2021 届高三第一次调研测试 数学参考答案及讲评建议一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

设集合 A = { x ∈ N | 2 < x < 6 }， B = { x | log 2 (x -1) < 2 }，则 A B =1． A ．{ x | 3 ≤ x < 5 } B ．{ x | 2 < x < 5 } C ．{ 3，4 } D ．{ 3，4 ，5 }【答案】C已知2 + i 是关于 x 的方程 x 2 + ax + 5 = 0 的根，则实数a =2． A ． 2 - i B ． -4 C ．2 D ．4【答案】B3． 哥隆尺是一种特殊的尺子．图 1 的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2 ，3，4 ，5 ，6 ．图 2 的哥隆尺不能一次性度量的长度为 A ．11 B ．13 C ．15 D ．1760 141212 170 1410 3 4 56图 1图 2【答案】C4． 医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述．在该模型中，人体内药物含量 x （单位： mg ）与给药时间t （单位： h ） 近似满足函数关系式 x = k 0 (1- e -kt ) ，其中 k ， k 分别称为给药速率和药物消除速率 k 0 k 0（单位： mg / h ）．经测试发现，当t = 23 时， x = ，则该药物的消除速率k 的值约 2k为（ln2≈0.69）A ． 3B ． 3C ． 10D ． 100 100【答案】A10 3 3(1 - 2x )n 的二项展开式中，奇数项的系数和为5． (-1)n + 3n(-1)n - 3nn -1nA ． 2B ． 2C ．D ．2 2【答案】C函数 y = sin πx 6． 的图象大致为2x - 1yyOxO xB A【答案】D已知点 P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式：7． 甲： PA + PB + PC = 0 ；乙： PA ⋅ (PA - PB ) = PC ⋅ (PA - PB ) ；丁： PA ⋅ PB = PB ⋅ PC = PC ⋅ PA ．PB PC ；= 如果只有一个等式不成立，则该等式为 A ．甲 【答案】BB ．乙C ．丙D ．丁已知曲线 y = ln x 在 A (x ，y ) ， B (x ，y ) 两点处的切线分别与曲线 y = e x相切于8． 1 1 2 2 C (x 3 ，y 3 ) ， D (x 4 ，y 4 ) ，则 x 1 x 2 + y 3 y 4 的值为 C ．5 D ． 17 A ．1 B ．224【答案】B丙： PA =二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。

9.已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则A．若m α， n α，则m nB．若m α， m ⊥β，则α⊥βC．若α β，m ⊥α，n ⊥β，则m nD．若α⊥β，m α，n β，则m ⊥n【答案】BC10．已知函数f (x) = sin(2x -π) ，则6A． f (x) 的最小正周期为πB．将y = sin 2x 的图象上所有的点向右平移π个单位长度，可得到f (x) 的图象6( )ππC．f (x) 在-，上单调递增6 3( )5πD．点-，0 是f (x) 图象的一个对称中心12【答案】ACD⎧-x3 -x+2+m，x<111．若函数 f (x) =⎨ 的值域为[2 ，+∞) ，则⎩x +1 - ln x ，x≥1A． f (3) >f (2) B．m≥2D．log (m + 1) > logC． f (ln 2) <f (1) (m + 2)m (m+1)2e【答案】ABD12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7 天，每天不超过5 人体温高于37.3︒C ，则称没有发生群体性发热．下列连续7 天体温高于37.3︒C 人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为A．中位数为3，众数为2 B．均值小于1，中位数为1C．均值为3，众数为4 D．均值为2，标准差为2【答案】BD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13．在正项等比数列{a n } 中，若a 3a 5a 7 = 27 ，则∑log 3 a i = ．i =1 9【答案】914．已知双曲线C 的渐近线方程为 y = ±2x ，写出双曲线C 的一个标准方程：．