2
2
E (R p)sec R (250 0.340)sec 250 5.865
2
2
J=2T-L=2×116.565-232.054=1.077
（2）主点里程桩号计算：
➢以交点里程桩号为起算点：JD = K2+536.48 ➢ ZH = JD – T =K2+536.48 - 116.565 = K2+419.915 ➢ HY = ZH + Ls = K2+419.915 +70 = K2+489.915 ➢ QZ = ZH + L/2= K2+419.915+232.054/2 =K2+535.942 ➢ HZ = ZH + L = K2+419.915 +232.054 =K2+651.969 ➢ YH = HZ – Ls = K2+651.97 –70=K2+581.969
结论
1. 在直线与圆曲线中间插入缓和曲线的作用： （1）曲率连续变化，便于驾驶操作 （2）离心加速度逐渐变化，消除离心力突变 （3）为设置超高和加宽提供过渡段 （4）与圆曲线配合得当，美化线形
2. 缓和曲线采用回旋线作为其线形的原因： 汽车匀速从直线进入圆曲线（或相反）、驾驶员以等角速度匀速 转动方向盘其行驶轨迹线的弧长与曲线的曲率半径之乘积为一常数， 即行驶轨迹线与回旋线的性质相符，故我国《标准》规定以回旋线 作为缓和曲线。
2.4.3 缓和曲线的最小长度
1．离心加速度的变化率
▪ 离心加速度的变化率as： （离心加速度随时间的变化率）
as
a t
v2 Rt
在等速行驶的情况下： t Ls v
as
v3 RLs
0.0214
V3 RLs
满足乘车舒适感的缓和曲线最小长度 ：
V3
Lsmin 0.0214 as R
我国公路计算规范一般建议as≤0.6
O β0
β0
Ls R
α Ls
3．有缓和曲线的道路平曲线几何元素
▪ 平面线形基本组成：直线-回旋线-圆曲线-回旋线-直线。 ▪ (1)曲线要素的计算公式：
➢切线长：
Th ( R p )tan q 2
➢曲线长：
Lh
(
20
) 180
R
2Ls
180
R
Ls
圆曲线
➢外距：
Eh (R p)sec R 2
2.4.2 缓和曲线的布设
1．回旋线的数学表达式 ➢我国现行《标准》规定缓和曲线采用回旋线。 ➢回旋线的基本公式表示为：ρ·l = C = A2
式中：A——回旋线的参数
➢缓和曲线起点：回旋线的起点
Y
C
➢
l=0，ρ=∞；
➢缓和曲线终点：回旋线某一点
➢
l＝Ls，ρ＝R。
➢则
RLs=A2
回旋线的参数值为：
= t
▪ 汽车前轮的转向角为
▪ = kωt (rad)
O
▪汽车行驶轨迹的曲率半径：
ρ d d d tan kωt
汽车的行驶轨迹曲线半径为：
ρ d d d tan kωt
汽车以v等速行驶，经时间t以后，其行驶距离（弧长）为l ：
l = vt (m)
l
kvωdρ
vd kω
.ρ1
l C l C
➢在回旋线起点ZH或HZ点处，l = LS，切线角表示为β0
0
Ls 2R
（2）内移值p ：
β0
p y0 R(cos0 1)
p
L2s 24 R
L4s 2688
R3
p
（3）切线增值 q：
q
q x0 Rsin 0
q
Ls 2
L3s 240R2
3．有缓和曲线的道路平曲线几何元素 ▪ 平面线形基本组成：直线-回旋线-圆曲线-回旋线-直线。
M
Ls
A RLs
X
O
2. 回旋线的几何要素
（1）切线角β 定义：回旋线上任意点处的切线与回旋线起点或点的切线（x轴）的交
角。
l l2
l2
2 2 A2 2RLs
2. 回旋线的几何要素 （1）切线角β
➢定义：回旋线上任意点处的切线与回旋线起点或点的切线（x轴）的交角。
l l2
l2
2 2 A2 2RLs
Ls m in
0.036
V3 R
2．驾驶员的操作及反应时间
缓和曲线不管其参数如何，都不可使车辆在缓和曲线上的行驶时间过短 而使司机驾驶操纵过于匆忙。
ρ
(t d ) k
令 C vd kω
结论：汽车匀速从直线进入圆曲线（或相反）其行驶轨迹的
弧长与曲线的曲率半径之乘积为一常数。
➢与数学上的回旋线的性质相符
（2）《标准》规定：以回旋线作为缓和曲线。
（3）其它形式的缓和曲线
▪ ①三次抛物线 方程式：
C
x
▪ ②双纽线 方程式：
C
a
l C
▪ 回旋线、三次抛物线和双纽线在极角较小时的区别非常小。但随着极角 的增大，回旋线的曲率半径减小得最快，而三次抛物线的曲率半径减小 得最慢。
解：（1）曲线要素计算：
p Ls 2 70 2 0.340 R2
70 2
70 3 240 250 2
34.996
L R Ls 15.2830 250 70 232.054
180
180
T (R p)tg q (250 0.340)tg 15.2830 34.996 116.565
2.4 缓和曲线
2.4.1 缓和曲线的作用与性质 定义：缓和曲线是从半径为无穷大的直不线设到缓和半曲线径的为情况定值的圆曲线之间的曲 率逐渐变化的过渡曲线。 1. 缓和曲线的作用
（1）曲率连续变化，便于驾驶操作 （2）离心加速度逐渐变化，消除离心力突变 （3）为设置超高和加宽提供过渡段
设缓和曲线的情况
（4）与圆曲线配合得当，美化线形
2. 缓和曲线的形式
（1）缓和曲线的线形的要求
➢ 汽车的行驶状态假定： ➢ 1）汽车作等速行驶，速度为v（m/s）；
➢ 2）方向盘转动是匀速的，转动角速度为（rad/s）；
▪ 当方向盘转动角度为时，前轮相应转动角度为，
= k
φ
➢ ——是在t时间后方向盘转动的角度，
➢校正值： Jh = 2Th - Lh
(2)主点里程桩号计算方法：
以交点里程桩号JD为起算点：
➢ZH = JD – Th ➢HY = ZH + Ls
➢QZ = ZH + Lh/2 ➢YH = HZ – Ls
➢HZ = ZH + Lh ➢JD = QZ +Jh/2
圆曲线
例题：已知平原区某二级公路有一弯道， JD=K2+536.48， ➢ 偏角α右=15°28′30″，半径R=250m，缓和曲线长度Ls=70m ➢ 要求：（1）计算曲线主点里程桩号；