第十章 齿轮机构及其设计§10-1 齿轮机构的应用及分类 一、应用及优点齿轮是工业的象征。

99%的机器具有回转运动，其中齿轮占了很大一部分。

带轴的轮子是一大发明，它的出现使机械进入了高速时期，所以机械的发展史可以看作是利用回转运动的历史。

一般的机器中几乎所有的机构要求主动件是匀速转动，最大优点――连续高速目前没有更好的机构来代替它。

从现实来讲，用的最多的仍是齿轮机构。

深入到空中地面海底，以至家庭个人每个人都离不开。

齿轮机构是回转运动中速度最高，η最高。

优点：１ i=c 平稳工作 ２ i 范围大３ 速度高，功率传递范围大 ４ 效率η高５ 结构紧凑，适于近距离传动 二、类型按传动比i ⎩⎨⎧==非圆齿轮机构圆形齿轮)(αf i ci按传递运动⎩⎨⎧相错轴空间齿轮－－相交轴、平面齿轮－－平行轴平面⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧人字齿轮斜齿圆柱齿轮、斜齿轮、重点直齿圆柱齿轮、直齿轮齿向齿轮齿条外啮内外啮外啮合啮合方式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧︒︒9090双曲线回转体－－相错，大传动比蜗杆蜗轮－－相错螺旋齿轮－－相错轴直齿、斜齿、曲齿圆维－－相交轴空间§10-2齿轮的齿廓曲线――齿轮最重要的部分共轭齿廓――主从动轮能实现预定的传动比（2112/ωω=i ），则互相接触的齿廓称为共轭齿廓。

12j （或i 12）PO P O 1221==ωω齿廓啮合基本定律：互相啮合的一对齿轮在任何位置时的传动比都与其连心线21O O 被齿廓在接触点的公法线所分成的两段成反比。

啮合节点（节点）——Ｐ 定传动比——Ｐ点固定节圆——Ｐ在两轮上的轨迹（定传动比）节圆对滚——传动时特点，节圆处线速度v 相等。

节线——变传动比时Ｐ点轨迹（非圆）或齿轮、齿条传动，在齿条上是节线。

三．共轭齿廓的确定给定2112,,O O const i 及=轮１齿廓Ｃ１求共轭齿廓Ｃ２。

１．作图法（直观）由i 求出Ｐ点，作节圆j 1，j 2，在Ｃ１上任取一点k (1)过k 作Ｃ１之法线交j 1于Ｐ１ (2)把k １转过φ1得啮合点k 。

（k １k 2）啮合线——两齿廓啮合点在固定平面上有轨迹(3)取弧P P P P 12=得φ2把k 0转过φ2得k 2如此取k 1k 2 ……k n 连曲线c 2. ２．解析法已知：曲线c 1上一点k 1(x 1y 1)求共轭曲线解：步骤求k 1的啮合位置k 0：作出k 1的法线Ｎ，作OL 1Ln 于Ｌ１得r ，求出ϕ，y, 旋转ϕ１即得k 0 求k 2(x 2,y 2)接I=y 1/y 2 求出y 2 旋转ϕ即得k 2 A.r 求法：曲线方程分三种情况{}{})57(,/)(),()47(022/220)()37()(1111111111111111111-=====-=+-==-==n u u y y x xd x dx dn y dydndx dudu r t u y y u x x d F d Fy F x F r t y x F dx dy r t x f y δδδＢ.ψ求法111cos r oL =ψoL 1可由k 1点逆时针转r 角，取x 坐标而得，（y 取负值）（或相当于顺时针转y 取正值）)67(sin cos cos :cos sin sin cos 11111111111-'+=∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r ry r x y x c s s c kl ol y x r r r r fklol ψＣ. φ1求法)67()(21-+-=ϕπϕrd.啮合线求法把k 1(x 1y 1)顺时针转1ϕ并变换到x 1p 1y 中⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111111cos sin sin cos r o y x y x ϕϕϕϕ（7—7）⎩⎨⎧'-+=-=111111111cos sin sin cos r y x y y x x ϕϕϕϕ （7—7） 此为啮合方程式e.把啮合方程式减⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'2r o 顺时针转动2ϕ角⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21ϕϕi ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222222cos sin sin cos r y x y x ϕϕϕϕ （７—８） 或2222222222cos cos sin sin sin cos ϕϕϕϕϕϕr y x y r y x x '-+='+-= （７—８）f.把（７—７）代入，且令a r r '='+'21得[][][][][][][][]2211211222112112211122212111222222cos )cos()sin(sin )sin()cos(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕa y x y a y x x a o y x r o r o y x r o y x y x '-+++='++-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛四.齿廓曲线的选择一般任给一个曲线就可以求出其共轭曲线。

实际为了安装、制造、使用等考虑可以采用，渐开线、摆线等。

§10—３渐开线的形成、特性及其啮合一．渐开线的形成ＢＫ沿圆作纯滚动渐开线——Ｋ点轨迹（任意点Ｋ） 基圆——圆O,半径r b 发生线——ＢK 展角——i θ四线合一，发生线、曲率半径、切线、法线（啮合线） 二．渐开线的特性 １）AB BK 弧=，因为纯滚动２）Ｂ点为速度瞬心，ＢＫ为法线，切线，切于基圆。

３）Ｂ为曲率中心，ＢＫ为曲率半径，Ａ点曲率→∞４）渐开线间距离相等。

（同向，反向不论）５）基圆大则渐开线平直，无穷大则为直线６）基圆内无渐开线三．渐开线方程式压力角——i α压力方向（法线）速度方向夹角ib i r r αcos =又ii i i ii bi i b bbi inv r r r AC r BK αααθθαθαα=-=∴+=+===tan )(tan查手册，渐开线函数)tan (i i i inv ααα-=，i α，单位，度；i i inv αθ=单位，弧度。

