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上海市虹口区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

上海市虹口区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题(本大题共5小题,共15.0分)1.若1a <1b<0,则下列不等式:①a<b;②|a|>|b|;③a+b<ab;④ba+ab>2,其中正确的是()A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④2.设a∈R,则“a>0”是“a2>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数f(x)=√1−5x的值域为()A. [0,+∞)B. (0,+∞)C. [0,1)D. (0,1)4.已知y=f(x)是定义在R上的函数,下列命题正确的是()A. 若f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且在(a,b)内有零点,则有f(a)⋅f(b)<B. 若f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)⋅f(b)>0,则其在(a,b)内没有零点C. 若f(x)在区间(a,b)上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)⋅f(b)<0,则其在(a,b)内有零点D. 如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)⋅f(b)<0,则其在(a,b)内有零点5.已知函数f(x)=(x−1x)⋅cosx,x∈[−π,π]且x≠0,则下列描述正确的是()A. 函数f(x)为偶函数B. 函数f(x)在(0,π)上有最大值无最小值C. 函数f(x)有2个不同的零点D. 函数f(x)在(−π,0)上单调递减二、填空题(本大题共14小题,共42.0分)6.集合{x|63−x∈R,x∈N}用列举法表示为________.7.命题“若a>1且b>1,则a+b>2”的否命题是______.(选填“真”或“假”)8. 函数f(x)=1−2x ,x ∈[1,2]的值域为______ .9. 设函数f(x)={x 2−2x ,(x ⩽0)f(x −3),(x >0),则f (5)的值为________. 10. 不等式|x +3|>1的解集是______ .11. 设α∈{−3,−2,−1,−12,13,12 ,1 , 2,3},则使得f(x)=x α为奇函数且在区间(0,+∞)上单调递减的α的值为___________.12. 已知f(x)是R 上的奇函数,g(x)=1−f(x),则g(0)=________.13. 已知4a =2,lgx =a ,则x =__________.14. 函数y =(3−x)(2+x),−2≤x ≤2的最大值为_________.15. 若函数y =a x +b 的定义域为[0,2],值域为[14,1],则a 的值为__________.16. 函数f(x)=x 2−2x +3在[0,a +2]上最大值为3,则a 的取值范围______ .17. 已知函数f(x)=2x−1(x ∈[2,6]),则函数的最大值为__________.18. 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(x)<f(1)的x 的取值范围是______ .19. 函数f (x )=√−x 2+2x +3的单调递减区间是 _____________ .三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)20. 解下列方程:(1)9x −4⋅3x +3=0;(2)log 3(x 2−10)=1+log 3x.21. 已知函数f(x)=1−2x 1+2x(1)分别求出f (1),f (a )的值.(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明;22.“双十一”期间,某电商店铺A的活动为:全场商品每满60元返5元的优惠券(例如:买130]=130−5×2=120(元).其中[x]表示不大元的商品,可用两张优惠券,只需付130−5×[13060于x的最大整数).此外,在店铺优惠后,电商平台全场还提供每满400元减40元的优惠(例如:店铺A原价880元的一单,最终价格是880−5×14−40×2=730(元)),店铺优惠后不满400元则不能享受全场每满400元减40元的优惠活动.(1)小明打算在店铺A买一款250元的耳机和一款650元的音箱,是下两单(即耳机、音箱分两次购买)划算?还是下一单(即耳机、音箱一起购买)划算?(2)小明打算趁“双十一”囤积某生活日用品若干,预算不超过700元,该生活日用品在店铺A的售价为30元/件,试计算购买多少件该生活日用品平均价格最低?最低平均价格是多少?23.求函数y=2x+1(x<0)的反函数.24.已知函数f(x)=x|x2−12|的定义域为[0,m],值域为[0,am2],则实数a的取值范围是.25.已知函数f(x)=.