4.4方差和标准差
教材分析
本节内容是继平均数、中位数、众数之后出现的新统计量，它反应的是一组数据的离散程度，课本从射击比赛的成绩引入，提出问题，并让学生通过画图来判断两组数据的波动情况，形象直观，这样提出方差的概念就比较自然。

课本在本节和4.5节（包括相应的作业题）都安排了有关方差的计算，其目的在于让学生能掌握算理和算法。

本节的“探究活动”隐含着一种规律，可以让学生通过探究去发现这种规律，体会发现的乐趣。

教学目标
知识技能目标：1．了解方差的产生的必要性和可行性.
2．理解方差、标准差的概念和计算公式的形成过程.
3．掌握方差的计算公式并会应用方差比较两组数据的波动大小.
4、能用样本的方差来估计总体的方差。

能力目标：会求一组数据的方差、标准差，并会用它们表示数据的离散程度，－从而解决一些简单的实际问题，培养学生的应用意识和实践能力，－强化小组学习，培养学会与他人合作，交流思维的能力.
情感目标：1.通过利用方差解决实际问题，使学生认识到数学知识与人类的生－活生产是联系紧密的.
2. 通过课堂小组讨论，体验数学活动是充满探索与创造，培养学生－合作交流意识和探索精神.
教学重点和难点
重点：方差的概念和计算
难点：方差如何表示数据的离散程度，学生不容易理解，是本节教学的难点。

学情分析
方差公式：比较复杂，学生理解和记忆这个公式都会有一定困难，以致应用时常常出现计算的错误，为突破这一难点，我安排了几个环节，将难点化解。

（1）首先应使学生知道为什么要学习方差和方差公式，目的不明确学生很难对本节课内容产生兴趣和求知欲望。

教师在授课过程中可以多举几个生活中的小例子，比如：选择运动员、选择质量稳定的电器等。

学生从中可以体会到生活中为了更好的做出选择判断经常要去了解一组数据的波动程度，仅仅知道平均水平是不够的。

（2）波动性可以通过什么方式表现出来？第一环节中点明了为什么去了解数据
的波动性，第二环节则主要使学生知道描述数据，波动性的方法。

可以画折线图方法来反映这种波动大小，可是当波动大小区别不大时，仅用画折线图方法去描述恐怕不会准确，这自然希望可以出现一种数量来描述数据波动大小，这就引出方差产生的必要性。

（3）第三环节教师可以直接对方差公式作分析和解释，波动大小指的是与平均数之间差异，那么用每个数据与平均值的差完全平方后便可以反映出每个数据的波动大小，整体的波动大小可以通过对每个数据的波动大小求平均值得到。

所以方差公式是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量。

构思：教师的“教”体现在创设情景-----组织探究----发现规律----熟练运用学生的“学”体现在通过对现实生活中的具体问题情境的分析和探究，发现了在实际生活应用中需要方差这样新的统计量：反映一组数据与其平均值的离散程度，也就是用来衡量一批数据的波动大小，在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定
教法分析：
情境法----对具体的实际情境进行分析和计算发现方差出现的必要性。

探究法----引导学生对实际情境的数据进行整理、计算、分析得出结果。

讨论法----利用具体实例促进学生对方差和标准差的理解和探索。

教学用具：多媒体课件、计算器等。

教学设计
一、创设情景
观看2004年奥运会男子十米气步枪决赛录像片断和图片，展示问题。

（1）大家知道这个录像片断的内容吗？猜猜图片中的人物是谁？
（朱启南，学生观看录像，气氛热烈）
（2）现在要培养新人，教练要从甲、乙两名跨栏运动员中选取一名队员作为重点培养对象，假设你是一名教练，根据他们平时的比赛成绩该选择哪一名队员呢？课件给出两名射击手的测试成绩统计表，同学们很快发现用已经学过的平均数法大家都是8，而用中位数和众数又不能很好的进行比较。

两名队员比赛成绩平均值持平，而孙教练经过研究选择了甲队员，是什么原因呢？你们想知道吗？该问题能够激发学生的好奇心和求知欲，促使学生想去了解其中的原因，学好本节课.
二、启发式引导：
（1）要选拔射击手参加比赛，应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选手？
（2）画出两人测试成绩的折线图。

