l
B FIB m1 g
2、给系统有一虚位移 。A、B、C 三处的虚位移分别为rA、rB、 rC
C
3、应用达朗贝尔－拉格朗日方程
m2 g
y1
FIA δ xA FIB δ xB m1g δ y A m1g δ yB m2 g δ yC 0
O1
x1
根据几何关系，有
rA
FIA A m1 g
l l
Bx
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
4 基本拉格朗日方程
由于约束条件, n个矢径并不独立. 现在引入独立的广义
坐标q
把矢径用广义坐标表示出
ri
ri
q1, q2,, qs
;
t
对时间求导
dri
ri
s
ri
d q
dt t 1 q dt
因为位矢只是广义坐标和时间的函数, 它对广义坐标的 偏导数也是广义坐标和时间的函数, 因此速度就是广义 坐标、广义速度以及时间的函数, 但是位矢对时间和 广义坐标的偏导数并不是广义速度的函数.
rC
l
l
CxA＝-lsin yA＝lcos xB＝lsin yB＝lcos yC＝2lcos
δxA＝-lcos δ δyA＝ lsinδ δxB＝lcos δ δyB＝ lsinδ δyC＝ 2lsinδ
FIA δ xA FIB δ xB m1g δ yA m1g δ yB m2 g δ yC 0
拉格朗日
第五章 分析力学
哈密顿
§5.3 拉格朗日方程
导读
• 达朗贝原理 • 基本拉格朗日方程 • 广义速度 广义动量 • 保守系的拉格朗日方程 • 循环积分
1 达朗伯原理
按照牛顿运动定律, 力学系统的第i质点的运动方程是
Fi
Ri
miri
0
只要把最后一项理解为一种力, 上式就变为平衡方程的
类型. 事实上, 研究第i质点的运动时, 若选用跟随这质点
－ O1 y1轴的旋转角速度。
求：
－ 的关系。
解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系
统具有一个自由度。
取广义坐标 q=
rA
FIA A m1 g
1、分析运动、确定惯性力
O1
x1 球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。
l l rB 球A、B的惯性力为 FIA＝FIB＝mlsin 2
l
rC
2、圆轮质心C2相对于三 棱柱加速度ar。
x
解：1、分析运动
三棱柱作平移，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae= a1 ；质心的 相对加速度为ar；圆轮的角加速度为2。
y
A a1
OC
M12
D
2
ae C2
C1
F12 m2g
F11
B
m1g
2、施加惯性力
FI1 m1a1
FI2e m2a1
一同平动的参考系统, 这质点显然是(相对)静止的, 它应
当遵守平衡方程. 最后一项就是惯性力. 这就叫作达朗伯
原理.
n
Fi
miri
ri
0
i 1
(5.23)
——达朗伯-拉格朗日方程
达朗伯原理是以牛顿定律加上理想约束假定作 为逻辑推理的出发点导出的. 从这个基本法出发再 利用约束对虚位移的限制关系式, 可以导出力学系 统的动力学方程，从而概括了力学系统的运动规律. 由于约束的性质是纯几何的或运动学的, 因此可认 为真正作为动力学理论的逻辑出发点就是这个基本 方程, 故称之为“原理”. 这比承认牛顿定律再加上 理想约束假定作为出发点更为简洁和富有概括性. 当存在非理想约束时, 达朗伯原理也适用,它可叙述 为：主动力和非理想约束力及惯性力的虚功之和为 零. 对于完整约束或非完整约束, 这个原理都适用, 因此它可以称为分析动力学的普遍原理.
2m1lsin2lcosδ 2m1glsinδ 2m2 glsinδ 0 2 (m1 m2 )g m1lcos
例 题 2(略）
质量为m1的三棱柱ABC通过滚 轮搁置在光滑的水平面上。质量
为m2、半径为R的均质圆轮沿三棱 柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A
C1
OC
D C2
B
求：1、三棱柱后退的加 速度a1；
＊ 应用达朗贝尔－拉格朗日方程时，需要正确 分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计 算相应的虚功。
＊ 由于达朗贝尔－拉格朗日方程中不包含约束 力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆 开。
3 应用举例
O1
x1
l l
A
B
l
l
C
y1
例 题 1 离心调速器
已知：
m1－球A、B 的质量；
m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度；
sin
1 g
(a1cos
3 2
ar
)
0
令 δ x 0，δ 0
(FI1 FI2e )δ x FI2rcosδ x 0
y
M12 D
ar
(m1 m2 )a1
mcos
求解联立方程，得：
A
F12r
C2
x
C1
F12 m2g
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
OC
m1g
F11
i
i 1,2, ,n
适用于具有理想约束或双面约束的系统； 适用于具有稳定（或非非稳定）约束的系统； 适用于具有完整（或非完整）约束的系统； 适用于具有保守力（或非保守力）的系统。
＊ 达朗贝尔－拉格朗日方程主要应用于求解动力 学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规 律。
＊ 应用达朗贝尔－拉格朗日方程求解系统运动 规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施 加惯性力。
因为广义速度也是独立的, 所以
ri
q
q
ri t
s
ri
1 q
q
ri q
q
s
q
FI2r m2ar
x
M I2r J2α 2
J2
1 2
m2
r
2
y
M12 D
A
x
OC
F12r
C2
C1
F12 m2g
F11
Bx
m1g
3、确定虚位移
考察三棱柱和圆盘组成的 系统，系统具有两个自由度
δ x，δ
4、应用达朗贝尔－拉格朗日方程
令 δx 0，δ 0
m2 gsin Rδ FI2ecos Rδ FI2r Rδ －J 22 Rδ 0
2 动力学普遍方程
(Fi mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, ,n)
i
Fi Fix , Fiy , Fiz ,ai xi , yi ,zi ,δ ri δ xi ,δ yi ,δ zi
动力学普遍方程的直角坐标形式
(Fix mi xi ) δ xi (Fiy mi yi ) δ yi (Fiz mi zi ) δ zi 0