向量误差修正模型
1）两个变量的VAR（1）模型的VECM
y1t y2t
0.4 0.2
1.5 1.5
y1,t 1 y2,t 1
1t 2t
在这个例子中，
0.6 1.5 0.2 0.5 使y1t的系数为1。这样，就可以定义 Zt y1t 2.5 y2t 为平稳的协整变量。
以写成：
y1t
Zt Byt 1
b2
b3
Hale Waihona Puke y2t y1t
b2
y2t
b3
y3t
y3t
（10.51）
根据定义，Z t 就是一个一维的随机
变量，协整向量 B 1 b2 b3(标准化了
的形式)。
调整系数矩阵A就是一个 31的向 量，从而对应的VECM形式可以写成：
增加或者减小的变化，实际上是一种
调整，所以称为误差修正。因为这里
我们研究的对象是VAR模型，所以VECM
的名字由此而来。
根据定义，矩阵A衡量了 Yt中每个 变量是如何调整，从而回复到长期的
均衡关系的水平上。所以，矩阵A经常
被称为调整系数。另外，在实践中，
经常对协整向量B进行标准化。
10.4.2 VECM模型的演示
从长期来看，即所谓的均衡状态或 者静止状态，这样的关系精确地存在， 所以在长期，我们有：
Zt BYt 0
然而，从短期来看，例如对于每个 确定的时刻t，都存在偏离协整关系 BYt 的成分。这种偏离代表了这些长期关系 在短期内的一定程度的非均衡状态，所 以偏离成分一般被称为误差。
因此，AZt1 ABYt1 促使Yt 增加或者 减少，从而使得 BYt朝着它的长期均值 移动(长期均值为0，为什么?)。这种
10.5 确定性趋势与协整分析
在VAR模型中是否包含常数项，可 以影响到协整检验的分析。所以，在大 部分情况下，我们需要明确选择是否在 VECM模型中加入常数项。为了将核心的 问题讲清楚，我们使用VAR(1)模型来讨 论向量协整分析中的确定性趋势设立问 题。
第一种情况，是最简单的情形， 即假设Yt的组成变量都不含有确定性 趋势，协整向量中也不含有确定性趋 势变量（即常数项），即：
Yt A(BYt1 c0 c1t) A 0 t (10.60)
第五种情况，假设 Yt含有二次型 趋势项，协整关系等式含有线性趋势 项，即：
或者写成：
y1t 0.6( y1,t1 2.5y2,t1) 1t （10.49）
y2t 0.2( y1,t1 2.5y2,t1) 2t
2） 3个变量的VAR（1）模型与VECM
VAR模型的ADF形式，即：
Yt Yt1 t
或者写成：
y1t 11 12 13 y1,t1 1t
0.4
0.2
1.5 1.5
y1,t 1 y2,t 1
1t 2t
在这个例子中，
0.6 0.2
1.5 0.5
使y1t的系数为1。这样，就可以定义
Zt y1t 2.5 y2t
为平稳的协整变量。
这样，本例中的VAR模型对应的
y1t a1
1t
y2t
a2
Zt
1
2t
y3t a3
3t
(10.52)
a1
y1,t1 1t
a2
1
b1
b2
y2,t
1
2t
a3
y3,t1 3t
y2t
21
22
23
y2,t
1
2t
y3t 31 32 33 y3,t1 3t （10.50）
从最简单的协整情况开始，如果在 这三个变量存在一个协整关系，即
r rank() 1，那么平稳的线性组合可
VECM形式就可以写成：
y1t
y2t
0.6 0.2
1
2.5
y1,t 1 y2,t 1
1t 2t
0.6 0.2
y1,t 1
2.5
y2,t
1
12tt（ 10.48）
第三种情况，假设 Yt 的组成变量 含有线性趋势变量（线性趋势变量 就是指以时间t形式表现的），而协 整等式中含有截距项，即：
Yt A(BYt1 c0 ) A 0 t (10.59)
其中：A指的是在协整关系之外的确 定性趋势项， 0表示系数矩阵。
第四种情况，假设 Yt和协整关系 式中都含有线性趋势项，即：
因此，AZt1 ABYt1促使Yt 增加或者减 少，从而使得 BYt 朝着它的长期均值移动 (长期均值为0，为什么?)。这种增加或者
减小的变化，实际上是一种调整，所以称
为误差修正。
10.4.2 VECM模型的演示
1）两个变量的VAR（1）模型的VECM
y1t y2t
10.4 向量误差修正模型（VECM）
10.4.1 VECM的表达形式
对于含有n个变量的VAR模型，当对 应的矩阵 的秩介于0和n之间的时候，
即0 r n ，这n个变量之间存在 r 个协整
关系。让我们定义一个 r 维的矩阵B，
其中B的列含有 (nr) 个不同的线性独立 协整向量，所以 rank(B) r 。
Yt Yt1 t ABYt1 t (10.56)
其中，, A和B与前面的定义相同。
第二种情况，假设Yt的组成变量都 不含有确定性趋势，而协整向量中含有
确定性趋势，即：
ZYtt
BYt c0
AZt1 t
或者写成：
(10.57)
Yt A(BYt1 c0 ) t Yt1 Ac0 t(10.58)