（让学生亲自动手画图，看图，得到答案，培养学生实际动手能力和观察、分析、解决问题的能力。

）
( 3)观察发现什么?(甲的成绩大部分集中在平均成绩8环的附近，而乙的成绩与
其平均值的离散程度较大。

)
通常，如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定。

思考：什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度?
我们已经看出，乙的测试成绩与平均值的偏差较大，而甲的较小。

那么如何加以说明呢?
三、试一试：
(1) 可否用各个数据与平均的差的累计数来表示数据的偏离程度？
很明显，各个数据与平均数的差的累计数都为0，是不可能表示数据与平均数的偏离程度的
(2) 是否可用各个数据与平均数的差的平方和来表示数据的偏离程度？让学生具体算一算甲、乙两名射手成绩与平均数的差的平方和。

（3）数据的偏离程度还与什么有关？要比较两组样本容量不相同的数据的偏离平均数的程度，应如何比较？
四、小组交流，讨论总结方法与结果
1、根据以上问题情景，在学生讨论，教师补充的基础上得出方差的概念、计算方法、及用方差来判断数据的稳定性。

2、从方差的计算公式中分析方差的大小与数据波动的大小存在怎样的关系. 出示方差的定义：（课件展示）一般地，各数据与平均数的差的平方的平
均数 叫做这批数据的方差
意义：用来衡量一批数据的波动大小
注意：取相同样本容量。

在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大， 越不稳定 研究方差的前提之一：平均数相等或非常接近
学生通过计算两名队员成绩的方差值解释专家选择甲队员的理由.（回应引入部分留下的数学思考，使学生释然，感受利用所学知识解决实际问题带来的喜悦.体会现实生活中常常要考虑数据波动大小做出正确的选择和判断.）
五、应用概念，巩固新知
例1、 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中
抽出10株苗，测得苗高如下（单位：cm ）
甲：12 ，13 ，14 ，15 ，10 ，16 ，13 ，11 ，15 ，11
乙：11 ，16 ，17 ，14 ，13 ，19 ，6 ， 8 ， 10 ，16
问哪种小麦长得比较整齐？
(从现实生活中提出数学问题，促使学生能积极的参与到数学活动中去。

使学生体验到统计知识与现实生活的联系，通过解决例1复习巩固了方差公式和应用方差分析、描述一组数据稳定性从而做出准确判断的方法。

)
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我们看到，数据的单位和方差的单位是不一致的，方差的单位是数据单位的平方。

为使单位一致，可用方差的算术平方根：
方差的算术平方根
并把它叫做标准差（standhard deviation ）
优点：单位与所研究数据单位一致
缺点：笔算时开方不方便，明显又多一步运算
六、巩固练习，反馈信息
1、课本“课内练习”第１题和第２题
灵活补充：
2、求这三组数据的平均数、方差和标准差。

3、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？
4、一个样本的方差是2222121001[(8)(8)(8)]100
s x x x =-+-+⋅⋅⋅-则这个样本中的数据个数是____，平均数是____
七、课堂小结（课件展示，通过回顾与反思巩固本节课所学的知识，让学生体会进步和成功的喜悦，有信心更好的学习下去，采用学生总结，教师补充的方式）
1、这节课你有什么收获？
2. 你觉得这节课所学知识中有哪些方面需要注意的？
3、通过这节课的学习，你还有什么不明白的问题？
八、分层作业，延伸拓展
1、课本“作业题”第3题。

2、选做题：
在某旅游景区上山的一条小路上有一些断断续续的台阶，如下图是其中的甲、乙段台阶路的示意图（图中的数字表示每一级台阶的高度）．请你用所学过的统计量（平均数、中位数、方差等）进行分析，回答下列问题： ( 1 ）两段台阶路每级台阶的高度有哪些相同点和不同点？ ( 2 ）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？ ( 3 ）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．
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板书设计 4.4 方差和标准差
一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数 例1 叫做这批数据的方差
在样本容量相同的情况下，方差越大， 练习 说明数据的波动越大， 越不稳定
方差的算术平方根
叫做标准差 []
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