√ax2+ax+3(1)若函数定义域为R,求实数a的取值范围;,1),求实数a的值.(2)若函数定义域为(3a-------- 答案与解析 --------1.答案:D解析:本题综合考查不等式的性质,属于基础题.由1a <1b<0可得b<a<0,根据不等式性质判断各式正误即可.解:由1a <1b<0可得b<a<0,则:①a>b;②|a|<|b|;③a+b<ab;④ba +ab>2.即正确的不等式有③④.故选D.2.答案:A解析:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,属于基础题.根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解:由a>0可得a2>0,由a2>0得a≠0即可,即“a>0”是“a2>0”的充分不必要条件,故选A.3.答案:C解析:根据指数函数性质及面函数性质,求值域即可,本题考查指数函数的范围及值域值域的求法,属基础题.解:∵5x>0,∴0≤1−5x<1,∴0≤√1−5x<1,∴0≤ y<1,所以函数f(x)=√1−5x的值域为[0,1).故选C.4.答案:D解析:解:①y=x2,在(−1,1)内有零点,但是f(−1)⋅f(1)>0,故A不正确,②y=x2,f(−1)⋅f(1)>0,在(−1,1)内有零点,故B不正确,③若f(x)在区间(a,b)上的图象是一条连续不断的曲线,f(a)=−1,f(b)=1,在(a,b)恒成立有f(x)>0,可知满足f(a)⋅f(b)<0,但是其在(a,b)内没有零点.故C不正确.所以ABC不正确,故选;D据函数零点的定义,函数零点的判定定理,运用特殊函数判断即可.本题主要考查函数零点的定义,函数零点的判定定理,利用特殊值代入法,排除不符合条件的选项,是一种简单有效的方法,属于基础题5.答案:B解析:解:A.函数的定义域关于原点对称,则f(−x)=(−x+1 x )⋅cosx=−(x−1x)⋅cosx=−f(x),即函数f(x)为奇函数.故A错误,B.当x∈(0,π)时,设g(x)=x−1x,ℎ(x)=cosx,当x∈(0,1]时,g(x)<0,且为增函数,ℎ(x)为减函数,且ℎ(x)>0,此时f(x)为增函数,当x∈(1,π2)时,g(x)>0,且为增函数,ℎ(x)为减函数,且ℎ(x)>0,此时f(x)≥0,当x∈[π2,π)时,g(x)>0,且为增函数,ℎ(x)为减函数,且ℎ(x)<0,此时f(x)<0,则函数f(x)为减函数无最小值,则函数存在极大值,同时也是最大值,故B正确,C.由f(x)=(x−1x )⋅cosx=x2−1xcosx=0得cosx=0或x2−1=0,即x=±1或x=π2或x=−π2,即函数f(x)有4个不同的零点,故C错误,D.当x∈(−π,0)时,设g(x)=x−1x,ℎ(x)=cosx,)时,g(x)和ℎ(x)都是增函数且ℎ(x)<0,g(x)<0,此时f(x)为减函数,当x∈(−π,−π2当x∈(1,π)时,g(x)和ℎ(x)都是增函数且ℎ(x)>0,g(x)>0,此时f(x)为增函数,故函数f(x)在(−π,0)上不单调,故D错误,故选:B.A.根据函数奇偶性的定义进行判断,B.将函数分解为g(x)=x−1,ℎ(x)=cosx,讨论g(x)和ℎ(x)的单调性和符号,进行判断,xC.根据函数零点的定义解方程f(x)=0进行判断,D.将函数分解为g(x)=x−1,ℎ(x)=cosx,讨论g(x)和ℎ(x)的单调性即可.x本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断,涉及函数奇偶性,单调性以及函数与方程的应用,综合性较强,难度较大.6.答案:{0,1,2}解析:解析:本题考查集合的表示方法,根据列举法定义表示出来即可.∈R,x∈N},解:集合{x|63−x用列举法表示为{0,1,2}.故答案为{0,1,2}.7.答案:假解析:本题考查命题的否命题及真假判断,属于基础题.由互为逆否命题的命题同真假,判断原命题即可.解:由题意,命题“若a>1且b>1,则a+b>2”的逆命题是:“若a+b>2,则a>1且b>1”,例如:a=1,b=3时,此时a+b>2成立,但a>1且b>1不成立,则逆命题为假命题,根据四种命题的等价关系,原命题的逆命题与否命题是等价的,所以其否命题也是假命题.故答案为:假.8.答案:[−3,−1]解析:解:函数f(x)=1−2x,是减函数,x∈[1,2]的值域为:[−3,−1].故答案为:[−3,−1].利用已知条件直接求解即可.本题考查函数的值域的求法,是基础题.9.答案:12解析:本题考查函数值的求法,属于基础题.根据题设条件可得f(5)=f(2)=f(−1),然后代入已知函数解析式即可求解.解:由题意得f(5)=f(2)=f(−1),当x≤0时,f(x)=x2−2x,所以f(−1)=(−1)2−2−1=1−12=12,故答案为12.10.答案:(−∞,−4)∪(−2,+∞)解析:解:不等式|x+3|>1等价于x+3>1或x+3<−1,解得x∈(−∞,−4)∪(−2,+∞).故答案为:(−∞,−4)∪(−2,+∞).直接转化绝对值不等式,求解即可.本题考查绝对值不等式的解法,考查计算能力.11.答案:−3和−1解析:本题考查了幂函数奇偶性和单调性的问题,对α的取值逐个判断即可.