●系统预测
对系统行为特征指标，建立一组相互关联的灰色预 测模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环 节的变化，~。
3.生成数
●特点：
①不找概率分布； ②不寻求统计特征；
●处理方法：
①累加生成； ②累减生成； ③均值生成； ④ 级比生成；
与概率与数理统计 中各随机变量不同。
减少波动性。 还原用。 序列中空穴数的插值。 序列两头空穴数的补齐。
教学要求：
●清楚灰色系统、生成数等基本概念； ●掌握灰色关联度的计算； ●掌握GM(1,1)的建模及预测； ●了解GM(1,1)残差模型的作用及其实现； ●了解其它灰色预测模型的用途；
教学重点：关联度计算， GM(1,1)预测。 教学难点：GM(1,1)残差模型。
一.灰色系统理论概述
● 80年代，中国华中理工大学，邓聚龙教授创建的；
x1 2.28,2.98,3.39,4.24,6.84,8.64,11.85,12.15,12.71
5.26-2.28 =2.98
二.灰色关联度的分析与计算
——分析系统中各因素关联程度。
●计算过程：
step1:计算关联系数;
设 x0( k ) x0(1),x0( 2 )L x0( n )
多
——参考序列
1.灰色系统的概念
——部分信息已知、部分信息未知的系统，~。
●相对于白色系统，其系统内部特征完全已知或系 统信息是充足的。
●相对于黑色系统，其系统内部信息一无所知，只 能从它与外部的联系来观测。
●举例：电力供求系统
计划体制下——白色系统. 电价确定； 电量需求由用电计划指标决定；
市场条件下——灰色系统. 电价不确定； 电量需求受生产经营状况等因素影响等；
2.灰色预测的分类
●时间序列预测（重点介绍）
用等时距观测到的，反映对象特征的一系列数据， 构造出灰色预测模型，并预测未来某一时刻的特征量， 或者是达到某一特征量所需要的时间，~ 。
●畸变预测
通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值 什么时候出现在特定的时区，~ 。
●波形预测（拓扑预测）
通过灰色模型，预测对于未来变动的轨迹，~。
●计算过程：
原始序列
原始序列 生成序列
x0 x0(1), x0( 2 )L x0( n )
生成序列
序号
x1 x1(1), x1( 2 )L x1( n )
其中：
k
x1( k ) x0( i )
i 1
x1( k 1) x0( k )
1 AGO
●例题 例1:令x1( 0 ) 0
灰色关联分析
——依据因素间发展态势的几何相似或相异程度， 来衡量因素间关联程度的。
①样本多少没有过多要求； ②不需要典型的分布规律； ③计算量少； ④ 不会出现关联量化结果与定性分析不一致的情况；
●算例
已知：
参考序列 Y0 8,8.8,16,18,24,32
被比较数列 Y1 10,11.66,18.34,20,23.4,30
个
xi( k ) xi(1),xi( 2 )L xi( n ),i 1,m
——被比较序列
则关联系数
i (
k
)
min i
min k
x0(
k
)
xi (
k
)
x0( k ) xi( k )
ห้องสมุดไป่ตู้
max i
max k
x0(
k
)
xi(
max max
i
k
x0( k
)
xi( k
)
k
)
其中，x0( k ) xi( k ) 为第k点x0与xk的绝对差；
——累加生成
x0 2.28,2.98,3.39,4.24,6.86,8.64,11.85,12.15,12.71
x1 2.28,5.26,8.65,12.98,19.75,28.35,40.24,52.29,65.10
2.28+2.98 =5.26
x0与x1的变化曲线
70
x0
60
x1
50
40
30
注意：
若单位不一，初值不同的序列，需事先进行初始化，即 将序列中所有的数据分别除以第一个数据。
Step2:计算关联度
i
1 n
n
i ( k
k 1
)，i=1,m
——表示被比较数列与参考数列间的关联度； 为各关联系数的平均值。
●灰色关联分析的主要优势
另一类量化分析方法——数理统计类
（回归分析，方差分析，主成分分析） ①样本量大； ②样本具有较好的分布规律和确定的发展趋势； ③计算量大； ④ 可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象；
解:
Step 1:初始化
x0 1,1.1,2,2.25,3,4
x1 1,1.166,1.834,2,2.34,3 x2 1,1.125,1.075,1.375,1.625,1.75
y0,y1,y2初始化后的变化曲线
4.5 4
3.5 3
2.5 2
Y2 5,5.625,5.375,6.875,8.125,8.75
求：关联度。
y0,y1,y2的变化曲线
35
30
y0
y1
25
y2
20
15
10
5
0
1
y0
8
y1
10
y2
5
2 8.8 11.66 5.625
3 16 18.34 6.375
yo
4 18 20 6.875
5 24 23.4 8.125
6 32 30 8.75
概率统计：要求大样本，事先需知道分布规律； 时间序列：数据的拟合； 灰色理论：少量数据（4个以上）发现规律；
● 是系统理论的新分支 《系统理论工程与实践》（一级刊物）； 《The Journal of Grey System》（SCI）；
● 作为横断学科，广泛应用于社会经济系统，控制系 统等的预测、决策、控制；
20
10
0
1
x0 2.28
x1 2.28
2 2.98 5.26
3 3.39 8.65
4
5
6
7
8
9
4.24 6.86 8.64 11.85 12.15 12.71
12.98 19.75 28.39 40.24 52.29 65.1
例2：令 x1( 0 ) 0 ——累减生成(1——IAGO)
x0 2.28,5.26,8.65,12.89,19.75,28.39,40.24,52.39,65.10
min k
x0(
k
)
xi( k
)
为第一级最小差，
表示在xi序列上，找各点与x0的最小差；
min min ik
x0(
k
)
xi (
k
)
为第二级最小差，
表示在各序列找出最小差的基础上，
寻求所有序列中的最小差。
max max
i
k
x0( k
)
xi (
k
)
为二级最大差，
其含义与二级最小差相似。
称作分辨率，01，一般取 0.5。