注意： 1 阵点可以代表原子、离子、分子甚至原 子团，是这些质点的几何中心。 2 每个阵点在空间分布必须具有完全相同 的周围环境(surroundings)。 相同是指任一阵点周围的阵点数、阵点 排列方式、阵点间间距都一样。 只有满足上述两个条件的阵点组成的空间 阵列才能称为空间点阵。
2. 晶格
④ 将倒数约成互质整数，加一圆括号(hkl)。
Intercepts: a, a,∞ Reciprocals: a/a, a/a, a/∞ = 1, 1, 0 Miller index for this plane : (1 1 0)
Intercepts: 1/2a, a,∞ Reciprocals: 2a/a, a/a, a/∞ = 2, 1, 0 Miller index for this plane : (2 1 0)
要点： 1 晶体结构与空间点阵的区别；
2 晶胞的概念；
3 晶格常数。
晶体结构有多少种？ 1 空间点阵
将晶体中原子或原子团抽象为纯几何 点（阵点 lattice point），即可得到一个由 无数几何点在三维空间排列成规则的阵列 —空间点阵（space lattice）。
空间点阵是具体的晶体结构的几何抽象。
• 晶面指数意义的讨论
1 一个晶面指数所代表的不仅是某一晶 面，而是代表着 一组相互平行的晶面。
2 若两晶面指数相同，但符号相反，表示 两晶面平行，通常可认为是同一晶面。 晶面族：晶面性质一样的晶面，它们在 空间并不一定平行，用{hkl}表示。属于 同一晶面族的晶面指数特点是数字绝对 值相同，但排列顺序不同。 如{100}晶面族：代表晶胞中的3个表面， 分别为(100), (010), (001)。 {111}晶面族：4个。
例如晶胞的六个柱 面的晶面族 {100}：
• 六方晶系的坐标轴
六方晶系采用四轴 坐标标定，a1、a2、a3 之间的夹角均为120o。 晶面指数表示为(hkil)， 晶向指数表示为[uvtw]。 用这种标定方法， 晶面 族，晶向族就可以从指 数上反映出来。例如， 六个柱面的 晶面族指数 分别为：
在三维空间中独立的坐标轴只有三个。因 而应用此方法标定的指数形式上是四个，但前 三个指数中只有两个是独立的，它们之间有如 下关系：
布拉菲点阵： 1848年， Bravais根据“每个阵点 周围环境相同”的要求，在考虑了晶胞 中阵点的具体排列方式的基础上，从数 学上证明了空间点阵中阵点的排列方式 只有14种，这14种空间点阵就叫 Bravais点阵，它们分属7大晶系。
晶体结构与空间点阵
晶体结构是指实际晶体中的结构单元（原 子、离子、分子、分子团等）在三维空间的具 体的规律排列方式，种类数量几乎是无限。 它和空间点阵的关系为：
3 立方晶系中晶面的法线
在立方晶系中，晶面的面法线就
是与它数字相同的晶向指数。
如(hkl)晶面的面法线为[hkl]， 这条规则必须牢记，讨论晶体滑移 系、位错滑动和晶体塑性变形时要反复 使用。
3．六方晶系晶面和晶向指数标定
立方晶系的方法依 然适用。a1，a2，c晶 轴为单位长度建立坐 标系，但a1轴与a2轴的 夹角γ为120°，c轴与 a1，a2轴相垂直(α,β)。 用这种方法标定的 晶面族指数和晶向族 指数，数字不同，和 立方晶系不同，看不 出它们的等同关系。
1 晶胞中原子数 (Number of Atoms in Unit Cell)
一个晶胞内所包含的原子数目。 体心立方晶胞：2个。 面心立方晶胞：4个。 密排六方晶胞：6个。
2 原子半径 r 与点阵常数 a 的关系
严格的说，原子半径并不是一个常数，它 随外界条件（温度）、原子结合键、配位数而 变，在理论上还不能精确地计算原子半径。 定义为晶胞中原子密排方向上相邻两原子 之间平衡距离的一半，用点阵常数表示。
1 晶向指数的标定
①建立以晶胞的边长作为单位长度的右旋坐标系。 ②将待定晶向平移至坐标原点。 ③求该晶向上离原点最近的节点在坐标上的投影。 ④所得结果约成互质整数，加一方括号[uvw]。
• 晶向指数意义的讨论 1 一个晶向指数表示着所有相互平行、 方向一致的晶向指向，并不是指一根直 线的指向； 2 若两个晶向指数的数字相同，但符号 相反，表示它们所指方向相反， 3 晶向族：立方晶系中因对称关系，有 些晶向虽不平行，但质点排列方式和间 距完全一样，它们属于同一晶向族，用 <u v w>表示
晶体结构 = 空间点阵 + 结构单元
如：Cu, NaCl, CaF2有不同的晶体结构， 但都属于面心立方点阵。 思考题：空间点阵与布拉菲点阵。
三、 晶向指数与晶面指数
（Miller Indices of Crystallographic Directions and Planes） 在晶体中，由一系列原子所组成的平面称 为晶面，原子在空间排列的方向称为晶向。 晶体的许多性能都与晶体中的特定晶面和晶 向有密切关系。为区分不同的晶面和晶向， 采用晶面和晶向指数来标定。
图2—9 确定晶面
第二节、典型金属的晶体结构
（Crystal Structure of Metals）
绝大多数金属都具有比较简单、高对称性 的晶体结构，其中最典型、最常见的晶体结构 有三种类型: 体心立方结构、面心立方结构和 密排六方结构。
原因如下： - Typically, only one element is present, so all atomic radii are the same. - Metallic bonding is not directional. - Nearest neighbor distances tend to be small in order to lower bond energy.
