《信号处理技术及应用》每章复习要点第一章 绪论（1） 正交分解：正交分解是利用正交基函数，将信号分解到各自独立的频带中，这些独立的频带首尾相连，无冗余、无疏漏，从而可以将信号所包含的信息互不干扰、独立的提取出来。

（2） 内积：内积是指信号和基函数关系紧密程度或相似性的一种度量，内积越大，相似性越好。

对信号做内积运算是为了寻找信号中与基函数最为相似的分量，在实际信号分析中，应根据信号的特点，选择合适的基函数对信号进行内积运算，匹配出信号中的特征分量。

（3） 基函数的主要性质：1. 正交性：定义（公式1.4.8）；保证了信号处理时，能将信息独立化提取出来。

2. 正则性：定义（公式1.4.9）；表现为小波基函数的光滑性。

3. 消失矩：定义（公式1.4.10）；一个小波的消失矩为R ，那么对应的滤波器长度不能少于2R 。

消失矩描述了小波函数逼近光滑信号的能力。

在信号的奇异性检测中，小波基函数的消失矩必须有足够的阶数，但是过高的阶数会平滑掉信号中的奇异性，使分析结果模糊。

4. 紧支性：若函数)(t φ在区间[a,b]以外恒为零，则称函数在这个区间紧支。

支撑区间[a,b]越小，小波局部化能力越强，越有利于信号点的检测。

我们指紧支性一般指时域的紧支性，若时域紧支性好，则频域紧支性差，反之亦然。

5. 对称性：具有对称性小波函数在小波变换信号处理时，可得到线性相位或零相移。

6. 相似性：通过对一个基小波)(t φ的伸缩和平移，可获得一个小波族，他们彼此之间是自相似的。

7. 冗余性：冗余度表示信号)(t x 通过某种变换后，由逆变换重建原来信号)(t x 过程中，基函数所具有的富余量，或包含重建信息的过程量。

冗余度对信号重构及图像恢复有重要意义，冗余小波能获得更好的信号重构效果。

第二章：（1） 采样定理：如果m ax w 是信号中的最高频率，则采样频率s w 采样频率必须不小于信号中最高频率m ax w 的两倍，即有≥max w 2m ax w在实际中，往往留有余地，一般选择采样频率s w 为处理信号中最高频率的2.5~4倍；或者，由于测量信号中的高频成分往往是由干扰引起的噪声或我们不感兴趣的频谱，因此，采样前须先对信号进行抗混叠滤波，然后在根据滤波后信号的最高频率设定m ax w 采样频率s w（2） 窗函数和泄漏：任何观测信号都是在有限时间段内进行观测的，因此信号采样过程中须使用窗函数将无限长信号截断为有限长信号。

若信号的频谱为)(w X ，窗函数的频谱为)(w W ，截断后信号的频谱为)(w X 和)(w W 的卷积，由于)(w W 为无限带宽函数，所以截断后信号的频谱必然是无限带宽的，即信号的能量分布在截断后扩展了，这一现象称为泄漏。

（3） 时域分辨率即采样间隔t ∆，也就是采频的倒数s f /1，它反映了数字信号在时域中取值点之间的细密程度；频域分辨率为t t f f N f f s s s /1)/(/=⋅==∆,其中N 表示采样点数，t 表示采样时间长度，它反映了数字信号的频谱在频域中取值点之间的细密程度。

（4） 时域指标参数：有量纲量包含：均值，均方值，均方根值，方差。

无量纲量包含：峭度指标（表示信号概率密度函数峰顶的陡峭程度，反映信号波形中冲击分量的大小）、峰值指标、脉冲指标、偏斜度（表示信号概率密度函数中心偏离正态分布的程度，反映信号幅值分布相对其均值的不对称性）。

有量纲参数指标受到及其运行参数的影响，而无量纲参数指标具有对信号幅值和频率变换不敏感的特点，即与机器运动条件无关，只依赖于概率密度函数的形状，所以能更好对机器进行状态检测。

概率密度函数用于及其状态参数的判断。

新旧两个变速箱的概率密度函数有明显的差异。

新变速箱的噪声主要是随机噪声，其概率密度曲线是高斯曲线；旧变速箱的噪声中就会出现不同频率的正弦波，其概率密度曲线是中凹的曲线。

（5） 相关函数的相关是指变量之间的线性关系或相互依赖程度。

自相关函数反映了信号自身取值随自变量时间前后变化的相似性。

自相关函数的定义为：τττd t x t x T R T T x ⎰±=∞→0)()(1lim )( 其中，T 为信号)(t x 的观测时间。

)(τx R 描述了)(t x 与)(τ±t x 之间的相关性。

互相关函数描述了两个信号之间的相关情况或取值依赖关系。

互相关函数的定义为：τττd t y t x T R T T xy ⎰±=∞→0)()(1lim )( T 为信号)(t x 和)(t y 的观测时间应用：船舶速度测量和水管漏水位置第三章 频域分析（1） 频谱细化是指在频谱分析中，用来增加频谱中某些部分频率分辨率的方法。

频谱细化的过程：首先选用采样频率s w 进行采样，得到离散序列{n x }；若需要细化的频带是中心频率为k w 的一个窄带12w w -，用复正弦序列t jwn e ∆-乘以{n x }进行复调制，则将频率原点移到了了k w 处；对复调制后的信号进行低通滤波，将以k w 为中心的窄带12w w -之外的所有频率分量都滤掉，避免混叠频率成分；之后对滤波后的复序列降低采频重新采样，并进行FFT 变换即可到到中心频率为k w ，带宽为12w w -的细化谱。