y 2【答案】 x - = 1 （答案不唯一）2415．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，△ABC 的三条边长分别为 BC = a ，AC = b ，AB = c ．延长线段CA 至点 A 1 ， 使得 AA 1 = a ，以此类推得到点 A 2 ，B 1 ，B 2 ，C 1 和C 2 ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a = 4 ，b = 3，c = 5 ，则由△ABC生成的康威圆的半径为．【答案】 3716．已知在圆柱O 1O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线O 1O 2的平面截圆柱得到四边形 ABCD ，其面积为 8．若 P 为圆柱底面圆弧C D 的中点，则平面 PAB 与球O 的交线长为．【答案】 4 10 π5四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10 分）已知等差数列{a n } 满足a n + 2a n +1 = 3n + 5 ． （1）求数列{a n } 的通项公式；（2）记数列⎧ 1 ⎫ 的前 n 项和为 S ．若∀n ∈ N * ， S < -λ 2+ 4λ （ λ 为偶数）， ⎨ a a ⎬ n n ⎩ n n +1 ⎭求λ 的值．【解】（1）设等差数列{a n } 的公差为d ，因为a + 2a = 3n + 5 ，所以⎧a 1+ 2a 2 = 8 ，⎨an n +1 + 2a = 11， ⎩ 2 3+ 2d = 8 ，⎧3a 1 …… 2 分即 ⎨⎩3a 1 + 5d = 11，解得a 1 = 2 ，d = 1 ，所以a n = 2 + (n - 1) = n + 1 ． 经检验， a n = n + 1 符合题设，所以数列{a n } 的通项公式为a n = n + 1 ．…… 4 分 （2）由（1）得， 1 = 1 = 1 - 1 ，…… 6 分 (n + 1)(n + 2) n + 1 n + 2a n a n +1 ( ) ( )( )1 1 1 1 1 n + 1 1 1 1 n +2 所以 S n = - + - + +- = - ． …… 8 分n + 2 2 2 3 3 4因为∀n ∈ N * ， S < -λ 2 + 4λ ， n所以-λ 2 + 4λ≥ 1 ，即(λ - 2)2 ≤7 ． 2 因为λ 为偶数，所以λ = 2 ．2 ……10 分18．（12 分）在① (b + a - c )(b - a + c ) = ac ；② cos( A + B ) = sin( A - B ) ；③ tan A + B = sin C 这三个2 条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 b 的值；若问题中 的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且a = 2 2 ，，？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分． 【解】选择条件①和②．因为(b + a - c )(b - a + c ) = ac ，所以a 2 + c 2 - b 2 = ac ，…… 2 分由余弦定理，得cos B = a 2 + c 2 - b 2 = 1 ．2ac2因为0 < B < π ，所以 B = π ．…… 4 分3因为cos( A + B ) = sin( A - B ) ，所以cos( A + π) = sin( A - π) ，3 3 所以cos A cos π - sin A sin π = sin A cos π - cos A sin π ，3 所以sin A = cos A ．…… 6 分 因为0 < A < π ，所以 A = π ．…… 8 分 4在△ABC 中，由正弦定理 a = b ，得 2 2 = b ……10 分． sin A sin B sin π sin π4 3……12 分选择条件①和③．因为(b + a - c )(b - a + c ) = ac ，所以a 2 + c 2 - b 2 = ac ．3 3 3 …… 2 分由余弦定理，得cos B =a 2 + c 2 -b 2 = 1 ． 2ac 因为0 < B < π ，所以 B = π ． …… 4 分cos C 所以 2 C C = sin C = 2sin cos ．…… 6 分sin C2 2 2因为0 < C < π ，所以cos C ≠ 0 ，所以sin 2 C = 1 ．2 2 2因为0 < C < π ，所以sin C > 0 ，所以sin C = 2 ，可得C = π ．