第九章习题9.1 卢瑟福试验证明，当两个原子核之间的距离小到1510m -时，他们之间的排斥力仍遵守库伦定律。

金的原子核中有79个质子，氦的原子核中有两个质子。

已知每个质子带电量为：191.6010C e -=⨯，α粒子的质量为276.6810kg -⨯，当α粒子与核相距为156.910m -⨯时，求：⑴ α粒子所受的力；⑵ α粒子的加速度。

解：α粒子的带电量为：2Q e α=，金核的带电量为：19Q e =金 156.910m r -=⨯，276.6810kg M α-=⨯222279764N Q Q e F k k r rα⨯===金 加速度()2921.1410m s Fa M α==⨯ 9.2 两个相同的小球，质量都是m ；带等量同号电荷q ，各用长l 的细线挂在一起，设平衡时两线夹角为2θ很小。

⑴ 证明下列近似等式：13202q l x mg πε⎛⎫= ⎪⎝⎭式中x 为两球平衡时的距离。

⑵ 如果 1.2m l =，21.010kg m -=⨯，2510m x -=⨯，则每个小球上的电荷q 是多少库仑？解：⑴ 对m 进行受力分析列方程为：cos mg T θ=， sin F T θ=电tan 2F x mg l θ==电（θ很小时，tan 2x lθ≈） 即：13223202002422q x q l mgx q l x mgx l mg πεπεπε⎛⎫=⇒=⇒= ⎪⎝⎭⑵ 132328002022 2.3810C 42mgx q x mgx q l q mgx l l πεπεπε-⎛⎫=⇒=⇒==⨯ ⎪⎝⎭9.3 两个点电荷带电量为2q 和q ，相距为l ，将第三个电荷放在何处，所受库仑力为零？解：01201214qq F r πε=，0220214qq F r πε= 方向相反当所受合力为零时，1212221221:F F r r r r =⇒=⇒=)1221r r l r l +=⇒=（2r 为距q 的位置）(12r l = （1r 为距2q 的位置）9.4 两个点电荷，618.010C q -=⨯，621610C q -=-⨯，相距0.2m ，求离它们都是0.2m 出的电场强度E 。

解：由图中可得，1q ，2q 产生的电场强度应该是1E 和2E 的合成。

()9661120910810 1.810N C 40.04q E r πε-⨯⨯⨯===⨯ ()96621209101610 3.610N C 40.04q E r πε-⨯⨯⨯===⨯ 电场强度为：()612cos60cos60 2.710N C x E E E =+=⨯()612sin60sin60 1.5610N y E E E =-=-⨯大小为：()63.110V m E ==⨯，方向：与12q q 连线成30，右斜向下。

9.5 有四个正点电荷，电量都是q ，分别放在边长为a 的正方形的四个顶点。

求正方形中心 放一个什么样的电荷，可以使每个电荷都达到平衡。

解：正方形中心处的电荷为'q ，四个顶点处的为q ，正方形的边长为a ，则右下顶点处的电荷所受的电荷力为：212014q F aπε=方向竖直向下 222014q F a πε=方向水平向右，2320142q F a πε=方向沿着对角线向外这四个力的合力为：231201142q F F a πε⎡=+=⎢⎣合方向沿着对角线向外12此电荷所受中心电荷的力为：'222001211442qq q F F a a πεπε⎡==-=-+⎢⎣合因此中心所放的电荷应为：'14q q +=-9.6 有一均匀带电的细棒，长度为L ，所带总电量为q 。

求：⑴ 细棒中垂面上到棒的距离为a 处的电场强度；⑵ 细棒延长线上到棒中心的距离为a 处的电场强度大小。

解：9.7 半径为R 的半球面，均匀带电，电荷密度为σ，求球心处的电场强度。

解：分析：将半球面分成由一系列不同半径的带电圆环组成，带电半球面在圆心O 点处的电场就是所有这些带电圆环在O 点的电场的叠加。

今取一半径为r ，宽度为Rd θ的带电细圆环。

带电圆环在P 点的场强为：()322201ˆ4qxE ra x πε=+ 在本题中，cos x h R θ==，a r = 所以可得：()332220044hdq hdqdE R r hπεπε==+上式中()222sin dq r Rd R d σπθπσθθ==即：33002sin cos sin cos 42R d dE d R σπθθθσθθθπεε== 整个半球面为：2000sin cos 24E dE d πσσθθθεε===⎛⎜⎠⎰，方向沿半径向外 9.10 半径为R 的无限长圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求电场强度分布。

解：无限长圆柱体带电所激发的电场具有轴对称性，可用高斯定理。

取高斯面为：半径为r ，长为l 的圆柱体，轴线为圆柱带电体的轴线。

当r R <时，高斯定理为： 2110122r E rl r l E ρπρπεε∙=⇒=当r R >时，高斯定理为：222200122R E rl R l E rρπρπεε∙=⇒=9.11 在半径为1R 和2R 的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷1Q 和2Q ，求：⑴ Ⅰ， Ⅱ，Ⅲ三个区域内的电场强度分布；⑵ 若12Q Q =-，情况如何。

