1
；
0
0 n1
n1
1 x
1 x (1 x)2
而 S(x) x f (x) x ；因此，原式= S(a1) a1 ．
(1 x)2
(1 a1 )2
9．利用级数收敛性判断极限存在 由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此
数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．
求数列极限的十五种方法
求数列极限的十五种方法
1．定义法
N 定义：设{an} 为数列， a 为定数，若对任给的正数 ，总存在正数 N ，使得当 n N 时，
有
an
a
，则称数列
{an
பைடு நூலகம்
}
收敛于
a
；记作：
lim
n
an
a
，否则称{an} 为发散数列．
1
例 1．求证： lim an 1，其中 a 0 ． n
列以外的数 a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性．
3．运用单调有界定理
单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．
例 5．证明：数列 xn a a a （ n 个根式， a 0 ， n 1, 2,
证：由假设知 xn a xn1 ；① 用数学归纳法可证： xn1 xn , k N ；② 此即证 {xn} 是单调递增的．
n0
n0
n
令 Sn
xk1 xk
xn1
x0
，∵
lim
n
Sn
存在，∴
lim
n
xn1
x0
lim
n
Sn
l
（存在）；
k 0
对式子：
xn1
2(1 xn ) 2 xn
，两边同时取极限：
l
2(1 l) 2l
，
∴l
2 或l
2
（舍负）；∴
lim
n
xn
2．
例15．证明： lim(1 1 1 1 ln n) 存在．（此极限值称为 Euler 常数）．
例 4．（有界变差数列收敛定理）若数列 {xn} 满足条件：
xn xn1
x x n1
n2
x2 x1
M，
(n 1, 2, ) ，则称 {xn} 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．
证：令 y1 0,
yn
xn xn1
x x n1
n2
x2 x1
，
那么 {yn} 单调递增，由已知可知：{yn} 有界，故 {yn} 收敛，
sin n sin sin 2 sin n
解：因为： n
n
n n n n n
n
n，
n 1
n1 n 1
n 1
n 1
2
n
n
sin sin 2 sin n
又： lim n
n
n
n
n 1
lim
n
n n 1
1
n
(sin
n
sin
2 n
sin
n n
)
sin sin 2 sin n
从而 0 ， 正整数 N ，使得当 n m N 时，有 yn ym ；
此即
xn xm
xn xn1
x x n1
n2
xm1 xm
；由柯西收敛准则，数列{xn} 收敛．
注：柯西收敛准则把 N 定义中的 an 与 a 的关系换成了 an 与 am 的关系，其优点在于无需借用数
n 1 n2 n
(1
) n1 n1
(1
n
1 n2 2 ) n1
；
n n2
n2
n2
由归结原则：（取 xn
n2 , n 1
n 2,
3,
），
lim(1
n
1)
n2 n1
2
lim(1
n
1)
n2 n1
lim(1
n 1)2
lim(1
n
1)
n2 n1
lim(1
1)x
e
；
n
n2
n
n2
n
n2
n
n2
x
x
由迫敛性，得： lim(1 1 1 )n e ．
解：记：
xn
n2
1 n
1
n2
2 n
2
n2
n n
n
，则：
1 2 n n2 n n
xn
1 2 n n2 n 1
；
∴
n(n 1) 2(n2 2n)
xn
n(n 1) 2(n2 n 1)
；从而
lim
n
n(n 1) 2(n2 2n)
1 2
lim
n
n(n 1) 2(n2 n 1)
，
∴由迫敛性，得： lim( 1 2 n ) 1 ．
(xn )
2(1 xn ) 2 xn
xn1 ,
xn
0,
(n 0, 1,
2,
)，
考虑级数： xn1 xn ； n0
5
求数列极限的十五种方法
由于 xn1 xn f (xn ) f (xn1 ) f '( )(xn xn1) 1 ；
xn xn1
xn xn1
xn xn1
2
所以，级数 xn1 xn 收敛，从而 (xn1 xn ) 收敛．
n n2 n 1 n2 n 2
n2 n n 2
注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用．
2
求数列极限的十五种方法
5．利用定积分的定义计算极限 黎曼积分定义：设为 f (x) 定义在 [a, b] 上的一个函数， J 为一个确定的数，若对任给的正数
0 ，总存在某一正数 ，使得对 [a, b] 的任意分割 T ，在其上任意选取的点集{i } ，i xi1, xi ，
越性，它可以说是求数列极限的洛必达（ L'Hospita ）法则．
8．利用级数求和求数列极限 由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级
数求和的知识使问题得到解决．
例13．求： lim(1 2 n ) ， (a 1) ．
a a n
2
an
解：令 x 1 ，则
lim xn1 xn l ，则有 lim xn l ，其中 l 为有限数，或 ，或 ．
y y n
n1
n
y n n
stolz
定理2： (0) 0
型：若{yn} 是严格递减的趋向于零的数列， n
时，
xn
0且
lim xn1 xn l ，则有 lim xn l ，其中 l 为有限数，或 ，或 ．
n
n n2
注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以
借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决．
7．利用施托尔茨（ stolz ）定理求数列极限
stolz
定理1：
(
)
型：若
{
yn
}
是严格递增的正无穷大数列，它与数列
{xn }
一起满足：
n k 1
sin k 2k
(n 1, 2, 3, ) 为收敛数列．
证：
xn xm
sin(m 1) sin n
2m1
2n
1 1
2m1
2n
1 2m1
1 (
1 2nm
1 1
)
1 2m
1， m
2
0 ，取 N
1
，当
n
m
N
时，有
xn xm
，
由柯西收敛准则，数列 {xn} 收敛．
1
求数列极限的十五种方法
y y n
n1
n
y n n
例11．求：
1p lim
2p
np
(pN) ．
n
n p1
解：令 xn 1p 2p np , yn np1, n N ，则由定理1，得：
1p 2p np
(n 1)p
lim
lim
lim
(n 1)p
1．
n
n p1
n (n 1) p1 n p1 n ( p 1)n p ( p 1) p n p1 1 p 1
n
只要 T ，就有 f (i )xi J ，则称函数 f (x) 在 [a, b] 上（黎曼）可积，数 J 为 f (x) 在 [a, b] i1
上的定积分，记作 J b f (x)dx ． a
1
例7．求：
lim
n
n! 1
nn
2n!
n
．
1
解：原式 lim n n
2n!
lim n n!nn n
例14．设
x0
0
，
xn1
2(1 xn ) 2 xn
(n 0, 1,
2,
)
，证明：数列
{xn
}
收敛，并求极限
lim
n
xn
．
证：由 x0 0 ，可得： xn
0
(n 0, 1,
2,
) ，令 f (x) 2(1 x) , 2 x
(x 0) ，
则0
f '(x) 2 (2 x)2
1 ，且 2
f
n 1n 22n
nn
lim
n
(1
1 n
)(1
2) n
(1
n n
)
n
exp
lim
n