…… 8 分 2 2 所以在 Rt △ABC 中， b = a tan π = 2 6 ．……12 分3 选择条件②和③．因为cos( A + B ) = sin( A - B ) ，所以cos A cos B - sin A sin B = sin A cos B - cos A sin B ， 所以(sin A - cos A )(sin B + cos B ) = 0 ． 所以sin A = cos A 或sin B = -cos B ．…… 2 分2 2 32因为0 <A <π ，0 <B <π ，所以A =π或B =3π．……4 分4 4cos C所以 2 = sin C = 2sin C cos C ．…… 6 分sin C 2 22因为0 <C <π ，所以cos C ≠ 0 ，所以sin2 C =1 ．2因为0 <C <π，所以sin C > 0 ，所以sin C = 2 ，可得C =π．……8 分2 2 22 22在△ABC 中，A +B +C =π ，所以A =π，C =π，B =π．……10 分4 2所以△ABC 为等腰直角三角形，所以b =a = 2 2 ．……12 分19．（12 分）2019 年4 月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3＋1＋2”高考新模式．为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800 名学生的选科情况，部分数据如下表：（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5 人，组成数学学习小组．一段时间后，从该小组中抽取3 人汇报数学学习心得．记3 人中男生人数为X，求X 的分布列和数学期望E( X ) ．n(ad -bc)2(a +b)(c +d )(a +c)(b +d )附：K 2 =P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828性别科目男生女生合计物理300历史150合计400 8004【解】（1）…… 2 分800 ⨯ (300 ⨯150 - 250 ⨯100)2 550 ⨯ 250 ⨯ 400 ⨯ 400 (450 - 250)2 160 因为 K = 2= = > 10.828 ， 55 ⨯ 25 ⨯ 2 11 所以有 99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关． …… 6 分 （2）按照分层抽样的方法，抽取男生 2 人，女生 3 人．…… 7 分随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2．C 0C 3 C 1C 2 C 2C 11 3 3 所以 P ( X = 0) =23 = ， P ( X = 1) = 2 3 = ， P ( X = 2) = 2 3 = ． C 3 10 C 35 C 310 5 5 5所以 X 的分布列为……10 分所以 E ( X ) = 0 ⨯ 1 + 1⨯ 3 + 2 ⨯ 3 = 6 ．10 5 10 5 答：X 的数学期望为 6 ． ……12 分520．（12 分）如图，在正六边形 ABCDEF 中，将△ABF 沿直线 BF 翻折至△A 'BF ，使得平面 A 'BF ⊥ 平面 BCDEF ， O ，H 分别为 BF 和 A 'C 的中点．（1） 证明：OH ∥平面 A 'EF ；（2） 求平面 A 'BC 与平面 A 'DE 所成锐二面角的余弦值．EFA DCB图 1X 0 1 2 P1 103 53 10性别科目男生女生合计物理 300 250 550 历史 100 150 250 合计400400800【解】（1）如图，取 A 'E 的中点G ，连结 FG ，HG ，CE ． 又因为 H 是 A 'C 的中点， 1 A 'G E FHDO所以 HG ∥ CE ， HG = 2CE ．BC又因为正六边形 ABCDEF 中， BF ∥ CE ， BF = CE ， 所以 HG ∥ BF ， HG = 1 BF ．…… 2 分2又O 为 BF 的中点，所以 HG ∥ OF ， HG = OF ， 所以四边形OFGH 为平行四边形，所以OH ∥ FG ． 因为 FG ⊂ 平面 A 'EF ， OH ⊄ 平面 A 'EF ， 所以 OH ∥平面 A 'EF ．（2）由条件可知OA ' ⊥ OB ， OA ' ⊥ OD ， OD ⊥ OB ．