解：⑴ 电荷激发的电场为球对称，取高斯面为雨带电球面同球心，半径为r 的球面，由高斯定理可得：121120122004r R Q E r R r R Q Q r R πεε⎧⎪<⎪⎪∙=<<⎨⎪⎪+>⎪⎩所以可得到电场强度的表达式为：10E =，10r R << 122014Q E rπε=，12R r R << 1232014Q Q E r πε+=，2r R >⑵ 若12Q Q =-，10E =，10r R <<，122014Q E rπε=，12R r R << 30E =，2r R > 9.12 两无限大的平行平面均匀带电，面电荷密度分别为σ±，求各区域的电场强度分布。

解：忽略板外表面及边缘处的电荷分布带来的不均匀性，电场只分布在两极板之间，而且场强的方向垂直于极板。

取一圆柱形高斯面，其中一底面在极板，另一底面在两板之间。

由高斯定理可得： 01i iSE dS q ε∙=∑⎰00S ES E σσεε⇒=⇒= 当在板外时，正负电荷相互抵消，则0E = 所以在两无限大的平行平面的电场分布为：0E σε=（板间区域） 0E = （板外区域）9.13 两平行平板相距为5mm ，均匀带电后，电势差为30V ，求两板之间的电场强度。

解：W qU Fs qEd U Ed ===⇒=， 因此两板之间的电场强度为：()3306000V m 510U E d -===⨯ 9.14 在一电荷面密度为σ的无限大均匀带电平板的电场中，求：⑴ 与平板的距离为d 的一点A 和平板之间的电势差；⑵ 与平板相距分别为1d ，2d 的两点B ，C 之间的电势差()12d d <；⑶ 有一质量为m ，带电e -电荷的尘粒，从点A 开始向平板移动，问达到平板上时的速率为多少？解：⑴ 00022AO A O dd d U U U Edl dl σσεε=-===-⎛⎜⎠⎰⑵ ()2211210022dd BC B C d d U U U Edl dl d d σσεε=-===-⎛⎜⎠⎰⑶ 电场力所作的功等于动能的增量。

20122AO e d eU mv v σε-==⇒=9.15 如图所示，在点电荷q +和q -产生的电场中，若将一点电荷0q +，沿箭头所示路径由a 点移至b 点，求外力所作的功。

解：000488a q q q U U U lllπεπεπε+-=+=-=0b U =电场力所作的功为：()00008ab a b a q qA q U U q U lπε=-==外力应克服电场力作功：008q qA lπε=-外 9.16 求题9.10中无限长带电直圆柱体的电势分布（以轴线为零电势参考点）解：电场强度分布为：102rE ρε=，0r R << 2202R E rρε=，r R >并由题意可知，电势为零的点为轴线处，即0r =处。

当0r R <<时，电势为：21104rrr U Edr E dr ρε===-⎰⎰当r R >时，电势为：22022100ln 42RrrR R R RU Edr E dr E dr rρρεε==+=-+⎰⎰⎰9.17 求题9.11中同心均匀带电球面在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个区域内的电势分布。

解：电场强度的分布为：10E =，10r R << 122014Q E r πε=，12R r R <<1232014Q Q E r πε+=，2r R >当10r R <<时，12121123R R rrR R U Edr E dr E dr E dr ∞∞==++⎰⎰⎰⎰212112001144R R R Q Q Q r r πεπε∞+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12010244Q Q R R πεπε=+当12R r R <<时，22223R rrR U Edr E dr E dr ∞∞==+⎰⎰⎰11202021144Q Q Q r R R πεπε⎛⎫+=-+⎪⎝⎭ 1200244Q Q rR πεπε=+当2r R >时，1212332001144rrr Q Q Q Q U Edr E dr dr r r πεπε∞∞∞++====⎛⎜⎠⎰⎰9.18 电荷Q 均匀分布在半径为R 的球体内，求球体内外的电势分布。

解：电场强度分布：由高斯定理得到：0SqEdS ε=⎰23302013444314Q r E r r R R r E Q r Rππεππε⎧=<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩电场强度的表达式为：()1304QrE r R R πε=< ()2204Q E r R r πε=>当r R <时，112RrrRU Edr E dr E dr ∞∞==+⎰⎰⎰2223300003422488QR r Q Q Qr R R Rπεπεπεπε⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭当r R >时，2204rrQ U Edr E dr rπε∞∞===⎰⎰9.19 已知某静电场的电势函数为()22667SI U x x y y =--。

求空间某点()2,3,0处的电场强度。

解：22667U x x y y =-- 612x UE xy x∂=-=-+∂， 2614y U E x y y ∂=-=+∂ 在（2，3，0）处，2,3,0x y z ===，66x E =，66y E =所以电场强度：ˆˆ6666E ij =+ 9.20 若有一电场，其电势表达式为()()122222ax bU x y x y =+++，式中a 和b 为恒量，求空间任意点的电场强度。