改为直角坐标。

则⎩⎨⎧==θθcos sin r y r x 令：uur u r u r u r u u r u r r y uu r u r u r u r u u r u r r x ub b b b bb b b b b bb sin cos tan sin cos )sin sin cos (cos cos 1)cos(cos cos cos sin tan cos sin )sin cos cos (sin cos 1)sin(cos sin tan +=+=+=-==-=-=-=-====+ααααααθααααααθααθ四、渐开线齿轮啮合传动前面讲的是渐开线，下面讲用渐开线作为齿廓进行传动的特点。

1、渐开线齿廓能保证定传动比。

齿廓齿合定律――定传动比――定点P公法线必切于两基圆――与连心线交点P 固定2、渐开线齿廓传动特点，只有渐开线具有的特性。

1）啮合线为一直线，压力方向不变。

2）可分性：12122112b b r r PO P O i ===ωω见模型§10-4渐开线标准齿轮的基本参数和几何尺寸 一、 外齿轮齿数Z 齿顶园a a r d , 齿根园f f r d ,齿厚i s （任意圆周，轮齿弧线长）齿槽宽i e 两齿间弧线长 周节（齿距）i i i ie s p p +=，分度圆——具有标准模数和标准压力间的圆人为规定，为了计算齿轮尺寸，无下标e s p +=周长zpd =ππpzd =模数πpm =，并标准化，见表10-1,p306。

∴mzd =分度圆压力角α(压力角)，压力角随r i 的增大而增加，且iib a r r cos =为了分度圆标准化把α取为标准值20o ,p306. 齿顶高m h h a a *= 齿根高()m c h h a f **2+=顶隙m c c *=**,c h a 标准化为25.0,1**==c h a∴齿全高()m c h h h h a f a *2*+=+= 齿顶圆直径()m h z h d d a a a *22+=+= 齿根圆直径()m c h z h d da f f**222--=-=基园a d d b cos =基节，法节，相邻齿廓沿法线量得距离，见表10-2，p307. ┖基园上周节a P P b cos =标准齿轮s e c h a m a =,,,,**（间隙用公差保证）二、 齿条，齿数z →∞ 特点：1）齿廓为直线，齿条平动，法线平行，压力角相同a=20o 称为齿形角。

2）分度圆变为分度线，周节相等，基园无穷远。

其他同外齿轮m h h a a *=()m c h h a f **+=m e s π21==标准齿条，三条直线加一圆弧，见图。

三、 内齿轮1、 齿厚与齿槽宽对调，外凸变内凹2、基圆，齿顶圆，分度圆，齿根圆依次增加。

齿顶圆 ()m h Z h d d a a a *22-=-=齿根圆 ()m c h Z h d d a f f **222++=+=任意半径齿厚()inva inva r rr sinv inv rs r r s i i i i i i i --=-+==2)22(ααϕααcos cos r r r i i b ==ii r r ααcos cos =见P308,图10－15。

§10-5直齿圆柱齿轮啮合传动 一． 正确啮合条件啮合能连续进行必法节相等。

2211221121cos cos cos cos a m a m a P a P P P b b ππ===∵模数，压力角标准化 ∴21m m =21a a =二、中心距及啮合角1． 外啮合，应保证a,公称尺寸，齿侧间隙为0（公差保证间隙） b,顶隙C 为标准值。

)(2122212121z z m c h mz c h mz r c r a a a f a +=--+++=++=∴分度圆相切，称为标准中心距，分度圆，节圆重合，问题是侧隙是否为零。

节圆对滚，当一侧啮合时，m e s 2π==∴另一侧也啮合，无侧隙啮合。

啮合角α'……节点的速度矢量与啮合线的夹角（锐）与压力角不同。

当)(221z z ma +>时，分度圆不相切。

基圆不变，公切线（啮合线）与速度夹角ααα'='+>'cos ,21a r r b b∴αα''=cos cos a a2,齿轮齿条啮合 分度圆→分度线∴ 分度圆与分度线相切 节圆——分度圆重合 节线——分度线重合啮合角=='αα齿形角=α分度圆压力角当距离增加时，分度线后退，不与节线重合 分度圆与节圆重合啮合角不变，出现间隙3.内啮合标准安装（中心距）时)(21212z z mr r a -=-=节圆分度圆重合，αα='，无侧隙aa <' 时节圆、分度圆不重合三、 轮齿的啮合过程实际啮合线段，21B B理论啮合线段，21N N 最长的线段啮合极限点，21N N 齿廓的实际工作段21B B注意，四个点顺序为1212,,,N B B N四、 连续传动条件b p B B =21 一齿啮合 b p B B >21一齿、两齿啮合 b p B B <210齿1齿啮合定义：齿轮传动的重合度121≥=bp B B αε 或[]αεε≥a见表10—3,P317正确啮合2121m m ==αα 连续传动1≥αε五、 重合度αε的计算 1,外啮合)(cos 2)()(cos 2)(222211112121αααααααααα'-='-='-='-=+=tg tg mz tg tg r PB tg tg mz tg tg r PB PB PB B B a a b a a b()[()ααααπαπεα'-+'-=+==tg tg z tg tg z m PB PB P B B a a b2211212121cos实际计算时22121111coscosa b a a b a r r r r --==αα2，当∞→2z 时，是齿轮、齿条情形αα='()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-==ααααπεααcos sin 221sin *11*2a a a h tg tg z m h PB3,当∞→21z z 时546.215981.1202sin 4cos sin 421max max **max =︒==︒==⋅=ααεαεααπααπεaaa h h4,内啮合()()221122a a tg tg z tg tg z ααπααπεα-'+'-=5,单齿啮合区，双齿啮合区 CD 段，单齿。