z…… 4 分6 分…… 分别以OB ，OD ，OA ' 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O - xyz ． A 'EF Hy DO设正六边形 ABCDEF 的边长为 2， B xC则 B ( 3 ，0 ，0) ， C ( 3 ，2 ，0) ，D (0 ，3，0) ，E (- 3 ，2 ，0) ， A '(0 ，0 ，1) ， 所以 BC = (0 ，2 ，0) ， A 'C = ( 3 ，2 ，- 1) ， ED = ( 3 ，1，0) ， A 'D = (0 ，3，- 1) ． 设平面 A 'BC 的法向量为n 1 = (x 1 ，y 1 ，z 1 ) ，⎧n = 0， • BC = 0， ⎧2 y 由⎪ 得⎪ 1 1 ⎨ ⎨⎪⎩n 1 ⋅ A 'C = 0 ⎪⎩ 3x 1 + 2 y 1 - z 1 = 0. 取 x 1 = 1 ，可得n 1 = (1，0 ， 3) ．设平面 A 'DE 的法向量为n 2 = (x 2 ，y 2 ， z 2 ) ， …… 8 分⎧⎪n • ED = 0， ⎧⎪ 3x + y = 0， 2 由 得 2 2 ⎨ ⎨ ⎪⎩n 2 ⋅ A 'D = 0， ⎪⎩3y 2 - z 1 = 0. 取 x 2 = 1 ，可得n 2 = (1，- 3 ，- 3 3) ．设平面 A 'BC 与平面 A 'DE 所成锐二面角的大小为θ ，……10 分则cos θ = cos < n ，n > ==1 21+0+3 ⨯ 1+3+27所以平面 A 'BC 与平面 A 'DE 所成锐二面角的余弦值为 4 31 ．……12 分3121．（12 分）已知函数 f (x ) = x 2 - 2 ln x - a ．x（1）若 f (x ) ≥ 0 ，求实数 a 的取值范围；（2）若函数 f (x ) 有两个零点 x 1 ，x 2 ，证明： x 1 x 2 < 1． 【解】（1）函数 f (x ) = x 2 - 2 ln x - a 的定义域为(0，+ ∞) ．x2(1 - ln x ) x 2 2(x 3+ ln x - 1)f (x ) = 2x - ' =． …… 1 分x 2设r (x ) = x 3 + ln x - 1 ，所以r '(x ) = 3x 2 + 1 > 0 ，x 所以函数r (x ) = x 3 + ln x - 1 在(0，+ ∞) 上单调递增． 又r (1) = 0 ，列表如下：…… 3 分所以当 x = 1 时，函数 f (x ) = x 2 - 2 ln x - a 取得最小值为 f (1) = 1 - a ．…… 4 分x 因为 f (x ) ≥ 0 ，即1 - a ≥0 ，所以a ≤1 ． 所以 a 的取值范围是(-∞，1]． 5 分…… （2）不妨设 x 1 < x 2 ．由（1）可得，函数 f (x ) 在(0，1) 上单调递减，在(1，+ ∞) 上单调递增． 所以0 < x < 1 < x ， 0 < 1 < 1 ． …… 6 分 1 2x 2 因为 f (x 1 ) = f (x 2 ) = 0 ，x (0，1) 1 (1，+ ∞) f '(x ) - 0 + f (x )极小值1⨯1 + 0 ⨯ (- 3) + 3 ⨯ (-3 3) n 1 ⋅ n 2 n 1 ⋅ n 2所 以 f (x ) - f ( 1 ) = f (x ) - f ( 1 ) 1 x 2 x 2 22 ln 1= (x 2 - 2 ln x 2 x 2 - a ) - ( 1 - - a ) 2 x x 21 22 x 2 = (x + 1 )(x - 1 - 2 ln x ) ． …… 8 分222 x x 22设函数 g (x ) = x - 1 - 2 ln x (x > 1) ，x(x - 1)2 1 2 ' > 0(x > 1) ，函数 g (x ) 在(1，+ ∞) 上单调递增． 则 g (x ) = 1 + - = x 2 x x 2 - 1 所以 g (x ) = x - 2 ln x > g (1) = 0 ， ……10 分 2 2 x 2 2 所以 f (x ) - f ( 1 ) > 0 ，即 f (x ) > f ( 1 ) ． 1 1 x x 2 2又函数 f ( x ) = x 2 - 2 l n x - a 在(0，1) 上单调递减．x < 1 所以0 < x < 1 ，所以 x x < 1． ……12 分1 x 12 222．（12 分）y 2x 2 已知点 A ，B 在椭圆 + = 1(a > b > 0) 上，点 A 在第一象限，O 为坐标原点， a 2 b2 且OA ⊥ AB ．（1）若a = 3 ， b = 1 ，直线 OA 的方程为 x - 3y = 0 ，求直线 OB 的斜率； （2）若△OAB 是等腰三角形（点 O ，A ，B 按顺时针排列），求b 的最大值． 【解】（1）由a = 3 ， b = 1 ，得椭圆方程为 x 2+ y 2 = 1 ．