第2课时垂直于弦的直径
自主学习案
●明确学习内容
教材第81至82页
●理清学习目标
1.探索并了解圆的对称性和垂径定理.
2.能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题.
清晰重点难点
1.垂径定理、推论及其应用（重点）．
2.发现并证明垂径定理（难点）．
●自主预习练习
1.自读课本第81至82页.
2.学习至此：请完成学生用书“自主学习案”部分.
●激情导入十分
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题．
课堂探究案
●聚焦主题合作探究
圆的轴对称性
围绕课本第81页“探究”，实践操作，思考：圆的对称轴有多少条？圆的任何一条直径都是它的对称轴，这种说法正确吗？
【反思小结】圆有无数条对称轴，直径所在的直线是它的对称轴；因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说“直径是圆的对称轴”．
【针对训练】
1.下列说法错误的是．
A．圆的直径都是圆的对称轴B．圆的直径所在直线都是圆的对称轴C．过圆心的每条直线都是圆的对称轴D．圆的半径所在直线都是圆的对称轴垂径定理及其推论的推导
2.阅读课本第81页“探究”及第82页上半部分内容．解决问题：
（1）垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且弦所对的 .
符号语言：如图，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴ = ,
= ,
= .
（2）垂径定理的推论：
弦（）的直径垂直于弦，并且弦所对的两条孤.
符号语言：如图，在⊙O中，AB是直径，非直径的弦CD与AB相交于点E，且CE=DE.
∵AB是直径，CE=DE，
∴，， .
思考：为什么要在垂径定理的推论中，加上“（不是直径）”这一限制条件？
【点拨升华】：解决课本第80页“思考”可以综合利用圆的轴对称性和等腰三角形的轴对称性来观察分析．学习垂径定理要注意：（1）条件中的“弦”可以是直径．（2）结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．学习垂径定理的推论时，一定要注意“弦不是直径”这一条件．这是因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．【针对训练】
2.判断：平分弦的直径垂直于弦（）
3.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，只要再添加
一个条件：，就可得到E是CD的中点．
·
A
B
C D
O
E
垂径定理的应用
例1 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤
劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧
的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
思考：从数学的角度分析已知什么几何图形？画出它，分析已知哪些量？要求什么量？
为了解决问题，教材添加了什么辅助线？它有何作用？
【反思小结】在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线.
实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可.这样，把垂径定理和勾股定理结合起
来，容易得到圆的半径R，圆心到弦的距离d，弦长a之间的关系式2= 2+ 2.
【针对训练】
4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB
︵
），点O是这段弧的圆心，C是AB
︵
上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是m.
5.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求
证：四边形ADOE是正方形.
●总结梳理整合提高
1.
_________________________
_________________________
_______________________
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
圆的轴对称性：．
垂径定理：．
垂直于弦的直径
垂径定理的推论：．
利用垂径定理解决问题
2.一种辅助线和一种数学思想方法．
随堂检测案
●针对训练规律总结
请随机完成学生用书“课堂探究案”中针对训练部分.
●当堂检测反馈矫正
1.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD=5，则弦AC= 10 ．
2.若圆的半径为2cm，圆中一条弦长为23cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点的距离
是 1 cm．
3.如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值
是 6 ．
4.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（A）．
A.2
B.3
C.4
D.5
5.在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD,AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（D）．
A.7cm
B.1cm
C.7cm或4cm
D.7cm或1cm
课后评价案
●课后作业测评
1．上交作业教科书第89页习题24.1第1，8题.
2．课后作业见学生用书的“课后评价案”部分.
●反思在线
·
A
O
M
B
A ·
C
O
D。