1 2 p 0
分别求出对应于特征值 i 的特征向量 ei (i 1,2, , p) ，要求 ei 1 ，即：
e
j 1
p
2 ij
1
其中 eij 表示向量 e j 的第 j 个分量； （3）计算主成分贡献率及累计贡献率：
贡献率：
i

k 1
p
i 1,2, , p
累计贡献率：

k 1 p k 1
i
kkຫໍສະໝຸດ i 1,2, , p k
取累计贡献率达到 70% 的特征值 1，, 2， ，m 所对应的第 1,2, , mm p 个主 成分； （4）葡萄样品的综合评定的加权分析模型为： F W1 F1 W2 F2 Wn Fn 其中 F 为葡萄样品综合得分， （i=1,2， …n） ， （i=1,2, … Wi 为贡献率 Fi 为因子得分 n） 。 1.3 模型的求解 根据附表 2 中的数据，利用 SPSS 对红白葡萄样品的理化指标进行主成分分 析，提取出各自的主成分以及因子得分，最后结合贡献率求出综合得分排名，结 果如下表： 表 1 红葡萄样品综合得分排名 红葡萄 评分 综合排名 红葡萄 评分 综合排名 葡萄样品 1 0.691202 1 葡萄样品 15 -0.23296 20 葡萄样品 2 0.435825 7 葡萄样品 16 -0.32867 21 葡萄样品 3 0.538394 4 葡萄样品 17 0.456459 5 葡萄样品 4 -0.49785 25 葡萄样品 18 -0.18906 16 葡萄样品 5 0.289863 8 葡萄样品 19 -0.20958 19 葡萄样品 6 0.076453 12 葡萄样品 20 -0.13219 15 葡萄样品 7 -0.4259 23 葡萄样品 21 -0.19872 17 葡萄样品 8 0.583125 3 葡萄样品 22 -0.0664 14 葡萄样品 9 0.455155 6 葡萄样品 23 0.68989 2 葡萄样品 10 -0.7099 27 葡萄样品 24 0.108177 10 葡萄样品 11 0.0932 11 葡萄样品 25 -0.6659 26 葡萄样品 12 0.071345 13 葡萄样品 26 -0.2089 18 葡萄样品 13 -0.34832 22 葡萄样品 27 -0.48189 24 葡萄样品 14 0.207176 9 表 2 白葡萄样品综合得分排名 综合排名 白葡萄 评分 综合排名 23 葡萄样品 15 -0.0192 14 17 葡萄样品 16 -0.8303 28 5 葡萄样品 17 -0.0776 18 15 葡萄样品 18 -0.4117 25 3 葡萄样品 19 -0.5280 26
x11 x 21 X xn1 x12 x1 p x22 x2 p xn 2 xnp
记原变量指标为 x1 , x2 , , x p ， （1）计算相关系数矩阵：
r11 r 21 R rp1
r12 r22 rp 2 r1 p r2 p rpp
根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级 1.1 问题的分析 问题要求根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分 级；主成分分析法是一种通过降维技术把多个变量化为少数几个主成分(即综合 变量)的统计分析方法，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之 间互不相关， 采用这种方法可以克服单一的理化指标不能真实反映酿酒葡萄的全 面特征，引进多方面的理化指标，但又将复杂因素归结为几个主成分，使得复杂 问题得以简化，同时得到更为科学、准确的酿酒葡萄的信息。对酿酒葡萄进行分 级，可以通过将由主成分分析法得到的主成分贡献率进行归一化处理，得到各主 成分之间的相对重要性，进而确定各葡萄样品的加权综合评分，最后根据评分排 名划分葡萄样品的级别。 1.2 模型的建立 设有 n 个样本，每个样本有 p 个变量，构成一个 n p 阶的数据矩阵：
rij i，j 1,2, , p 为原变量 xi 和 x j 的相关系数，其中 rij rji ，计算公式为
rij
x
n k 1
ki
xi xkj x j


2
x
n k 1
ki xi
x
2 n k 1
kj
xj
（2）计算特征值和特征向量： 解特征方程 I R 0 ，用雅克比法求出特征值，使其按大小顺序排列，即：
白葡萄 葡萄样品 1 葡萄样品 2 葡萄样品 3 葡萄样品 4 葡萄样品 5
评分 -0.2600 -0.0746 0.3166 -0.0264 0.4825
葡萄样品 6 0.1793 10 葡萄样品 20 0.3277 4 葡萄样品 7 -0.1404 20 葡萄样品 21 0.1508 11 葡萄样品 8 -0.7980 27 葡萄样品 22 -0.1868 21 葡萄样品 9 0.1032 13 葡萄样品 23 0.2420 8 葡萄样品 10 0.2953 7 葡萄样品 24 0.6353 2 葡萄样品 11 -0.3982 24 葡萄样品 25 -0.0917 19 葡萄样品 12 0.1406 12 葡萄样品 26 0.2177 9 葡萄样品 13 -0.0681 16 葡萄样品 27 0.7026 1 葡萄样品 14 -0.1949 22 葡萄样品 28 0.3122 6 根据葡萄样品综合得分对葡萄进行分级如下： 一级红葡萄：葡萄样品 1、23、8、3； 二级红葡萄：葡萄样品 17、9、15、14、24、11、6、12； 三级红葡萄：葡萄样品 22、20、18、21、26、19、15、16、13； 四级红葡萄：葡萄样品 7、27、4、25、10。 一级白葡萄：葡萄样品 27、24、5、20、3； 二级白葡萄：葡萄样品 10、23、26、6、21、12、9； 三级白葡萄：葡萄样品 15、4、13、2、17、25； 四级白葡萄：葡萄样品 7、22、14、1、11、18、19、8、16。