平面向量易错题解析赵玉苗整理1你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？2 ___________2、你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用|a|2a ；|a| x2—y2）3、你知道解决向量问题有哪两种途径？（①向量运算；②向量的坐标运算）4、你弄清"a b x1x2 y°2 0 ”与"a//b 捲y2x2y1 0” 了吗？［问题］:两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？（1）在实数中：若a 0,且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若a 0,且a? b 0，不能推出b 0 .（2）已知实数a, b,c, （b o），且ab bc，则a=c,但在向量的数量积中没有a? b b? c a c .(3) 在实数中有（a ?b） ?c a ?（b ?c），但是在向量的数量积中(a? b) ? c a?(b?c)，这是因为左边是与c共线的向量，而右边是与a共线的向量.5、向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗？6、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注uuu意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A（1,2），B（4,2 ），则把向量A B按向量a =（- 1,3 ）平移后得到的向量是__________ （答：（3,0 ））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；uuu（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是AB ）;|AB| （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作： a // b , 规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直r uuu umr线重合；③平行向量无传递性！（因为有0）;④三点A B、C共线AB AC共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a的相反向量是一a。

如下列命题：（1）若a b，则a b。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

uuu umr uur uuir r r r r （3）若AB DC , UABCD是平行四边形。

（4）若ABCD是平行四边形，则AB DC。

（5）若a b,b c , 则a c。

（6）若a//b,b//c，贝U ；//：。

其中正确的是_________ （答: （4）（5））2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a , b , c等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a xi y j x, y ，称x, y 为向量a 的坐标，a = x, y 叫做向量a 的坐标表示。

如果 向量的起点在 原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e i 和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 1、 2，使a = 心+ 2 e 2O 女口( 1)若a (1,1)br r 1 r 3r一 (1, 1),c (1,2)，则c __________ (答：—a -b ); (2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.2 2um IT in IT uu irmi13 e (0,0), e 2 (1, 2) B. q ( 1,2)0 (5,7) C. q (3,5)(2 (6,10) D.耳(2, 3)忌(-,-)urnr uuu uuir r uuu r uurr r(答：B );( 3)已知AD,BE 分别是 ABC 的边BC,AC 上的中线，且AD a,BE b ,则BC 可用向量a,b 表2 r 4 r示为______ (答：2a -b )；( 4)已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD 2 DB , CD r AB sAC ,3 3则r s 的值是—(答: 0)4、 实数与向量的积 ：实数 与向量a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下：r r — — _ _1 a a , 2当 >0时， a 的方向与a 的方向相同，当 <0时， a 的方向与a 的方向相反，当 r r 〜=0 时， a 0 ,注意： a M 0。

5、 平面向量的数量积：- uuu r uuu r (1)两个向量的夹角：对于非零向量a , b ，作OA a, OB b , AOB称为向量a , b 的夹角，当=0时，a , b 同向，当= 时，a , b 反向，当 =一时，2—fe-fa ,b 垂直。

f _r r(2)平面向量的数量积：如果两个非零向量 a , b ，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos 叫做a 与b 的数量积(或内积或点积)，记作：a ? b ，即卩a ? b = a b cos 。

规定：零向量与任一向量的数 量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

如(1) △ ABC 中, | AB | 3 , | AC | 4 , | BC | 5，则 AB BC __________ (答:- 9);r 1 r 1 r r r u r r r u (2) 已知 a (1-),b(0, -),c a kb,d a b , c 与 d 的夹角为—，则 k 等于 ___ (答：1 )； 2 2 4 r r(3) 已知a 2, b 5,ago ___ 3，贝U a b 等于 (答：J23 );(4)已知a,b 是两个非零向量，且a b a b ，则a 与a b 的夹角为 _____________ (答: 3。

°)(3) b 在a 上的投影为| b | cos ，它是一个实数，但不一定大于 0。

如已知|a| 3 , | b | 5,且(4) a ?b 的几何意义：数量积a ?b 等于a 的模| a |与b 在a 上的投影的积。

(5)向量数量积的性质：设两个非零向量 a , b ，其夹角为则：r r r r ① a b a ?b 0 ；—b- f —r r r2 r r r 2 r f T 2 f T T r②当a , b 同向时，a ? b = a b ，特别地，a a?a a , a va ;当a 与b 反向时，a ? b =r r r rr r r r— a b ；当为锐角时，a ? b >0, 且a 、b 不同向，a b 0是为锐角的必要非充分条件；当为钝 12，则向量a 在向量b 上的投影为 _________ 12 （答:—）5角时，L r ra ?b v 0，且a、b不反向,ra b 0是为钝角的必要非充分条件；-一a?b r r r r③非零向量a , b夹角的计算公式：cos ?卡：④| a ?b | | a || b |。

如(1)已知a ( ,2 ),b (3 ,2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则的取值范围是(答:4或 0 且 1 ); (2)33已知 OFQ 的面积为S ，且OF FQ 1 , S —，贝U OF , FQ 夹角的取值范围是 2(cosx,s in x),b (cosy,si n y), a 与 b 之间有关系式 ka(—,—));(3 )已知 a 4 373 a kb ，其中k 0 ,①用k 表示a b ;②求a b 的最小值，并求此时a 与b 的夹角 的大小(答: --(k 0);②最小值为— 4k 2 60o ) 6、向量的运算： (1)几何运算： ① 向量加法：利用“平行四边形法则” 外，向量加法还可利用“三角形法则” uuu uuu uuu a b AB BC AC ; ② 向量的减法：用 点指向被减向量的终点。

iuu uuiu nur ② AB AD DC 进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之 :设 unr T uuu T AB a, BC b ，那么向量 uur T TAC 叫做a 与b 的和，即 uur :设AB T uuur TT a, AC b,那么 a“三角形法则” 注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

uuu uuu uuiT uuiT ③(AB CD) (AC BD) uuu T uuu 形ABCD 的边长为1, AB a,BC I uuu UULT OB OC 所在平面内一点，且满足 T uuiT T T b, AC c ,则 |a uuu uuur uuu OB OC 2OA ，则 VABC 若D 为 ABC 的边BC 的中点， ABC 所在平面内有一点 则 的值为—(答：2); ( 5)若点O 是厶ABC 的外心， (答: 120o ); T T(2)坐标运算：设 a (x 1, y 1), b (x 2, y 2)，则：T T①向量的加减法运算：a b (x 1 x 2, y 1 y 2)。

LUU UUT UULT AP AB AC( R)，则当 时, uu u AB unr uuuA C C A ，由减向量的终 • uuu uuu uuu如(1)化简：①AB BC CD ; uuu uuu T(答：①AD :②CB :③0 ); (2)若正方 (答：2 近)；(3)若 O 是 VABC 的形状为 P ，满足 uu u PA uu u BP UU U OA uu u OB UU LT CO_(答：直角三角形);(4) UJUUUU T | API CP 0，设电UQ, |PD|则△ ABC 的内角C 为已知点 A(2,3), B(5,4) , C(7,10)，若 1点P 在第一、三象限的角平分线上(答： —);(2)已知 21 uuu A(2,3),B(1,4),且 AB2 用在点A(1,1)的三个力 (答: (9,1 )) ②实数与向量的积 (sin x,cos y) , x,y uu F 1 uu (3,4), F 2 (2, (--)，贝y x y ____________ (答：一或 )；(3)已知作 2 2 6 2 UT LT uu uu uu 5),F3 (3,1)，则合力F F 1 F 2 F 3的终点坐标是 ________h uuu ③若 A(X 1,y 1), B(x>,Y 2)，则 AB N , y i 。