解:当α=−3时,函数为奇函数,在(0,+∞)上单调递减,故满足,当α=−2时,函数为偶函数,故不满足,当α=−1时,函数为奇函数,在(0,+∞)上单调递减,故满足,当α=−1时,函数不具备奇偶性,故不满足,2时,函数为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,故不满足,当α=13时,函数不具备奇偶性,故不满足,当α=12当α=1时,函数为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,故不满足,当α=2时,函数为偶函数,故不满足,当α=3时,函数为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,故不满足,故满足条件的α的值为−1,故答案为−3和−1.12.答案:1解析:本题考查奇函数的性质.根据奇函数的性质直接求解.解:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,g(0)=1−f(0)=1.故答案为1.13.答案:√10解析:本题考查了指数和对数的运算性质,属于基础题.根据指数的运算性质求出a的值,再根据对数的运算性质求出x的值.解:∵4a=2,∴22a=2,∴a=1,2∵lgx=a=1=lg√10,2∴x =√10,故答案为√10.14.答案:254解析:本题考查了二次函数的最值问题,属基础题.先配方,再根据二次函数的性质,结合x 的取值范围求解即可. 解:∵y =(3−x)(2+x)=−x 2+x +6=−(x −12)2+254,又−2≤x ≤2,∴当x =12时,函数取得最大值254.故答案为254.15.答案:12或√72解析:本题考查函数的定义域和值域与指数函数的性质,属于中档题. 根据a 进行分类讨论求值域即可.解:当a >1时,函数y =a x +b 在[0,2]单调递增,∴当x =0时,y 取最小值为1+b ,当x =2时,y 取最大值为a 2+b ,∵函数y =a x +b 值域为[14,1],∴{1+b =14a 2+b =1, ∵a >1,∴{b =−34a =√72;当0<a <1时,函数y =a x +b 在[0,2]单调递减,∴当x =0时,y 取最大值为1+b ,当x =2时,y 取最小值为a 2+b ,∵函数y =a x +b 值域为[14,1],∴{1+b =1a 2+b =14, ∵0<a <1,∴{b =0a =12.∴a 的值为12或√72. 故答案为12或√72. 16.答案:(−2,0]解析:解:二次函数f(x)=x 2−2x +3=(x −1)2+2,当0<a +2<2,即−2<a <0时, 函数在[0,a +2]上的最大值为f(0)=3,满足条件.当a +2≥2,即a ≥0时,根据函数在[0,a +2]上的最大值为f(a +2)=a 2+2a +3=3,求得a =0,或a =−2(舍去).综上可得,−2<a ≤0,故答案为:(−2,0].当0<a +2<2时,利用二次函数的性质可得函数在[0,a +2]上的最大值为f(0)=3,满足条件,由此可得a 的范围.当a +2≥2时,根据函数在[0,a +2]上的最大值为f(a +2)=a 2+2a +3=3,求得a 的值,再把这2个a 的范围取并集,即得所求.本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题.17.答案:2解析:本题考查了函数的最值,易知f(x)为单调递减函数,所以当x =2时,f(x)取得最大值.解:易知函数f(x)=2x−1(x ∈[2,6])为单调递减函数,∴当x =2时,f(x)取得最大值为f(2)=2,故答案为2.18.答案:(−1,1)解析:解:∵偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,∴f(x)<f(1)等价为f(|x|)<f(1),即|x|<1,解得−1<x <1,故答案为:(−1,1)根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可.本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.19.答案:[1,3]解析:本题考查函数单调性的判断与证明,属于基础题.函数的定义域为[−1,3],由二次函数的单调性结合复合函数的单调性可得.解:由−x 2+2x +3⩾0可解得−1⩽x ⩽3,即函数的定义域为[−1,3],函数t =−x 2+2x +3在[1,+∞)单调递减,由复合函数的单调性可知,函数f (x )=√−x 2+2x +3的单调递减区间为[1,3].故答案为[1,3].20.答案:解:(1)∵9x −4⋅3x +3=0,∴(3x −1)(3x −3)=0,∴3x =1或3x =3,∴x =0或x =1,(2)log 3(x 2−10)=1+log 3x =log 33x ,∴{x 2−10=3x,x 2−10>0,x >0,解得x =5.解析:(1)由9x −4⋅3x +3=0,得到(3x −1)(3x −3)=0,解得即可,(2)由已知得到{x 2−10=3x,x 2−10>0,x >0,解得即可.本题考查指数方程、对数方程的求法,解题时要注意等价转化思想及运算法则的合理运用,属于中档题.21.