2012数学高考试题及答案
[一、选择题]
1. 已知函数 f(x) = x^2 + bx + c 的图像与 x 轴交于 A, B 两点，且 A、
B 两点的横坐标之和为 -1，则该函数 f(x) 的表达式为：
A) f(x) = x^2 + x + 1 B) f(x) = x^2 + x - 1
C) f(x) = x^2 - x + 1 D) f(x) = x^2 - x - 1
答案：D
2. 已知等差数列 {an} 的公差为 2，若 a1 + a2 + ... + a10 = 100，则
a1 + a4 + a7 + ... + a28 =
A) 252 B) 260 C) 268 D) 276
答案：C
3. 已知几何体的一个棱长为 2，且该几何体的其它各边长全都大于1，则这个几何体可以是：
A) 正四面体 B) 正六面体 C) 正八面体 D) 正十二面
体
答案：C
4. 已知函数 f(x) = log[size(base a)](3x - 2)，其中 a > 1，则 f^(-1)(3) =
A) (a^3 - 2) / 3 B) a^3 - 2 C) a^3 + 2 D) (a^3 + 2) / 3
答案：A
[二、填空题]
1. 某地区市场调查表明，70% 的家庭有电话，80% 的家庭有电视，60% 的家庭有汽车。

调查结果表明至少有一种物品的家庭占总数的百分之几？
答案：90%
2. 设 a = log[size(base 2)]7，b = log[size(base 3)]7，c = log[size(base 7)]2，则 a × b × c =
答案：1
3. 在甲、乙两列数中，甲列为等差数列，乙列为等比数列，甲、乙两列的首项均为 1，且甲列的前 100 项的和等于乙列的前 100 项的积，则公比 q =
答案：10
4. 设函数 f(x) = a^x + b^x + c^x + d^x，其中 a、b、c、d 为正数，且
a > 1，
b > 1，
c > 1，
d > 1，则 f(1) =
答案：4
[三、解答题]
1. 已知函数 f(x) = x^2 + bx + c，若其图像在直线 y = 3x 上方，则函数 f(x) 的图像与直线 y = 3x 交于一个实数解 x，求 b 的取值范围。

解答：
首先，要使函数 f(x) 的图像在直线 y = 3x 上方，即 f(x) > 3x 成立。

代入 f(x) = x^2 + bx + c，得到 x^2 + bx + c > 3x。

化简得 x^2 + (b - 3)x + c > 0。

根据二次函数的性质，当抛物线开口向上时，方程有解；当抛物线开口向下时，方程无解。

根据一元二次不等式的解法，我们可以得到：
当Δ = (b - 3)^2 - 4c > 0 时，即 (b - 3)^2 > 4c 时，方程有解，抛物线开口向上。

当Δ = (b - 3)^2 - 4c = 0 时，即 (b - 3)^2 = 4c 时，方程有一个解，抛物线与直线相切。

当Δ = (b - 3)^2 - 4c < 0 时，即 (b - 3)^2 < 4c 时，方程无解，抛物线开口向下。

综上所述，b 的取值范围为：(b - 3)^2 > 4c。

2. 解方程 log[size(base 2)](x^2 - 2x + 1) + log[size(base 3)](x^2 - 3x + 2) = 4。

解答：
根据对数的性质，log[size(base a)](m) + log[size(base a)](n) =
log[size(base a)](m × n)。

可将方程化简为：log[size(base 2)]((x - 1)^2) + log[size(base 3)]((x - 1)(x - 2)) = 4。

根据等式 log[size(base a)](m) = n 可以转化为 a^n = m。

将方程进一步化简为 (x - 1)^2 × (x - 2) = 2^4 × 3^4。

化简得 x^3 - 5x^2 + 9x - 10 = 0。

解这个方程可使用代数学与综合除法。

化简后方程的根为 x = 2，x = 2 - i，x = 2 + i。

答案：x = 2，x = 2 - i，x = 2 + i。

以上是2012年数学高考试题及答案，希望对您有所帮助。