a3⎧ 3 ⎧ 3 ⎪x = 2， ⎧⎪ x ⎪x = - 2， 2 + y 2 = 1， 由⎨ 3 得⎨ 或⎨1 1 ⎪⎩x - 3y = 0， ⎪ y = ⎪ y = - . ⎩2 ⎩ 2因为点 A 在第一象限，所以 A ( 3，1 )． ……2 分2 2 又OA ⊥ AB ，所以直线 AB 的方程为 y - 1 = -3(x - 3) ，即3x + y - 5 = 0 ．2 2⎧x = 12， ⎧x = 3 ， ⎧⎪ x 2 + y 2 = 1， 得⎪ 或⎪ 7 2 由⎨ 3 …… 3 分⎨ ⎨1 1 ⎪ ⎩3x + y - 5 = 0 ⎪ y = - 7 ⎪ y = ， ⎩⎩ 2所以直线 OB 的斜率为k …… 4 分OB（2）法 1：设直线 OA 的斜率为k (k > 0) ，则直线 AB 的斜率为- 1 ．k因为△OAB 是等腰直角三角形（点 O ，A ，B 按顺时针排列）， 所以设 A (x 1，y 1 ) ， B (x 2，y 2 ) ， (x 1 > 0，y 1 > 0，x 1 < x 2 ) ．又OA = AB ，所以 x 2+ y 2= (x - x )2 + ( y - y ， )2 1 1 1 2 12 1 + 1 = 1 + (- 1 )2 x - x 得 y ． k 21 k 12 所以 y = x - x ，即 x = x + y ． 1 2 1 ⨯ y - y 又由OA ⊥ AB ，得 y= -1 ，所以 y = y - x ． 1 2 1 …… 6 分x x - x 2 1 11 2 1y 2x 2 因为点 A (x 1，y 1 ) ， B (x 1 + y 1，y 1 - x 1 ) 在椭圆 a 2 + b2 = 1 上， ⎧ x 2y 2 + = 1， 1 1⎪ y = (x + y ) + ( y - x ) 2 1 1所以 x + 2 2 a 2b 2 所以 ⎨ 1 1 1 1，(x + y )2 ( y - x )2a 2b 2 a 2 b 2 ⎪ 1 1+ = 1，1 1 b 2⎪⎩ a 2 整理得b 2 ( y 1 )2 - 2(a 2 - b 2 ) y 1 + a 2 = 0 ．…… 8 分x 1 x 1所以∆ = 4(a 2 - b 2 )2 - 4a 2b 2 ≥ 0 ，即(a 2 - b 2 + ab )(a 2 - b 2 - ab ) ≥ 0 ．……10 分所以 b ≤ 5 - 1 ，a 22(a 2 - b 2 ) y 5 + 1 2 5 - 1 2 a 2 b 当k = 1 = = - 1 = 时， 取最大值 因为a 2 - b 2 + ab > 0 ， 所以a 2 - b 2 - ab ≥ 0 ，1 12 2 ．……12 分 x 2b 2b 2 a 1法 2：设直线 OA 的斜率为k (k > 0) ，倾斜角为θ (0︒ < θ < 90︒) ．因为△OAB 是等腰直角三角形（点 O ，A ，B 按顺时针排列），且OA ⊥ AB ， 所以直线 OB 的斜率为k OB = tan(θ - 45︒) 或 k OB = tan(θ + 135︒) ． =k - 1 ． 所以k …… 6 分1 + kOB 设 A (x 1，y 1 ) ， B (x 2，y 2 ) ， (x 1 > 0，y 1 > 0，x 1 < x 2 ) ． ⎧ y = kx ， ⎪ a b 2 2得 x = 2由⎨ x 2 ． y 2 1 b + a k + = 1， 2 2 2 ⎪⎩ a 2 b 2⎧ y = k -1 x ，⎪ 由⎨ 1 + k a 2b 2 (1 + k )2 a b 2 2 = = 得 x 2 ． b 2 + a 2 ( k -1)2 b 2 (1 + k )2 + a 2 (1 - k )2 y 22 ⎪ x 2 ⎩ a 2 + = 1，1 + k b 2又OB = 2 OA ，所以2OA 2 = OB 2 ，得2(1 + k 2 )x 2 = ⎡1 + ( k - 1)2 ⎤ x 2 ， ⎣ ⎥⎦ 1 + k 1 2a 2b 2 (1 + k )2 a 2b 2⎡ k - 1 2 ⎤ 2(1 + k ) = ⎢1 + ( ) 2． 2 ⎥ ⎣ 1 + k ⎦ b (1 + k ) + a (k - 1)b + a k2 2 2 22 2 整理得b 2k 2 + 2(b 2 - a 2 )k + a 2 = 0 ，…… 8 分所以∆ = 4(b 2 - a 2 )2 - 4a 2b 2 ≥ 0 ，即(a 2 - b 2 )2 - a 2b 2 ≥ 0 ， 所以(a 2 - b 2 + ab )(a 2 - b 2 - ab ) ≥ 0 ． ……10 分因为a 2 - b 2 + ab > 0 ，所以a 2 - b 2 - ab ≥ 0 ，即( b )2 + b - 1≤ 0 ，aa所以 b ≤ 5 - 1 ，a 22(b 2 - a 2) 5 + 1 2 5 - 1 2 a 2 b 当k = - = - 1 = ……12 分时， 取最大值 ． a 2b 2b 2。