(1,3)P -,且向量3OP 是直线:100l x y -+=的法向量,则“向量3OP 关于1OP 和2OP的终点共线分解系数”为 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分,不选、选错或选出的代号超过一个,或者没有填写在题号对应的空格内,一律得零分.12.若m 、n 为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则以下命题正确的是( )A .若//m α,n αÜ,则//m n ;B .若//m n ,m α⊥,则n α⊥;C .若//m α,//n α,则//m n ;D .若m αβ=,m n ⊥,则n α⊥.13.若函数()f x =53,42θππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,(sin 2)(sin 2)f f θθ--可化简为 ( )A .2sin θ;B .2cos θ-;C .2sin θ-;D .2cos θ. 14.设数列{}n a 的前n 项之和为n S ,若21(3)12n n S a =+(N n *∈),则{}n a ( ) A .是等差数列,但不是等比数列; B .是等比数列,但不是等差数列; C .是等差数列,或是等比数列; D .可以既不是等比数列,也不是等差数列.15.关于函数131()22x x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭和实数m 、n 的下列结论中正确的是 ( )A .若3m n -<…,则()()f m f n <;B .若0m n <…,则()()f m f n <;C .若()()f m f n <,则22m n <;D .若()()f m f n <,则33m n <.三、解答题(本大题满分75分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.16. (本题满分12分,第1小题4分,第2小题8分)如图,已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上,AB 为圆O 的直径.(1)求证:1BP A P ⊥;(2)若圆柱1OO 的体积V 为12π,2OA =,1A 1A(第16题)120AOP ∠=︒,求异面直线1A B 与AP 所成的角(用反三角函数值表示结果).17. (本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)袋中有8个仅颜色不同,其它都相同的球,其中1个为黑球,3个为白球,4个为红球. (1)若从袋中一次摸出2个球,求所摸出的2个球恰为异色球的概率;(2)若从袋中一次摸出3个球,求所摸得的3球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数的不同摸法的种数.18. (本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)已知数列{}n a 的前n 项和为n A ,且对任意正整数n ,都满足:1n n ta A -=,其中1t >为实数.(1)求数列n a {}的通项公式;(2)若n b 为杨辉三角第n 行中所有数的和,即01nn n n nb C C C =+++,n B 为杨辉三角前n 行中所有数的和,亦即为数列{}n b 的前n 项和,求lim nn nA B →∞的值.19.(本题满分17分,第1小题6分,第2小题11分) 已知函数1()|21|x f x -=-,()R x ∈.(1)证明:函数()f x 在区间(1,)+∞上为增函数,并指出函数()f x 在区间(),1-∞上的单调性;(2)若函数()f x 的图像与直线y t =有两个不同的交点(,)A m t ,(,)B n t ,其中m n <,求m n +的取值范围.20. (本题满分18分,第1小题4分,第2小题5分,第3小题9分) 如图,已知点(3,0)H -,动点P 在y 轴上,点Q 在x 轴上,其横坐标不小于零,点M 在直线PQ 上, 且满足0HP PM ⋅=,32PM MQ =-. (1)当点P 在y 轴上移动时,求点M 的轨迹C ;(2)过定点(1,0)F作互相垂直的直线l与l',l与(1)中的轨迹C交于A、B两点,l'与(1)中的轨迹C交于D、E两点,求四边形ADBE 面积S的最小值;(3)将(1)中的曲线C推广为椭圆:2212xy+=,并将(2)中的定点取为焦点()1,0F,求与(2)相类似的问题的解.上海市卢湾区2009年高考模拟考试数学试卷参考答案与评分标准(文科) 2009. 04一、填空题(本大题共11题,每小题5分,满分55分)1.(2,2)- 2.22x ≤ 3.124.1- 5.15 6.相离 7.22 8.10i > 9.712π10.(1,2] 11.1- 二、选择题(本大题共4题,每小题5分,满分20分) 12.B 13. D 14.D 15.C三、解答题(本大题满分75分)16.(1)证明:易知AP BP ⊥,又由1AA ⊥平面PAB ,得1AA ⊥BP ,从而BP ⊥平面1PAA ,故1BP A P ⊥; (4分)(2)解:延长PO 交圆O 于点Q ,连接BQ ,1AQ ,则//BQ AP ,得1A BQ ∠或它的补角为异面直线1A B 与AP 所成的角. (6分) 由题意211412V OA AA AA =π⋅⋅=π⋅=π,解得13AA =. (8分)又BQ =2AQ =,得1AQ =15A B =, (10分)由余弦定理得2221111cos 02A B BQ AQ A BQ A B BQ +-∠==>⋅,得异面直线1A B 与AP所成的角为(12分) 17.