答案:(1)解:∵f(x)=1−2x 1+2x∴f(1)=1−21+2=−13,f(a)=1−2a 2a +1; (2)证明:∵x ∈R ,∴函数f(x)=1−2x1+2x 的定义域关于原点对称,∵f(−x)=1−2−x 2−x +1=1−12x 12x +1=2x −11+2x =−f(x), ∴f(x)是奇函数.解析:本题考查函数值的计算,考查函数的奇偶性的证明,属于基础题.(1)将x =1和x =a 直接代入,即可求出f(1),f(a)的值;(2)利用奇偶性的定义,进行判断并证明.22.答案:解:(1)若下两单,耳机优惠后实际付款为250−5×4=230(元),音响优惠后实际付款为650−5×10−40×1=560(元),耳机和音响优惠后一共实际付款230+560=790(元),若下一单,耳机和音明优惠后一其实际付款(250+650)−5×15−40×2=745(元),∴下一单划算;(2)假设购买x(x ∈N ∗)件,平均价格为y 元/件,由于不能超过700元预算,最多贝能购买26件,且当1≤x ≤14时不能享受满400元减40元的优惠,当15≤x ≤26时能享受一次每满400元减40元的优惠,①当1≤x ≤14时不能享受每满400元满40元的优惠,则y =1x (30x −5×[30x 60])=30−5x ×[x 2] ={30−52n ×n ,x =2n 30−−52n +1×n ,x =2n +1,k ∈N,当x =2n 时,y =2712,当x =2n +1时,y =30−52+52(2k+1)>2712,∴当1≤x ≤14时,购买偶数件该生活日用品的平均价格最低.最低平均价格为27.5元/件, ②当15≤x ≤26时能享受一次每满400元减40元的优惠,则y =1x (30x −5×[30x 60]−40)=30−5x ×[x 2]−40x={30−52n ×n −402n ,x =2n 30−−52n +1×n −402n +1 ,x =2n +1,k ∈N 当x =2n 时,y =2712−20n ,当n =8,x =16时,y min =25,当x =2n +1时,y =30−5n+402n+1=30−52−752(2n+1),当n =7,x =15时, y min =25,综上,购买15件或16件该生活日用品的平均价格最低.最低平均价格为25元/件,解析:本题主要考查函数模型的应用,根据优惠条件分别进行判断比较,本题文字较多,读懂题意是解决本题的关键.(1) 若下两单,耳机优惠后实际付款为250−5×4=230(元),然后计算耳机和音响优惠后一共实际付款,再计算若下一单,耳机和音明优惠后一其实际付款,分别进行计算比较即可;(2)假设购买x(x ∈N ∗)件,平均价格为y 元/件,由于不能超过700元预算,最多贝能购买26件,且当1≤x ≤14时不能享受满400元减40元的优惠,当15≤x ≤26时能享受一次每满400元减40元的优惠,进而分类讨论,即可得出结论.23.答案:y =log 2(x −1)(1<x <2).解析:因为y =2x +1,x <0,所以x =log 2(y −1),y ∈(1,2),所以函数y =2x +1的反函数为y =log 2(x −1),x ∈(1,2).24.答案:[1,+∞)解析:本题考查函数的值域,函数的定义域及其求法,首先将函数写成分段函数的形式,然后结合函数的单调性和特殊点的函数值得到a 关于m 的函数,求解函数的值域即可确定实数a 的取值范围.解:函数的解析式即:f(x)={−x(x 2−12),0⩽x ⩽2√3x(x 2−12),x ⩾2√3, 对两段分别求导可得函数f(x)在区间[0,2]和[2√3,+∞]上单调递增,在区间(2,2√3)上单调递减, 且f(2)=f(4)=16,f(0)=f(2√3)=0,据此分类讨论:①当0<m ≤2时有:f(m)=−m(m 2−12)=am 2,解得:a =−m +12m , ∵函数g(m)=−m +12m 在区间(0,2]上单调递减,则此时a ≥4;②当2<m <4时有:am 2=16,解得:a =16m 2,∵函数ℎ(m)=16m 2在区间(2,4)上递减,则此时1<a <4;③当m ≥4时有:f(m)=m(m 2−12)=am 2,解得:a =m −12m , ∵函数t(m)=m −12m 在区间[4,+∞)上单调递增,则此时a ≥1;综上可得:实数a 的取值范围是[1,+∞).故答案为[1,+∞). 25.答案:解:(1)因为函数定义域为R ,所以ax 2+ax +3>0的解集为R .则①当a =0时,得3>0恒成立,满足题意.②当a ≠0时,满足{a >0Δ=a 2−12a <0⇒0<a <12, 综上:a ∈[0,12).(2)因为函数定义域为(3a ,1),所以{a <03a , 1为方程ax 2+ax +3=0的两根. 即{a <03a +1=−13a =3a⇒a =−32, 所以a =−32.解析:本题考查函数的定义域与值域问题,难度中等.(1)分别讨论当a =0时和当a ≠0时,满足的条件,即可得出实数a 的取值范围.(2)因为函数定义域为(3a ,1),所以{a <03a, 1为方程ax 2+ax +3=0的两根.,即{a<03a+1=−13a=3a⇒a=−32,可得a.。

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