特征值与特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、生命科学和环境保护等领域都有着广泛而重要的应用。

因此研究特征值问题的应用具有重要价值。

应用一 特征值与特征向量在处理数学问题中的应用例1 设k 阶线性循环数列{n x }满足递推关系:n x =1c 1n x -+2c 2n x -+…+k c n k x -, (n=k+1,k+2,…)其中i c (i =1,2,…k)是常数,且k c ≠0。

方程组 1122112211n n n k n k n n n n n k n k x c x c x c x x x x x x x --------+-+=+++⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩…………… 可表示为矩阵形式：121n n n n k x x x x ---+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=12112100001000010k k n n n k c c c c x x x ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭(4)令1n k X -+=121n n n n k x x x x ---+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭…，A=12110001000010k k c c c c -⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭,n k X -=12n n n k x x x ---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭… 则(4)可写成：1n k X -+n k AX -= (5) 由(5)式递推得 1n k X -+=2A 1n k X --=…=A n k -1X (6) 其中1X =[]121,,,,Tk k x x x x -…，于是求通项n x ,就归结为求1n k X -+，也就是求A n k -。

如果A 可对角化，即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1.则n k A -=1--ΛP P k n ,由于E A λ-=1100c λ--... 210c λ--... (10)01k c ---… 00k c λ-…从第一列开始每一列乘以λ加到后一列上，就得到如下行列式：21211121111000010001k k k k k kc c c c c c c λλλλλλλ---------------……………………………111k k k k c c c λλλ--=----…若λ是A 的特征值，显然有()1R E A k λ-=-，则齐次线性方程组()0E A X λ-=的基础解系中只含有一个向量。

因此当A 有k 个特征值12,,,k λλλ…时，这k 个特征值对应的特征向量分别为12,,,k P P P …，由这k 个特征向量为列构成的方阵记为P ，则P 是可逆的，并且1P AP -=Λ．其中 120000k λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例1 设数列{}n x 满足递推关系：12322n n n n x x x x ---=+- （4n ≥），并且11,x = 22,x =- 33,x = 求通项n x解： {}n x 是三阶循环数列，将方程组 123112222n n n n n n n n x x x x x x x x-------=+-⎧⎪=⎨⎪=⎩用矩阵表示为：11223212100010n n n n n n x x x x x x ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎢⎥= ⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 令 212100010A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 并由上式递推得：1232312321234n n n n n n n n n n x x x x x A x A x A x x x x x ---------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦…，其中 11,x = 22,x =- 33x =。

由E A λ-=0，即 210λ--11λ--20λ=32220λλλ-+-=，得A 的特征值为：11,λ= 21,λ=- 32λ=。

再由特征方程()()01,2,3i E A X i λ-==解得对应于A 的特征值123,,λλλ线性无关的特征向量分别为：111,1P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 211,1P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3421P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦令 []123114,,112111P P P P ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭ 则 13361132,6202P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 1100010,002A P P -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭331100010002n n A P P ---⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭=()()()3213231213126312n n n n n n -----⎡-+-+⎢⎢-+-+⎢⎢-+-+⎣ ()()()321331331331n n n --------- ()()()32132621262126212n n n n n n -----⎤+--⎥⎥+--⎥⎥+--⎦代入（6）式得： ()()()()()()333321131233162126n n n n n n x x x x ---⎡⎤=-+-++--++--⎣⎦=()311911126n n -+⎡⎤-+-+⎣⎦=()31311212263n n ---+-+⋅例 2 计算n 阶行列式 61160000161160000161160000000611016n D =…………………………………解 将n D 按第一行展开得： 112136116n n D D M M -=-+其中12M 与13M 分别是元素12a 与13a 的余子式，再将它们分别按第一列展开得：1236116n n n n D D D D ---=-+则{}n D 是三阶线性循环数列。