(2) 两不平行晶向 [u1v1w1] 和 [u2v2w2] 所在的晶 面 (hkl) 为： h = v1w2－v2w1；k = w1u2－w2u1；l = u1v2－u2v1
6. 晶面间夹角
• 立方系
cos h1h2 k1k 2 l1l2
2 2 2 (h12 k12 l12 )( h2 k 2 l2 )
体心立方晶胞：体对角线[111]晶向上的原 子彼此相切，4r =√3a，r = √3a/4; 面心立方晶胞：面对角线[110]晶向上的原 子彼此相切，r = √2a/4 ;
密排六方晶胞：上下底面的中心原子与周 围六个角上的原子相切，r = a/2。
3. 配位数与致密度 配位数和致密度是定量反映晶体中原子 排列紧密程度的两个参数。 配位数(N)：晶体结构中与任一原子距离相 等且最近的原子数。 致密度(K)：晶胞中原子所占的体积分数。 这两个参数越大，表示晶体中原子排列 越紧密。
5．晶带 (Crystal zone) 所有平行或相交于同一直线的晶面构 成一个v w]与该晶带的晶面（h k l） 之间存在以下关系： hu + kv + lw = 0 凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为 晶带轴的晶带，故此关系式也称作晶带 定律。
• 晶带定律应用举例
晶向族举例： <100> 代表晶胞六根棱边：[100], [010], [001], ………； <111> 代表晶胞中8根体对角线；
<110> 代表晶胞中12根面对角线。
属于同一晶向族的晶向指数特点？
数字相同，但绝对值和排列顺序不同。
2 晶面指数的标定
① 建立以晶胞的边长作为单位长度的右旋坐标系 ② 求待定晶面在各坐标轴上的截距。 ③ 取截距的倒数。
将阵点用一系列平行直线连接， 构成一空间格架称晶格。
3．晶胞 (Unit Cell) 晶胞：从点阵中取出一个能保持点阵几何特征 的基本单元。显然晶胞作三维堆砌就构成了晶 格。同一空间点阵可因选取方式不同而得到不 同的晶胞。
选取晶胞的原则：
Ⅰ)晶胞形状应能充分反映点阵的对称 性； Ⅱ）晶胞体内的棱和角相等的数目应最 多；每个顶角上都要有一个阵点； Ⅲ）当平行六面体的棱角存在直角时， 直角的数目应最多； Ⅳ）在满足上述条件下，晶胞应具有最 小的体积。
反过来： U = u - t; V = v - t; W = w
4．晶面间距（Interplanar crystal spacing）
两相邻近平行晶面间的垂直距离—晶面间 距，用dhkl表示,面间距计算公式见(1-6)。 通常，低指数的面间 距较大，而高指数的 晶面间距则较小 晶面间距愈大，该晶 面上的原子排列愈密 集；晶面间距愈小， 该晶面上的原子排列 愈稀疏。
三种典型金属晶体结构一览 体心立方结构 (bcc)
Body centered cube 在体心立方晶胞中，原 子分布在立方晶胞的八个顶 角及其体心位置。具有这种 晶体结构的金属有Cr、V、 Mo、W和α-Fe等30多种。 刚 球 模 型
阵 点 模 型
面心立方结构 (fcc) Face centered cube
4. 点阵常数（晶格常数）
按此原则选出的晶胞为一平行六面体， 它的尺寸和形状用点阵常数（晶格常数） 来描述，包括晶胞的各边长度和各边之间 的夹角。
二、晶系与布拉菲点阵 （Crystal System and Bravais Lattice）
晶系：不考虑晶胞中阵点的排列方式，只 考虑点阵参数的差异，晶胞就只有七种形 状。在晶体学中它们代表了七种晶体类型， 称为七大晶系。
(1) 已知两不平行的晶面(h1k1l1),（h2k2l2) 求晶带轴[uvw]。
h1u + k1v + l1w = 0 h2u + k2v + l2w = 0
u v w = = =C k1l1 l1h1 h1k1 k 2l2 l2 h2 h2 k 2
令C = 1，展开此式得书上式（2-7）。
注意，此式只适用于立方晶系。
在面心立方晶胞中， 原子分布在立方晶胞的八 个顶角及六个侧面的中心。 具有这种晶体结构的金属 有Al、Cu、Ni和γ-Fe等约 20种。