蒋殿春《高级微观经济学》第1章 生产技术跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。

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1．两种产品x 和y 唯一需要的要素投入是劳动L 。

一单位x 产品需要的劳动投入量是8，一单位y 产品需要的劳动投入量是1。

假设可投入的劳动量总共为48。

（1）写出生产可能集Z 的代数表达式； （2）写出生产（隐）函数； （3）在(),x y 平面上标示生产边界。

解：（1）由题意可知，总量为48，劳动L 是两种产品唯一需要的要素投入，所以有：848x y +≤ 因此，生产可能集Z 的代数表达式为(){},,848Z x y L x y L =+≤≤。

（2）一单位x 产品需要的劳动投入量是8，一单位y 产品需要的劳动投入量是1，所以生产（隐）函数为8x y L +=。

（3）由（1）可得，生产可能集Z 为(){},,848Z x y L x y L =+≤≤，如图1-1所示。

图1-12．试画出Leontief 生产函数()}{1,21221min ,f x x x x ββ=的等产量线。

解：由Leontief 生产函数()}{1,21221min ,f x x x x ββ=表达式可知，当1221x x ββ=时，2121x x ββ=，由此可得到其等产量线如图1-2所示。

图1-23．对Cobb-Douglas 生产函数()1,212f x x Ax x αβ=()0,,0A αβ>>（1）证明11MP y x α=，22MP y x β=。

（2）求技术替代率12TRS 。

（3）当y 或21x x 变化时，12TRS 如何随之变化？ （4）画出等产量曲线。

解：（1）已知生产函数()1,212f x x Ax x αβ=，即12y Ax x αβ=，所以有： ()11112121,MP f x x Ax x y x αβαα-'=== ()12212122,MP f x x Ax x y x αβββ-'===即得证。

（2）在（1）中已经证明11MP y x α=，22MP y x β=，因此，技术替代率为：11212221MP y x x TRS MP y x x ααββ=-=-=-在Cobb-Douglas 生产函数中1αβ+=，整理得()21211x TRS x αα=--。

（3）由（2）可知，()21211x TRS x αα=--，技术替代率12TRS 与y 无关，不随y 的变化而变化；而21x x 变化时，技术替代率12TRS 随之等比例变化。

（4）已知Cobb-Douglas 生产函数()1,212f x x Ax x αβ=的技术替代率()21211x TRS x αα=--，12TRS 就是相应点处等产量曲线切线的斜率。

它的等产量线如图1-3所示。

图1-34．对CES 生产函数()11122y A x x αααδδ=+，121δδ+=，0A >（1）证明边际产出()1i i i MP A y x ααδ-=。

（2）求技术替代率12TRS 。

（3）当y 或21x x 变化时，12TRS 如何随之变化？ （4）证明技术替代弹性)11σα=-。

解：（1）()11111112211AMP y x x x αααδδαδα--'==⨯+⨯ ()()()()()1111111211111121111A x x x A A x x x A y x αααααααααααααδδδδδδδ-----=+⎡⎤=+⎣⎦=同理可证()12122MP y A y x ααδ-'==，因此可得边际产出为[]1i i i MP A y x ααδ-=。

（2）由（1）得，[]1i i i MP A y x ααδ-=。

所以，技术替代率111212221MP x TRS MP x αδδ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。

（3）已知技术替代率111212221MP x TRS MP x αδδ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以，当y 变化时，12TRS 保持不变；当21x x 变化时，12TRS 随之等比例变动。

（4）假设21z x x =，则11122TRS z αδδ-=-，那么：()()11212121212112d d d d 111TRS TRS TRS z TRS z z z z z αασδδαδδα----⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫⎡⎤=--- ⎪⎣⎦⎝⎭=-即得证。

5．证明：CES 生产函数在1α=时变为线性函数，在0α→时变为Cobb-Douglas 函数，在α→-∞时变为Leontief 生产函数。

证明：CES 生产函数为()11122y A x x αααδδ=+（1）当1α=时，()1122y A x x δδ=+，即为线性函数。

（2）当0α→时，化简得，()11122y x x Aαααδδ=+，两边同时取对数得： ()1122ln ln x x y A ααδδα+= 运用洛必达法则求极限：()112200111222112211221212ln lim ln lim ln ln ln ln ln a bx x yA x x x x x x x x x x ααααααααδδαδδδδδδδδ→→+=+=++=+= 其中，112a δδδ=+，212b δδδ=+。

