地 区 北 京 天 津 河 北 山 西 内蒙古 辽 宁 吉 林 黑龙江 上 海 江 苏 浙 江 安 徽 福 建 江 西 山 东 河 南 城市居民家庭 平均每人每年 消费支出(元) 城市居民人均年 i 可支配收入 (0 元) 城市居民人均年 Y ui (3.1.13) 地 区i 均每人每年消费 1X 可支配收入(元) 城市居民家庭平 支出(元)
16460.26 13422.47 9086.73 8806.55 10828.62 11231.48 9729.05 8622.97 19397.89 11977.55 15158.3 9524.04 12501.12 8717.37 图3.1.1 11006.61 8837.46 24724.89 9477.51 湖 北 19422.53 9945.52 湖 南 i 13441.09 15527.97 广 东 13119.05 9627.4 广 西 14432.55 9408.48 海 南 14392.69 11146.8 重 庆 i i 12829.45 9679.14 四 川 11581.28 8349.21 贵 州 26674.9 9076.61 云 南 18679.52 8323.54 西 藏 1 22726.66 9772.07 陕 西 12990.35 8308.62 甘 肃 17961.45 8192.56 青 海 12866.44 9558.29 宁 夏 样本数据的散点图和样本回归直线 16305.41 8669.36 新 疆 13231.11
i j , i, j 1, 2,
,N
以上这些对随机扰 动项的假定是由德国数 学家高斯（Gauss）最 早提出的，也称为线性 回归模型的经典假定或 高斯假定，满足上述假 定的线性回归模型，称 为经典线性回归模型
（3.1.5）
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二、普通最小二乘法（OLS）
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ˆ) E ( i i
即
ˆ ,E ˆ E 0 0 1 1


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高斯-马尔可夫定理
由以上分析可以看出，普通最小二乘估计量（ordinary least squares estimators）在经典假定下具有线性性、无偏性 和最小方差性等性质，称具有这些性质的估计量为最优线性无 偏估计量（ best linear unbiased estimator ，BLUE）。
3.2.1
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一、总离差平方和的分解
已知由一组样本观测值 ( X i , Yi ) (i 1, 2, ˆ ˆX ˆ Y i 0 1 i
, N ) 得到如下样本回归直线：
（3.2.1）
Y的第 i 个观测值与样本均值的离差 yi Yi Y 可分解为两部分之和
假定4：零均值假定
假定5：同方差假定
E (ui | X i ) 0,
i 1, 2,
,N
假定6：无自相关假定
（3.1.3）
即
Var (ui | X i ) E[ui E (ui | X i )]2 E (ui 2 ) 2
i 1, 2, , N
（3.1.4）
即
Cov(ui , u j ) 0
第三章 一元线性回归模型
§3.1 §3.2 §3.3 一元线性回归模型参数的估计 拟合优度 回归参数的区间估计和假设检验
§3.4 § 3.5
例子：中国消费函数 对最小二乘估计量统计性质的直观认识---蒙特卡洛模拟
本章小结
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§3.1 一元线性回归模型参数的估计
i
2 i 2 i 2 i 2 i
x y (X
i i
i
X )(Yi Y ) 1 X i Yi N
X iYi
（3.1.11）
于是，估计量（3.1.9）可以表示为离差形式： ˆ x y x （3.1.12）
i i 1
ˆ ˆ 0 Y 1 X
其中 Y为 13152.86 i 13821.16 城市居民家庭平均每人每年消费支出；X 为城市居民人均 19732.86 年可支配收入。使用这组样本数据，对(3.1.13)做最小二乘 14146.04 12607.84 估计，结果为 14367.55 ˆ 725.3459+0.6647X （3.1.14 Y ） 12633.38
Cov( X i , ui ) E[ui E (ui )][ X i E ( X i )] 0
i 1, 2, , N
（3.1.2）
即模型对变量和函数形式没有设定偏误， 它的确切含义将在第５章中讨论。 《计量经济学》，王少平、杨继生、欧阳志刚主编
2、对随机扰动项的假定