将方程组12311226116n n n n n n n n D D D D D D D D-------=-+⎧⎪=⎨⎪=⎩ 表示成矩阵形式为:112236116100010n n n n n n D D D D D D ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎢⎥= ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 令 6116100010A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由上式递推得：1232312321234n n n n n n n n n n D D D D D A D A D A D D D D D ---------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦… (7) 由0E A λ-=解得A 的特征值为：11,λ= 22,λ= 3 3.λ= 再由()0i E A X λ-=()1,2,3i = 解得对应于A 的特征向量123,,λλλ的特征向量分别为：111,1P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2421P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 3931P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦令[]123149123111P PP P ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则 115612862132P ---⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦， 1100020000A P P -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 331313100100020020003003n n n n A P P P P ------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12111211222323312352366223112352366223212352366223n n n n n n n n n n n n n n n n n n -+----+--------⎡⎤-+--+-+⋅-⋅⎢⎥=--+--+-+⋅-⋅⎢⎥⎢⎥-+--+-+⋅-⋅⎣⎦由(7)式可得：()()()12113211123523662232n n n n n n n D D D D -+--⎡⎤=--+-+-++-+⋅-⋅⎣⎦ 将32190,25,6D D D ===代入上式得： 2213222n n n D ++=-+应用二 特征值与特征向量在FSK 信号检测中的应用[2]在现行的移频自动闭塞系统中，FSK 移频信号主要由国产的YP FSK 信号和从法国引进的UT FSK 信号组成。

FSK 信号集中在以载频为中心的有限频率范围内，低频频率间隔很小。

因此，移频信号检测需要具有相对较高的频率分辨率，并且还必须具备很高的实时性。

目前采用的检测方式是对信号进行欠采样，再利用傅立叶变换进行检测；或者利用Burg 算法等现代谱分析方法进行信号检测。

但是由于这些算法都存在着自身的缺点：如傅立叶变换要提高频率分辨率就需要相应的增加FFT 长度，或者尽量降低AD 转换器的采样速率，在精度确定的情况下必定要牺牲实时性。

又如Burg 算法对于噪声特别敏感，有时候可能会出现谱线分裂的现象，且不容易找到合适的阶次，从而导致伪峰的出现。

在研究了车载FSK 信号的特征、小轨信号的定义以及小轨预报警的原理后，我们进行了实际的检测实验。

最后给出检测试验的结果，结果表明它在FSK 信号小轨信号检测中非常有效。

2.1 FSK 信号的特征假设FSK 信号可用周期信号s （t ）表示，则描述FSK 信号的一般数学形式为：()cos[2()()],0s t A f t t t T πφ=+≤≤。

式中：f （t ）为键控频率；T 为空键信号的周期；()t φ为瞬时相位。

根据FSK 信号的定义，键控频率f （t ）的瞬时表达式为00;02();2h eT f f f t f t T f f f t T ⎧+∆=≤<⎪⎪=⎨⎪-∆=≤<⎪⎩式中：0f 为FSK 信号的中心载频；h f 和e f 分别为FSK 信号的上下频偏频率； △f 为信号频偏，它与移频器的灵敏度和键控信号的幅值成正比。

铁路FSK 信号中，不同的载频、频偏△f 及基带频率都代表了不同的控制信息。

其中载频频率范围为550Hz ～2600Hz ，频偏为11Hz ～55Hz ，基带调制频率为7Hz ～26Hz ，信号的有效带宽小于500Hz 。

实际信号却更加复杂，在我国现行的移频自动闭塞系统中，同一段轨面存在着两个FSK 信号的叠加，其中一个FSK 信号作为机车主信号传输，而另外一个FSK 信号即为了铁轨预警的小轨信号。

例如实际传输的信号为：传输中频为1700Hz 的FSK 信号和一个中频为2300Hz 的FSK 信号，但由于串扰过来的信号有衰减，所以两个FSK 信号幅度比值往往高达15：1——20：1。

这个小幅度的串扰信号称为小轨道信号，简称小轨信号。

在实际的信号检测中需要将大小两个频率都检测出来。

在整个过程中，精确检测幅度小的FSK 信号（小轨信号）将是整个检测过程的重点。

小轨信号的实际作用是：如果铁道发生断裂，则无法检测到小轨信号，通过对小轨信号的检测，可以预先对于铁轨的断裂作出报警。