解:(1)摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为11173419C C C +=种,从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为2828C =,故所求的概率为1928; (6分) (2)符合条件的摸法包括以下三种:一种是所摸得的3球中有1个红球,1个黑球,1个白球,共有114312C C =种不同摸法, (8分)一种是所摸得的3球中有2个红球,1个其它颜色球,共有214424C C =种不同摸法,(10分)一种是所摸得的3球均为红球,共有344C =种不同摸法, (12分)故符合条件的不同摸法共有40种. (14分)18.解:(1) 由已知111n n ta A ++-=,1n n ta A -=,相减得11n n n ta ta a ++-=,由10t ->得11n n a t a t +=-,又111ta a -=,得111a t =-,故数列{}n a 是一个以111a t =-为首项,以1tq t =-为公比的等比数列. (4分) 从而111111n nn t t a t t t t -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ n ∈*N ; (6分)(2)111nn n t A ta t ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭, (7分)又012nn n n n n b C C C =+++=,故()221n n B =-, (11分)于是111lim lim 22nn n n n nt A t B +→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-, 当21tt =-,即2t =时,1lim 2n n nA B →∞=,当21tt <-,即2t >时,lim 0n n nA B →∞=,当21tt >-,即12t <<时,lim n n nA B →∞不存在. (14分)19.(1)证明:任取1(1,)x ∈+∞,2(1,)x ∈+∞,且12x x <,()1212111112()()2121(21)21x x x x f x f x -----=---=---121211122(22)2x x x x --=-=-12121212,22,220,()()x x x x x x f x f x <∴<∴-<∴<.所以()f x 在区间(1,)+∞上为增函数. (5分) 函数()f x 在区间(),1-∞上为减函数. (6分)(2)解:因为函数()f x 在区间(1,)+∞上为增函数,相应的函数值为(0,)+∞,在区间(),1-∞上为减函数,相应的函数值为(0,1),由题意函数()f x 的图像与直线y t =有两个不同的交点,故有(0,1)t ∈, (8分)易知(,)A m t ,(,)B n t 分别位于直线1x =的两侧,由m n <,得1m n <<,故1210m --<,1210n -->,又A ,B 两点的坐标满足方程121x t -=-,故得112m t -=-,121n t -=-,即2log (22)m t =-,2log (22)n t =+,(12分)故2222log (22)log (22)log (44)m n t t t +=-++=-,当01t <<时,20444t <-<,22log (44)2t -∞<-<.因此,m n +的取值范围为(,2)-∞. (17分) 20. 解:(1)设()(),,0,,M xy P b (),0Q a (0)a ≥,易知()3,HP b =,(),PM x y b =-,(),MQ a x y =--,由题设32PM MQ =-,得()3,23,2x a x y b y ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩其中0a ≥,从而13a x =,12b y =-,且0x ≥,又由已知0HP PM ⋅=,得HP PM ⊥, 当0b ≠时,0y ≠,此时3HP b k =,得3PM k b=-, 又PMPQ k k =,故3b a b -=-,23b a =,即2111332x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,24y x =()0x ≠, 当0b =时,点P 为原点,HP 为x 轴,PM 为y 轴,点Q 也为原点,从而点M 也为原点,因此点M 的轨迹C 的方程为24y x =,它表示以原点为顶点,以()1,0为焦点的抛物线; (4分)(2)由题设,可设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠,直线l '的方程为()11y x k=--,()0k ≠,又设()11,A x y 、()22,B x y ,则由()214y k x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩,消去x ,整理得2440ky y k --=, 故()2241k AB k+=,同理()241DE k =+, (7分)则()()222224111141823222kS AB DE k kk k +⎛⎫=⋅=⋅⋅+=++⎪⎝⎭≥, 当且仅当1k =±时等号成立,因此四边形ADBE 面积S 的最小值为32. (9分) (3)当0k ≠时可设直线l 的方程为()1y k x =-,由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,得()2222124220k x k x k +-+-=,故22)12k AB k +=+,22)2k DE k +=+, (13分) ()()()222422222412216222925212225kk S k k k k k k+==-=-++++++≥, 当且仅当21k =时等号成立. (17分)当0k =时,易知AB =,DE =1629S =>, 故当且仅当21k =时四边形ADBE 面积S 有最小值169. (18分)。