即在给定解释变量的条件下，随机扰动 项的条件均值为零
在第二章，我们以人为设计的收入 与消费数据，讨论了总体回归模型与样 本回归模型。本章分析一元线性回归模 型的经典假定，以及经典假设下的最小 二乘估计方法和估计量的统计性质、区 间估计、假设检验，并运用蒙特卡洛模 拟直观认识和验证最小二乘估计量的统 计性质。
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归函数可知，边际消费倾向 增加1元，消费平均增加0.6647元。
ˆ 0.6647 从样本回 ， 也就是说收入每
11758.76 13250.22 12481.51 12857.89 10969.41 11640.43 12931.53 11432.1
样本点紧密散布在样本回归直线周围，有的样本点 数据来源：《中国统计年鉴2009》 落在样本回归直线上，但是大多数样本点不在样本回归 请回答：我国宏观经济中的边际消费倾向是多少？ 直线上，而是在直线上方或者下方，那么这条样本回归 直线“逼近”了总体回归直线吗？为什么要用普通最小 二乘法？如何度量样本回归模型对样本观测值的拟合程 度?要回答这些问题，我们必须学习估计量的统计性质和 模型的拟合优度等概念。
0 1
（3.1.8） 正则方程
第二步 对残差平方和求两个系数的偏导数 （一阶条件）
N N N N 2 X i Yi X i Yi X i i 1 i 1 i 1 ˆ i 1 ˆX Y 0 1 N N 2 2 N X i ( X i ) i 1 i 1 N N N N N Yi X i Yi X i (Yi Y )( X i X ) ˆ i 1 i 1 i 1 i 1 N 1 N N N X i2 ( X i ) 2 (Xi X ) 2 i 1 i 1 i 1 （3.1.9） （3.1.9）式即为OLS估计量
y
可以证明
2 i
2
i
ˆi 2 u ˆi 2 2 y ˆi u ˆi y
i i
（3.2.3)
记
ˆu ˆ 0 所以 y ， ˆ u ˆ y y y (Y Y ) TSS
2 2 i i
（3.2.5) （3.2.4）
2
2
i
i
ESS称为回归平方和（explained sum of squares，ESS），反映由模 型中解释变量所解释的那部分离差的大小。 2 2 ˆ ˆ （3.2.6) y ( Y Y ) ESS i i RSS称为残差平方和（residual sum of squares，RSS），反映样本观测值 与估计值偏离的大小，也是模型中解释变量未解释的离差。
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6
第一步 构造含有待估计系数的残差平方和 并对其求最小
N Q ˆ ˆ X )0 2 ( Y i 0 1 i ˆ N N 0 i 1 2 ˆ ˆ X )u ˆ ˆi min Q u ( Y i i 0 1 i ˆ ˆ N , 1 i 1 Q i2 ˆ ˆ X )X 0 (Y i 3.1.70 i （ ） 1 i ˆ i 1 1
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对第二步的进一步演算 在（3.1.9）式中，令 xi X i X ， yi Yi Y 和分别称为Xi和Yi的离差形式， 也可称为对Xi和Yi的中心化处理。为方便，我们 以下分析过程中，将和号 简写为 。容易证明： x 0 x (X X ) 1 （3.1.10） X ( X ) N
一元线性回归模型是指模型中只有一个解释变量的模型，也称为简单 线性回归模型，其一般形式是：
Yi 0 1 X i ui
i 1, 2,
,N
（3.1.1）
Y为被解释变量，X为解释变量。因为模型中共有两个变量，所以，模 型（3.1.1）也被称为双变量线性回归模型，β 0与β 1为待估参数，ui为随机 误差项或随机扰动项。
基于假定3，我们对模型（3.1.1）取条件期望，则有： （ i i 0 1 i 3.1.6）
E (Y X ) X
即：
Yi E (Yi X i ) u i
Yi的变化可以分为两部分，一部分是可以由Xi的变化解释 的，另一部分来自随机扰动。Yi向Xi所解释的“平均水平”回 归，这就是“回归”的含义。而斜率系数β 1是指，Xi每变化一 个单位，Yi平均变化β 1个单位。β 0是样本回归直线的截距。
2 i
ˆ ˆ 在计量经济学中，往往以小写字母表示对均值的离差。由于 和 是从最小二乘原理推导出来的，故称为普通最小二乘估计量。将样本数据 代入估计量的计算公式（3.1.12）即可求得参数的估计值。
0
1
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我们设定 例3.1.1 题目 解答 思考 样本回归模型 表3.1.1 2008年中国各地区城市居民人均年消费支出和可支配收入