所以12a by Ax x =，即为Cobb-Douglas 函数。

（3）当α→-∞时，同（2）中得：1112221122ln ln lim ln x x x x y A x x αααααδδδδ→-∞+=+ 当12x x =时，12lim lnln ln yx x Aα→-∞==，即12y Ax Ax ==。

当12x x ≠时，先假设12x x >，则()121x x α>，那么：()()112122111222211221122ln ln ln ln lim ln ln x x x x x x x x y x A x x x x ααααδδδδδδδδ→-∞++===++ 同理，假设12x x <，则11122211122ln ln lim ln ln x x x x y x A x x αααααδδδδ→-∞+==+。

因此，当α→-∞时，生产函数为}{12min ,y Ax Ax =，即为Leontief 生产函数。

6．（1）试证明欧拉定理：对任何k 次（0k ≥）齐次生产函数()f x ，总有()i iif kf x x x ∂=∂∑（2）用生产函数()1,212f x x Ax x αβ=()0,,0A αβ>>验证欧拉定理。

证明：（1）对于k 次齐次生产函数，0t ∀≥，()()k f tx t f x =，等式两边同时对t 求微分，得()()()1k i ii f tx kt f x x tx -∂≡∂∑。

当1t =时，可以得到()x i iifkf x x ∂=∂∑。

（2）生产函数()1,212f x x Ax x αβ=()0,,0A αβ>>是αβ+次齐次函数，()1,21121,f x x A x x x αβα-∂=∂，()1,21122f x x A x x x ββ-∂=∂所以，()()()1,21,2121212121,2f x x f x x x x A x x A x x Ax x x x αβαβαβαβαβ∂∂+=+=+∂∂，即欧拉定理得证。

7．下列生产函数的规模收益状况如何？ （1）线性函数：()1,212f x x ax bx =+，,0a b >； （2）Leontief 生产函数；（3）Cobb-Douglas 生产函数； （4）CES 生产函数。

解：（1）线性生产函数()1,212f x x ax bx =+，()()121212f tx tx atx btx t ax bx =+=+，，产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。

（2）Leontief 生产函数也是产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。

（3）Cobb-Douglas 生产函数()1,212f x x Ax x αβ=()0,,0A αβ>>，当1αβ+=时，是规模收益不变的；当1αβ+>时，规模收益是递增的；当1αβ+<时，规模收益是递减的。

（4）同理，CES 生产函数()11122y A x x αααδδ=+，产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。

8．证明：（1）对于二元生产函数()12f x x ，，替代弹性可以表示为()()12112212221212121222112f f x f x f x x f f f f f f f σ+=--（2）如果生产函数()12f x x ，是一次齐次函数，则有()()()()()121212x x x x x f f f f σ=证明：（1）对于二元生产函数()1,2f x x ，替代弹性其为()2112121221d d x x TRS TRS x x σ=⋅。

令21z x x =，则()()()121121212121221d d d d x x TRS TRS TRS TRS x x z z σ-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦将21x zx =代入生产函数，()11y f x zx =， 令()1x g z =，()1d d x g z z'=，对z 求导得，()()()()11220f x x g z f g x zg z ''++=⎡⎤⎣⎦， 解得，()11212d d x x fg z z f zf '==-+。

由于()()()()1122,,f g z zg z TRS f g z zg z ⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤⎣⎦，所以：()()()()()()121222111212221222121211222112222112221112122212d d 1f f g f g zg f f g f g zg TRS zf f f f fg f f zf f f f g f x f f f f f f f f f zf ''''++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦='-++-=⎡⎤+-⎣⎦=+将21z x x =代入上式，()()22211222111212122211221d d x f f f f f f f TRS zf x f x f ⎡⎤+-⎣⎦=+从而得，()()12112212221212121222112f f x f x f x x f f f f f f f σ+=--。