（2） 倒频谱是指对功率谱)(f S x 的对数值进行傅里叶逆变换，即)}({log 1f S F C x p -=，它具有时间量纲。

倒频谱用于解卷积，设振源信号)(t x 经传递系统)(t h 形成输出信号)(t y ，三者的关系可由卷积表示为=)(t y )(t x *)(t h ；若在频域上分析可表述为乘积=)(f S y ⋅)(f S x )(f S y ；若对频域表示两边取对数，再进一步做傅里叶逆变换可得倒谱：)(log )(log )(log f S f S f S h x y +=)}({log )}({log )}({log 111f S F f S F f S F h x y ---+=)()()(q C q C q C h x y +=即将卷积运算转换为加减运算。

（3） 全息谱是一种将机组振动信息在完成频谱转换后，进一步将频谱上的谱线加以集成的谱图或轴心轨迹图。

二维全系谱：将转子测量截面上水平方向和垂直方向的振动信号做傅里叶变换，从中提取各主要频率分量的频率、幅值和相位，即)2sin()(i i i i a t f A t x +=π和)2sin()(i i i i t f B t y βπ+=，然后按照各主要频率分量分别进行合成))(),(()(t y t x F t i i i =Φ，并将合成结果安频率顺序排列在一张谱图上，就得到了二维全息谱。

第四章：循环平稳信号分析（1） 循环平稳信号是指统计量随时间按周期或多周期规律变化的信号。

它具有以下特点：1.正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计量一般不随时间变化。

2.故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现周期性变化，此时信号为循环平稳信号。

3.统计量中某些周期信息反映机械故障的发生。

（2） 循环自相关函数)(ταx R 是时变自相关函数)()(),(ττ-⋅=*t x t x t R x 对时间的傅里叶变换的系数。

它可将载波信息和调制信息划分到了循环高低两个不同的频段。

循环频率的高频段既含载波信息又含调制信息，循环频率的低频段只含调制信息，根据这两个频段的信息，可以准确地判断载波信息和调制信息。

用循环相关解调法识别信号有用信息和混频信息的规律如下：1.在循环频率高频段的循环切片图中，循环频率信息与该图片所对应的频率信息具有2倍的关系，并且切片图中相应的循环频率信息表现为中心频率，其两边均有明显的调制变频带，则说明此循环频率具有载波的频率特征，循环频率是载波频率的2倍，并且图中所对应的边频带频率就是调制频率信息。

若中心频率对应的谱峰为最高值，两边的边频带信息较少，则该信号时调幅信号；对于调频信号，循环频率中心处的谱峰一般不是最高值，且边频带数量较多。

2.在循环频率高频段的循环切片图中，循环频率信息与该图片所对应的频率信息具有相等的关系，说明此循环频率是单独的频率分量。

3. .在循环频率高频段的循环切片图中，循环频率信息与该图片所对应的频率信息没有以上关系，则说明此循环频率是混频信息。

第五章 小波变换（1） 由基本小波或母小波)(t ψ通过伸缩a 和平移b 产生一个函数族{)(,t a b ψ}称为小波。

有)(,t a b ψ=)(2/1a b t a --ψ，小波变换就是用信号)(t x 和小波基函数)(2/1ab t a --ψ做内积运算。

其中尺度因子a 表明了信号在变换过程中尺度的变化，当a 减小时，时宽减小频宽增大；当a 增大时，时宽增大频宽减小；时移因子b 可实现信号在时间轴上的平移，观察不同时间段的信号。

（2） 平方可积实数空间)(2R L 的多分辨分析是指存在一系列的闭子空间z j j V ∈}{，j W 是j V 在1+j V 中的正交补空间。

这些子空间具有以下性质（3） 小波函数n j ,ψ是小波空间j W 中的标准正交基，尺度函数n j ,ϕ是尺度空间j V 中的标准正交基。

从)(2R L 中的正交尺度基函数n j ,ϕ构造出正交小波基函数n j ,ψ，即存在双尺度关系：)(t ϕ=2/12)2(n t h n n -∑∞-∞=ϕ和)(t ψ=2/12)2(n t g n n -∑∞-∞=ϕ 表明j V 中的尺度函数)(t j ϕ和j W 中的小波函数)(t j ψ均可由1+j V 中的尺度函数)(1t j +ϕ给出。

第六章 连续小波变换及其工程应用（1） 谐波小波是一种复小波，在频域紧支，且具有完全“盒形”的频谱，其伸缩与平移构成了)(2R L 空间的规范正交基。

谐波小波具有正交性，因而以谐波小波作为基函数系就可以将信号无冗余、无泄漏地分解到相互独立的频段。

谐波小波具有对称性，即谐波小波实部为偶函数，虚部为奇函数，使谐波小波具有零相移的特性；以及光滑性，“盒形”频谱和明显的数学表达式，是我们可以构造出不同尺度下各频段数据点数不变、采样频率不变的算法。

应用：采用谐波小波分解的方法，将信号相同尺度、相同频段的成分从原信号中分离出来，且保持数据点数与采样频率不变，进而实现旋转机械振动信号不同尺度不同频段轴心轨迹的合成与分析。

（2） Laplace 小波Laplace 小波是一种单边衰减的复指数小波，复数小波可以实现光滑的、连续的小波变换。

Laplace 小波具有良好的紧支性，不具备正交性，但是提出Laplace 小波的主要目的是为了识别信号中的冲击响应波形，而不关心信号的其他成分，因此，也没有必要将整个信号分解为一组Laplace 小波基函数的线性和。